2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理學(xué)案 新人教A版選修2-2.doc

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2.1.1合情推理 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解合情推理的含義．(易混點(diǎn))2.理解歸納推理和類比推理的含義，并能利用歸納和類比推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．歸納推理與類比推理 歸納推理 類比推理 定義 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納) 由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比) 特征 歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理 類比推理是由特殊到特殊的推理 思考：歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？ [提示]歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠． 2．合情推理 [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)利用合情推理得出的結(jié)論都是正確的．(　　) (2)類比推理得到的結(jié)論可以作為定理應(yīng)用．(　　) (3)由個(gè)別到一般的推理為歸納推理．(　　) [答案]　(1) 　(2)　(3)√ 2．魯班發(fā)明鋸子的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷愃频模虼?，它們?cè)谛螤钌弦矐?yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的．該過程體現(xiàn)了(　　) A．歸納推理 B．類比推理 C．沒有推理 D．以上說法都不對(duì) B　[推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程，上述過程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．] 3．等差數(shù)列{an}中有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N*)，類比以上結(jié)論，在等比數(shù)列{bn}中類似的結(jié)論是________． [解析]　類比等差數(shù)列，可以類比出結(jié)論b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*)． [答案]　b＝bn－1bn＋1(n≥2，且n∈N*) 4．如圖211所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，n∈N*)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an，則a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062121】 圖211 [解析]　依據(jù)圖形特點(diǎn)，可知第5個(gè)圖形中三角形各邊上各有6個(gè)點(diǎn)，因此a6＝36－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的圖形特點(diǎn)歸納得an＝3n－3(n>1，n∈N*)． [答案]　15　3n－3 [合 作 探 究攻 重 難] 數(shù)、式中的歸納推理 　(1)觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________． (2)已知：f(x)＝，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1，且n∈N*)，則f3(x)的表達(dá)式為________，猜想fn(x)(n∈N*)的表達(dá)式為________． (3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，滿足Sn＝6－2an＋1(n∈N*)． ①求a2，a3，a4的值； ②猜想an的表達(dá)式． [解析]　(1)12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3， 12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， … 12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2 ＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n) ＝(－1)n＋1. (2)∵f(x)＝，∴f1(x)＝. 又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))， ∴f2(x)＝f1(f1(x))＝＝， f3(x)＝f2(f2(x))＝＝， f4(x)＝f3(f3(x))＝＝， f5(x)＝f4(f4(x))＝＝， 根據(jù)前幾項(xiàng)可以猜想fn(x)＝. [答案]　(1)12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 (2)f3(x)＝　fn(x)＝ (3)①因?yàn)閍1＝3，且Sn＝6－2an＋1(n∈N*)， 所以S1＝6－2a2＝a1＝3，解得a2＝， 又S2＝6－2a3＝a1＋a2＝3＋，解得a3＝， 又S3＝6－2a4＝a1＋a2＋a3＝3＋＋， 解得a4＝. ②由①知a1＝3＝，a2＝＝，a3＝＝， a4＝＝，…，猜想an＝(n∈N*)． [規(guī)律方法]　進(jìn)行數(shù)、式中的歸納推理的一般規(guī)律 1.已知等式或不等式進(jìn)行歸納推理的方法 (1)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中項(xiàng)數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律； (2)要特別注意所給幾個(gè)等式(或不等式)中結(jié)構(gòu)形式的特征； (3)提煉出等式(或不等式)的綜合特點(diǎn)； (4)運(yùn)用歸納推理得出一般結(jié)論. 2.數(shù)列中的歸納推理在數(shù)列問題中，常常用到歸納推理猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和. (1)通過已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和； (2)根據(jù)數(shù)列中的前幾項(xiàng)或前n項(xiàng)和與對(duì)應(yīng)序號(hào)之間的關(guān)系求解； (3)運(yùn)用歸納推理寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式. [跟蹤訓(xùn)練] 1．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062122】 [解析]　因?yàn)?＋1＝5, 8＋1＝9, 16＋1＝17,32＋1＝33猜測(cè)x＝64＋1＝65. [答案]　65 2．觀察下列等式： －2＋－2＝12； －2＋－2＋－2＋－2＝23； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝34； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝45； …… 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. [解析]　通過觀察已給出等式的特點(diǎn)，可知等式右邊的是個(gè)固定數(shù)，后面第一個(gè)數(shù)是等式左邊最后一個(gè)數(shù)括號(hào)內(nèi)角度值分子中π的系數(shù)的一半，后面第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的下一個(gè)自然數(shù)，所以，所求結(jié)果為n(n＋1)，即n(n＋1)． [答案]　n(n＋1) 幾何圖形中的歸納推理 　(1)黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖212的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第n個(gè)圖案中有黑色地面磚的塊數(shù)是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062123】 圖212 (2)根據(jù)圖213中線段的排列規(guī)則，試猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)為________． ①　　 ②　　?、邸? 　　　