新編金版教程高考數(shù)學文二輪復習講義：第一編 數(shù)學思想方法 第三講 分類討論思想 Word版含解析

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1、 第三講　分類討論思想 思想方法解讀 考點　由概念、法則、公式引起的分類討論　　 典例1　　(1)20xx·福建高考]若函數(shù)f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是4，＋∞)，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析]　因為f(x)＝所以當x≤2時，f(x)≥4；又函數(shù)f(x)的值域為4，＋∞)，所以解得10

2、，因為Sn＝(＋)2(n≥2)，所以＝＋，即數(shù)列{}是以＝為首項，以為公差的等差數(shù)列，所以＝n，所以Sn＝n2a1，所以當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2a1－(n－1)2a1＝(2n－1)a1，當n＝1時，適合上式， 所以bn＝＋＝＋＝1＋＋1－＝2＋2， 所以Tn＝2n＋2＝2n＋2＝2n＋＝. 答案]　 四步解決由概念、法則、公式引起的分類討論問題 第一步：確定需分類的目標與對象．即確定需要分類的目標，一般把需要用到公式、定理解決問題的對象作為分類目標． 第二步：根據公式、定理確定分類標準．運用公式、定理對分類對象進行區(qū)分． 第三步：分類解決“分目標”問題．對分類出

3、來的“分目標”分別進行處理． 第四步：匯總“分目標”．將“分目標”問題進行匯總，并作進一步處理． 【針對訓練1】　在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1,2a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解　(1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2， 即5(a1＋2d)·a1＝(2a1＋2d＋2)2 d2－3d－4＝0，解得d＝－1或d＝4， 所以an＝－n＋11或an＝4n＋6. (2)設數(shù)列{an}前n項和為Sn， 因為d<0，所以d＝－1，an＝－n＋11，則 由an≥0，即－

4、n＋11≥0得n≤11. 所以當n≤11時，an≥0，n≥12時，an<0. 所以n≤11時，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n； n≥12時，|a1|＋|a2|＋…＋|a11|＋|a12|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a11－a12－…－an＝S11－(Sn－S11)＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述，|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝ 考點　由參數(shù)變化引起的分類討論　　 典例2　　20xx·江蘇高考]已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)試討論f(x)的單調性； (2)若b＝c－a(實數(shù)c是與a無關的常數(shù))，

5、當函數(shù)f(x)有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪，求c的值． 解]　(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－. 當a＝0時，因為f′(x)＝3x2>0(x≠0)，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增； 當a>0時，x∈∪(0，＋∞)時，f′(x)>0，x∈時，f′(x)<0， 所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減； 當a<0時，x∈(－∞，0)∪時，f′(x)>0，x∈時，f′(x)<0， 所以函數(shù)f(x)在(－∞，0)，上單調遞增，在上單調遞減． (2)由(1)知，函數(shù)f(x)的兩個極值為f(0)

6、＝b，f＝a3＋b，則函數(shù)f(x)有三個零點等價于f(0)·f＝b<0， 從而或 又b＝c－a，所以或 設g(a)＝a3－a＋c，因為函數(shù)f(x)有三個零點時，a的取值范圍恰好是(－∞，－3)∪∪， 則在(－∞，－3)上g(a)<0， 且在∪上g(a)>0均恒成立， 從而g(－3)＝c－1≤0， 且g＝c－1≥0，因此c＝1. 此時，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)x2＋(a－1)x＋1－a]， 因函數(shù)有三個零點，則x2＋(a－1)x＋1－a＝0有兩個異于－1的不等實根， 所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3>0，且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0

7、， 解得a∈(－∞，－3)∪∪. 綜上c＝1. 1．變量或參數(shù)變化時常見的分類討論 (1)解含參數(shù)的不等式時，常按參數(shù)的取值不同分類討論． (2)平面解析幾何中，直線點斜式中按斜率k存在和不存在，直線截距式中按截距b＝0和b≠0分類討論． 2．利用分類討論思想的注意點 (1)分類討論要標準統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”． (2)分類討論時要根據題設條件確定討論的級別，再確定每級討論的對象與標準，每級討論中所分類別應做到與前面所述不重不漏，最后將討論結果歸類合并，其中級別與級別之間有嚴格的先后順序、類別和類別之間沒有先后；最后整合時要注意是取交集、并集，還是既不取交集

8、也不取并集只是分條列出． 【針對訓練2】　20xx·四川高考]設函數(shù)f(x)＝ax2－a－ln x，其中a∈R. (1)討論f(x)的單調性； (2)確定a的所有可能取值，使得f(x)>－e1－x在區(qū)間(1，＋∞)內恒成立(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù))． 解　(1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)． 當a≤0時，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)內單調遞減． 當a>0時，由f′(x)＝0，有x＝. 此時，當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減； 當x∈時，f′(x)>0，f(x)單調遞增． (2)令g(x)＝－，s(x)＝ex－1－x. 則s′(x)＝ex

9、－1－1. 而當x>1時，s′(x)>0， 所以s(x)在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增． 又由s(1)＝0，有s(x)>0， 從而當x>1時，g(x)>0. 當a≤0，x>1時，f(x)＝a(x2－1)－ln x<0. 故當f(x)>g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內恒成立時，必有a>0. 當01. 由(1)有f0， 所以此時f(x)>g(x)在區(qū)間(1，＋∞)內不恒成立． 當a≥時，令h(x)＝f(x)－g(x)(x≥1)． 當x>1時，h′(x)＝2ax－＋－e1－x>x－＋－＝>>0. 因此，h(x)在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增． 又h

10、(1)＝0，所以當x>1時，h(x)＝f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)恒成立． 綜上，a∈. 考點　根據圖形位置或形狀分類討論　　 典例3　　20xx·廣東高考]已知過原點的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A，B. (1)求圓C1的圓心坐標； (2)求線段AB的中點M的軌跡C的方程； (3)是否存在實數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由． 解]　(1)圓C1的標準方程為(x－3)2＋y2＝4，圓心坐標為C1(3,0)． (2)由垂徑定理知，C1M⊥AB，故點M在以OC1為直徑的

11、圓上，即2＋y2＝. 故線段AB的中點M的軌跡C的方程是2＋y2＝在圓C1：(x－3)2＋y2＝4內部的部分，設AB方程為y＝k1x，當AB與圓C1相切時?(k＋1)x2－6x＋5＝0， 由Δ＝36－4×5×(k＋1)＝0得k1＝±， 代入方程組得x＝，因此x∈. 即2＋y2＝. (3)聯(lián)立解得 不妨設其交點為P1，P2， 設直線L：y＝k(x－4)所過定點為P(4,0)， 則kPP1＝－，kPP2＝. 當直線L與圓C相切時，＝，解得k＝±. 故當k∈∪時，直線L與曲線C只有一個交點． 六類常見的由圖形的位置或形狀變化引起的分類討論 (1)二次函數(shù)對稱軸的變化；

12、(2)函數(shù)問題中區(qū)間的變化；(3)函數(shù)圖象形狀的變化；(4)直線由斜率引起的位置變化；(5)圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；(6)立體幾何中點、線、面的位置變化等． 【針對訓練3】　(1)設圓錐曲線C的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 答案　A 解析　不妨設|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，其中t≠0，若該曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. 若該曲線為雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. (2)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù)k＝(　　) A．－ B. C．0 D．－或0 答案　D 解析　不等式組表示的可行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當直線y＝kx＋1與直線x＝0或y＝2x垂直時才滿足． 結合圖形可知斜率k的值為0或－.