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專題能力訓練21 函數(shù)與方程思想
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.若關(guān)于x的方程ax+=3的正實數(shù)解有且僅有一個,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0]∪{2}
C.[0,+∞)
D.[0,+∞)∪
3、{-2}
2.在正項等比數(shù)列{an}中,an+1
4、 C D.3
7.已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),且當x∈[0,1]時,f(x)=x2,則關(guān)于x的方程f(x)=10-|x|在上根的個數(shù)是( )
A.4 B.6 C.8 D.10
8.已知函數(shù)f(x)=則方程f=1的實根個數(shù)為( )
A.8 B.7 C.6 D.5
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.對于滿足0≤p≤4的實數(shù)p,使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范圍是 .?
10.已知x,y,且有2sin x=sin y,tan x=tan y,則cos x= .?
11.已知向量a,b及實數(shù)t滿足|a
5、+tb|=3.若a·b=2,則t的最大值是 .?
12.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=25-n,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n+k,設(shè)cn=若在數(shù)列{cn}中,c5≤cn對任意n∈N*恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是 .?
13.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,且tan B=,則tan B等于 .?
14.(20xx浙江金華十校4月模擬)已知實數(shù)x,y,z滿足則xyz的最小值為 .?
三、解答題(本大題共1小題,共30分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本小題滿分30分)過離心率為的橢圓C:=1(a>b
6、>0)的右焦點F(1,0)作直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,設(shè)|FA|=λ|FB|,T(2,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若1≤λ≤2,求△ABT中AB邊上中線長的取值范圍.
參考答案
專題能力訓練21 函數(shù)與方程思想
1.B
2.D 解析 由題意可知a4·a6=6,且a4+a6=5,解得a4=3,a6=2,所以.
3.B 解析 因為f(x)=1-2sin2x+6sin x
=-2,
而sin x∈[-1,1],所以當sin x=1時,f(x)取最大值5,故選B.
4.A
5.C 解析 令f(x)=3si
7、n(3x+φ)=2,
得sin(3x+φ)=∈(-1,1),
又x∈[0,π],∴3x∈[0,3π],
∴3x+φ∈[φ,3π+φ];
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),可得該方程在正弦函數(shù)一個半周期上最多有4個解,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=2的交點最多有4個.故選C.
6.A
7.B 解析 由題意,可得f(x+2)=f(x),即函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù),又f(x)是偶函數(shù),所以,在同一坐標系內(nèi),畫出函數(shù)f(x),y=10-|x|=的圖象,觀察它們在區(qū)間的交點個數(shù),就是方程f(x)=10-|x|在上根的個數(shù),結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性,在y軸兩側(cè)各有3個交點,故選B.
8.
8、C 解析 令f(x)=1得x=3或x=1或x=或x=-1,∵f=1,
∴x+-2=3或x+-2=1或x+ -2=或x+ -2=-1.
令g(x)=x+-2,則當x>0時,g(x)≥2-2=0,
當x<0時,g(x)≤-2-2=-4,
作出g(x)的函數(shù)圖象如圖所示:
∴方程x+-2=3,x+-2=1,x+-2=均有兩解,方程x+-2=-1無解.
∴方程f=1有6解.故選C.
9.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 x2+px>4x+p-3對于0≤p≤4恒成立可以變形為x2-4x+3+p(x-1)>0對于0≤p≤4恒成立,所以一次函數(shù)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3在區(qū)間
9、[0,4]上的最小值大于0,即
所以x的取值范圍是(-∞,-1)∪(3,+∞).
10. 解析 由-cot2y=1,得=1,化為4cos2x=1,因為x∈,所以cos x=.
11. 解析 a·b=2?abcos θ=2(θ為a,b的夾角),|a+tb|=3?9=a2+t2b2+4t,
∴9=a2++4t≥4t≥8t,
∴t≤,等號成立當且僅當|cos θ|=1.
12.[-5,-3] 解析 數(shù)列cn是取an和bn中的最大值,據(jù)題意c5是數(shù)列{cn}的最小項,由于函數(shù)y=25-n是減函數(shù),函數(shù)y=n+k是增函數(shù),所以b5≤a5≤b6或a5≤b5≤a4,即5+k≤25-5≤6+k或2
10、5-5≤5+k≤25-4,解得-5≤k≤-4或-4≤k≤-3,所以-5≤k≤-3.
13.2- 解析 由余弦定理得a2+c2-b2=2accos B,
再由,得accos B=,
∴tan B==2-.
14.9-32 解析 由xy+2z=1,可得z=.
∴5=x2+y2+≥2|xy|+,當xy≥0時,x2y2+6xy-19≤0;當xy<0時,x2y2-10xy-19≤0.
由x2y2+6xy-19≤0,解得0≤xy≤-3+2.
由x2y2-10xy-19≤0,解得5-2≤xy<0.
∴xyz=xy·=-,
可得當xy=5-2時,xyz取得最小值為9-32.
15.解 (1)∵e=,c=1,∴a=,b=1,
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)①當直線的斜率為0時,顯然不成立.
②設(shè)直線l:x=my+1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立x2+2y2-2=0得(m2+2)y2+2my-1=0,
所以y1+y2=,y1y2=.
由|FA|=λ|FB|,得y1=-λy2.
因為-λ+,
所以-λ++2=.
所以0≤m2≤.
所以AB邊上的中線長為|
=
=.
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