④ 圖213 [解析]　(1)觀察圖案知，從第一個(gè)圖案起，每個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)組成首項(xiàng)為6，公差為5的等差數(shù)列，從而第n個(gè)圖案中黑色地面磚的個(gè)數(shù)為6＋(n－1)5＝5n＋1. (2)圖形①到④中線段的條數(shù)分別為1,5,13,29，因?yàn)?＝22－3,5＝23－3,13＝24－3,29＝25－3，因此可猜想第8個(gè)圖形中線段的條數(shù)應(yīng)為29－3＝509. [答案]　(1)5n＋1　(2)509 [規(guī)律方法]　歸納推理在圖形中的應(yīng)用策略 通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律，研究其一般性結(jié)論，通常需形狀問題數(shù)字化，展現(xiàn)數(shù)學(xué)之間的規(guī)律、特征，然后進(jìn)行歸納推理．解答該類問題的一般策略是： [跟蹤訓(xùn)練] 3．如圖214，由火柴棒拼成的一列圖形中，第n個(gè)圖形中由n個(gè)正方形組成： 圖214 通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：第5個(gè)圖形中，火柴棒有________根；第n個(gè)圖形中，火柴棒有________根. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062124】 [解析]　數(shù)一數(shù)可知各圖形中火柴的根數(shù)依次為：4,7,10,13，…，可見后一個(gè)圖形比前一個(gè)圖形多3根火柴，它們構(gòu)成等差數(shù)列，故第五個(gè)圖形中有火柴棒16根，第n個(gè)圖形中有火柴棒(3n＋1)根． [答案]　16　3n＋1 類比推理及其應(yīng)用 [探究問題] 三角形與四面體有下列相似性質(zhì)： (1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形． (2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形． 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，完成下列探究點(diǎn)： 1．在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，那么，在四面體中，各個(gè)面的面積之間有什么關(guān)系？ 提示：四面體中的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積． 2．三角形的面積等于底邊與高乘積的，那么在四面體中，如何表示四面體的體積？ 提示：四面體的體積等于底面積與高的積的. 　(1)在等差數(shù)列{an}中，對(duì)任意的正整數(shù)n，有＝an.類比這一性質(zhì)，在正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，有________． (2)在平面幾何里有射影定理：設(shè)△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點(diǎn)在BC上的射影，則AB2＝BDBC.拓展到空間，在四面體A－BCD中，DA⊥平面ABC，點(diǎn)O是A在平面BCD內(nèi)的射影，類比平面三角形射影定理，寫出對(duì)△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系，并給予必要證明． [思路探究]　(1)類比等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)求解． (2)將直角三角形的一條直角邊長(zhǎng)類比到有一側(cè)棱AD與一側(cè)面ABC垂直的四棱錐的側(cè)面ABC的面積，將此直角邊AB在斜邊上的射影及斜邊的長(zhǎng)，類比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面積可得S＝S△OBCS△DBC. [解析]　(1)由a1＋a2＋…＋a2n－1類比成b1b2b3…b2n－1，除以n，即商類比成開n次方，即在正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}中，有＝bn. [答案]　＝bn (2)△ABC、△BOC、△BDC三者面積之間關(guān)系為S＝S△OBCS△DBC. 證明如下：如圖，設(shè)直線OD與BC相交于點(diǎn)E， ∵AD⊥平面ABE， ∴AD⊥AE，AD⊥BC， 又∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥DE，AO⊥BC. ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AED， ∴BC⊥AE，BC⊥DE. ∴S△ABC＝BCAE， S△BOC＝BCOE, S△BCD＝BCDE. 在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OEDE，∴S＝S△BOCS△BCD. 母題探究：1.(變條件)把本例(2)中的射影定理的表示換為“a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊”．類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體(如圖215所示)性質(zhì)的猜想． 圖215 [解]　如圖所示，在四面體P－ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA與底面ABC所成二面角的大?。? 我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. 2．(變條件)把本例(2)條件換為“在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，有＝＋成立”．那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明猜想是否正確及理由． [解]　猜想：類比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面體A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD.則＝＋＋. 下面證明上述猜想成立． 如圖所示，連接BE，并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，連接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋. ∴＝＋＋，故猜想正確． [規(guī)律方法]　　 類比推理的一般步驟 [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝，可知扇形面積公式為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062125】 A．　　　　　　　 B． C． D．無法確定 C　[扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S＝.] 2．觀察圖形規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為(　　) 圖216 A. B. C. D. A　[觀察可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：①每行、每列中，方、圓、三角三種形狀均各出現(xiàn)一次，②每行、每列有兩陰影一空白，即得結(jié)果. ] 3．等差數(shù)列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個(gè)不等關(guān)系________． [解析]　　將乘積與和對(duì)應(yīng)，再注意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)，有b4＋b8>b5＋b7. [答案]　b4＋b8>b5＋b7 4．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個(gè)等式為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062126】 [解析]　由前三個(gè)式子可得出如下規(guī)律：每個(gè)式子等號(hào)的左邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)的立方和，且個(gè)數(shù)依次加1，等號(hào)的右邊是從1開始的連續(xù)正整數(shù)和的完全平方，個(gè)數(shù)也依次加1，因此，第四個(gè)等式為13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2. [答案]　13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2 5．在Rt△ABC中，若∠C＝90，則cos2A＋cos2B＝1，在空間中，給出四面體性質(zhì)的猜想． [解]　如圖，在Rt△ABC中， cos2A＋cos2 B＝2＋2＝＝1. 于是把結(jié)論類比到四面體P A′B′C′中，我們猜想，三棱錐 PA′B′C′中，若三個(gè)側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.