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1、
保住基本分·才能得高分 “3＋1”保分大題強(qiáng)化練(六) 前3個(gè)大題和1個(gè)選考題不容有失
1．已知△ABC的面積為3，且內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列．
(1)若sin C＝3sin A，求邊AC的長；
(2)設(shè)D為AC邊的中點(diǎn)，求線段BD長的最小值．
解：(1)∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C依次成等差數(shù)列，∴B＝60°.
設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
由△ABC的面積S＝acsin B＝3，可得ac＝12.
∵sin C＝3sin A，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝28，
∴b＝2，即AC
2、的長為2.
(2)∵BD是AC邊上的中線，∴＝(＋)，
∴2＝(2＋2＋2·)＝(a2＋c2＋2accos∠ABC)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取“＝”，
∴||≥3，即線段BD長的最小值為3.
2．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且直線MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根據(jù)題設(shè)知M，即＝，
整理得2b2＝3ac.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得
3、＝或＝－2(舍去)．
故C的離心率為.
(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2∥y軸，
所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則
即
代入C的方程，得＋＝1.②
將①及c＝代入②得＋＝1，
解得a＝7，b2＝4a＝28，
故a＝7，b＝2.
3.如圖，已知三棱錐P-ABC中，PC⊥AB，△ABC是邊長為2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.
(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)設(shè)F為棱PA的中點(diǎn)，求二面角P-BC-
4、F的余弦值．
解：(1)證明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，
又PC⊥AB，AB∩BC＝B，
∴PC⊥平面ABC.
∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)在平面ABC中，過點(diǎn)C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.
則C(0,0,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，B(1，，0)，F(xiàn)(1,0，)，＝(1，，0)，＝(0,0,2)，＝(1,0，)．
設(shè)平面PBC的法向量為m＝(x1，y1，z1)，
則即
5、取y1＝－1，則x1＝，z1＝0，
即m＝(，－1,0)為平面PBC的一個(gè)法向量．
設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x2，y2，z2)，
則即
取x2＝，則y2＝－1，z2＝－1，
即n＝(，－1，－1)為平面BCF的一個(gè)法向量，
所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，
由圖知二面角P-BC-F為銳角，
∴二面角P-BC-F的余弦值為.
選考系列(請?jiān)谙旅娴膬深}中任選一題作答)
4．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程為θ＝.
(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；
6、
(2)當(dāng)0＜r＜2時(shí)，若曲線C與射線l交于A，B兩點(diǎn)，求＋的取值范圍．
解：(1)由題意知曲線C的普通方程為(x－2)2＋y2＝r2，
令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
化簡得ρ2－4ρcos θ＋4－r2＝0.
(2)射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t≥0)，將其代入曲線C的普通方程(x－2)2＋y2＝r2中，
得t2－2t＋4－r2＝0，
則Δ＝4－4(4－r2)>0，結(jié)合00，t2>0，
∴＋＝＋＝＝.
∵3
7、(2，＋∞)．
5．[選修4－5：不等式選講]
設(shè)函數(shù)f(x)＝|1－x|－|x＋3|.
(1)求不等式f(x)≤1的解集；
(2)若函數(shù)f(x)的最大值為m，正實(shí)數(shù)p，q滿足p＋2q＝m，求＋的最小值．
解：(1)不等式可化為
或
或解得x≥－，
∴f(x)≤1的解集為.
(2)法一：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，
∴m＝4，p＋2q＝4，∴(p＋2)＋2q＝6，
＋＝(p＋2＋2q)＝≥＝，
當(dāng)且僅當(dāng)p＋2＝2q＝3，即時(shí)，取“＝”，
∴＋的最小值為.
法二：∵|1－x|－|x＋3|≤|1－x＋x＋3|＝4，
∴m＝4，p＋2q＝4，∴p＝4－2q，q∈(0,2)，
＋＝＋＝
＝＝.
∵q∈(0,2)，∴當(dāng)q＝時(shí)，
＋取得最小值.
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