2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1篇 專題3 數(shù)列 第2講 大題考法——數(shù)列求和問題學(xué)案.doc

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第2講　大題考法——數(shù)列求和問題 考向一　等差、等比數(shù)列的簡單綜合 【典例】 (2017全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2． (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若T3＝21，求S3． 解　設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q， 則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1． 由a2＋b2＝2得d＋q＝3. ① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6. ② 聯(lián)立①②解得(舍去)或 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n－1． (2)由b1＝1，T3＝21 得q2＋q－20＝0． 解得q＝－5或q＝4． 當(dāng)q＝－5時(shí)，由①得d＝8，則S3＝21． 當(dāng)q＝4時(shí)，由①得d＝－1，則S3＝－6． [技法總結(jié)]　等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題．如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序． (2)注意細(xì)節(jié)．例如：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項(xiàng)問題中，第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等． [變式提升] 1．(2018東莞二模)已知等比數(shù)列{an}與等差數(shù)列{bn}，a1＝b1＝1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差數(shù)列，b1，a2，b4成等比數(shù)列． (1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Sn，Tn分別是數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若Sn＋Tn＞100, 求n的最小值． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，數(shù)列{bn}的公差為d， 則 解得 (舍)或 ∴an＝2n－1，bn＝n． (2)由(1)易知Sn＝＝2n－1，Tn＝． 由Sn＋Tn＞100，得2n＋＞101， ∵是單調(diào)遞增數(shù)列， 且26＋＝85＜101,27＋＝156＞101， ∴n的最小值為7． 考向二　等差、等比數(shù)列的判定及應(yīng)用 【典例】 (2017全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和， 已知． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷是否成等差數(shù)列． [審題指導(dǎo)] ①看到S2，S3，想到設(shè)基本量，列方程組求解 ②看到三項(xiàng)成等差數(shù)列，想到可用2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2是否成立判斷 [規(guī)范解答]　(1)設(shè){an}的公比為q． 由題設(shè)可得? 3分 解得 5分 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n.6分 (2)由(1)可得Sn＝ ＝－＋(－1)n?. 8分 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn?， 10分 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列. 12分 ?處注意此類方程組的整體運(yùn)算方法的運(yùn)用，可快速求解． ?處化簡Sn時(shí)易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤． ?處對于Sn＋2＋Sn＋1的運(yùn)算代入后，要針對目標(biāo)，即化為2Sn，觀察結(jié)構(gòu)，整體運(yùn)算變形，可得結(jié)論． [技法總結(jié)]　判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法 (1)定義法：對于n≥1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an＋1－an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)． (2)中項(xiàng)公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列； ②若a＝an－1an＋1≠0(n∈N*，n≥2)，則{an}為等比數(shù)列． [變式提升] 2．(2018吉林調(diào)研)艾薩克牛頓(1643年1月4日～1727年3月31日)英國皇家學(xué)會會長，英國著名物理學(xué)家，同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn)，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列{xn}滿足xn＋1＝xn－，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，設(shè)an＝ln ，已知a1＝2，xn>2，求{an}的通項(xiàng)公式an． 解　∵ 函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2， ∴解得 ∴f(x)＝ax2－3ax＋2a，則f′(x)＝2ax－3a． 則xn＋1＝xn－ ＝xn－＝， ∴＝ ＝＝2， 則數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，又∵a1＝2， ∴ 數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， 則an＝22n－1＝2n． 3．(2018六安聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且n，an，Sn成等差數(shù)列，bn＝2log2(1＋an)－1． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}中去掉數(shù)列{an}的項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序組成數(shù)列{cn}，求c1＋c2＋…＋c100的值． 解　(1)因?yàn)閚，an，Sn成等差數(shù)列， 所以Sn＋n＝2an， ① 所以Sn－1＋(n－1)＝2an－1(n≥2)． ② ①－②，得an＋1＝2an－2an－1， 所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2)． 又當(dāng)n＝1時(shí)，S1＋1＝2a1，所以a1＝1，所以a1＋1＝2， 故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， 所以an＋1＝22n－1＝2n，即an＝2n－1． (2)據(jù)(1)求解知，bn＝2log2(1＋2n－1)－1＝2n－1，b1＝1，所以bn＋1－bn＝2， 所以數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列． 又因?yàn)閍1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，a5＝31，a6＝63，a7＝127，a8＝255，b64＝127，b106＝211，b107＝213， 所以c1＋c2＋…＋c100 ＝(b1＋b2＋…＋b107)－(a1＋a2＋…＋a7) ＝－[(21＋22＋…＋27)－7] ＝－＋7＝1072－28＋9＝11 202． 考向三　數(shù)列求和問題 【典例】　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3． (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n． 解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 則由得 解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1． (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)， 則cn＝ 即cn＝ 所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋＋…＋＋(2＋23＋…＋22n－1)＝1－＋＝＋(4n－1)． [技法總結(jié)]　1.分組求和中分組的策略 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組． (2)根據(jù)正號、負(fù)號分組． 2．裂項(xiàng)相消的規(guī)律 (1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差． (2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多． 3．錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn) (1)適用題型：等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項(xiàng)相乘({anbn})型數(shù)列求和． (2)步驟：①求和時(shí)先乘以數(shù)列{bn}的公比；②將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減；③整理結(jié)果形式． [變式提升] 4．(2018云南模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a3＝4，a3是a2－2與a4的等差中項(xiàng)，若an＋1＝2bn． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{cn}滿足cn＝an＋1＋，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn． 解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，且q＞0， 由an＞0，a1a3＝4得a2＝2， 又a3是a2－2與a4的等差中項(xiàng)， 故2a3＝a2－2＋a4， ∴22q＝2－2＋2q2，∴q＝2或q＝0(舍)． 所以an＝a2qn－2＝2n－1，∴an＋1＝2n＝2bn，∴bn＝n． (2)由(1)得，cn＝an＋1＋ ＝2n＋＝2n＋， 所以數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和： Sn＝2＋22＋…＋2n＋＝＋＝2n＋1－2＋． 5．(2018百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足a1＝a3，an＋1－＝，設(shè)bn＝2nan． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn． 解　(1)由bn＝2nan，得an＝，代入an＋1－＝得 －＝，即bn＋1－bn＝3， 所以數(shù)列{bn}是公差為3的等差數(shù)列， 又a1＝a3，所以＝，即＝，所以b1＝2， 所以bn＝b1＋3(n－1)＝3n－1． (2) 由bn＝3n－1得an＝＝， 所以Sn＝＋＋＋…＋， Sn＝＋＋＋…＋， 兩式相減得 Sn＝1＋3－＝－． 所以Sn＝5－．