新編高三數(shù)學 第22練 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題練習

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1、 第22練 利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題 訓練目標 (1)利用導數(shù)處理與函數(shù)零點有關(guān)的題型；(2)解題步驟的規(guī)范訓練． 訓練題型 (1)利用導數(shù)討論零點的個數(shù)；(2)利用導數(shù)證明零點的唯一性；(3)根據(jù)零點個數(shù)借助導數(shù)求參數(shù)范圍． 解題策略 (1)注重數(shù)形結(jié)合；(2)借助零點存在性定理處理零點的存在性問題；結(jié)合單調(diào)性處理零點的唯一性問題；(3)注意參變量分離. 1.設(shè)a>1，函數(shù)f(x)＝(1＋x2)ex－a. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點． 2．函數(shù)f(x)＝x3－kx，其中實數(shù)k為常

2、數(shù)． (1)當k＝4時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (2)若曲線y＝f(x)與直線y＝k只有一個交點，求實數(shù)k的取值范圍． 3．(20xx·貴陽調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝(a<0)． (1)當a＝－1時，求函數(shù)f(x)的極值； (2)若函數(shù)F(x)＝f(x)＋1沒有零點，求實數(shù)a的取值范圍． 4.設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋a)ln x，g(x)＝. 已知曲線y＝f(x) 在點(1，f(1))處的切線與直線2x－y＝0平行． (1)求a的值； (2)是否存在自然數(shù)k，使得方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；

3、如果不存在，請說明理由． 5．已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)當a<1時，試確定函數(shù)g(x)＝f(x－a)－x2的零點個數(shù)，并說明理由．  答案精析 1．(1)解　f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex ＝(x＋1)2ex，?x∈R，f′(x)≥0恒成立． ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)． (2)證明　∵f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a， ∵a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a

4、－a＝a>0， ∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一個零點， 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上遞增， ∴f(x)在(0，a)上僅有一個零點， ∴f(x)在(－∞，＋∞)上僅有一個零點． 2．解　(1)因為f′(x)＝x2－k， 當k＝4時，f′(x)＝x2－4， 令f′(x)＝x2－4＝0， 所以x1＝2，x2＝－2. f′(x)、f(x)隨x的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ? 極大值 ? 極小值 ? 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞

5、，－2)，(2，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)． (2)令g(x)＝f(x)－k，由題意知，g(x)只有一個零點． 因為g′(x)＝f′(x)＝x2－k. 當k＝0時，g(x)＝x3， 所以g(x)只有一個零點0. 當k<0時，g′(x)＝x2－k>0對x∈R恒成立，所以g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)只有一個零點． 當k>0時，令g′(x)＝f′(x)＝x2－k＝0，解得x1＝或x2＝－. g′(x)，g(x)隨x的變化情況如下表：  x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) ? 極大值 ?

6、 極小值 ? g(x)有且僅有一個零點等價于g(－)<0，即k－k<0，解得0

7、) － 0 ＋ F(x) ? 極小值 ? 若使函數(shù)F(x)沒有零點，當且僅當F(2)＝＋1>0， 解得a>－e2，所以此時－e21－1＝0， 所以存在x0∈(1,2)，使得

8、h(x0)＝0. 因為h′(x)＝ln x＋＋1＋， 所以當x∈(1,2)時，h′(x)>1－>0， 當x∈[2，＋∞)時，h′(x)>0， 所以當x∈(1，＋∞)時，h(x)單調(diào)遞增， 所以當k＝1時，方程f(x)＝g(x)在(k，k＋1)內(nèi)存在唯一的根． 5．解　(1)因為f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex. 令f′(x)＝0，得x＝－a－1. 當x變化時，f(x)和f′(x)的變化情況如下： x (－∞，－a－1) －a－1 (－a－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ? 極小值 ? 故f(x)的單調(diào)遞

9、減區(qū)間為(－∞，－a－1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－a－1，＋∞)． (2)結(jié)論：函數(shù)g(x)有且僅有一個零點． 理由如下： 由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2， 顯然x＝0為此方程的一個實數(shù)解， 所以x＝0是函數(shù)g(x)的一個零點． 當x≠0時，方程可化簡為ex－a＝x. 設(shè)函數(shù)F(x)＝ex－a－x，則F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a. 當x變化時，F(xiàn)(x)和F′(x)的變化情況如下： x (－∞，a) a (a，＋∞) F′(x) － 0 ＋ F(x) ? 極小值 ? 即F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)． 所以F(x)的最小值F(x)min＝F(a)＝1－a.因為a<1， 所以F(x)min＝F(a)＝1－a>0， 所以對于任意x∈R，F(xiàn)(x)>0， 因此方程ex－a＝x無實數(shù)解． 所以當x≠0時，函數(shù)g(x)不存在零點． 綜上，函數(shù)g(x)有且僅有一個零點．