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第四講 不等式
年份
卷別
考查角度及命題位置
命題分析
2018
Ⅰ卷
線性規(guī)劃求最值T13
1.選擇、填空題中的考查以簡單的線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)為主，重點求目標函數(shù)的最值，有時也與其他知識交匯考查．
2.基本不等式求最值及應用在課標卷考試中是低頻點，很少考查．
3.不等式的解法多與集合、函數(shù)、解析幾何、導數(shù)交匯考查.
Ⅱ卷
線性規(guī)劃求最值T14
2017
Ⅰ卷
線性規(guī)劃求最值T14
Ⅱ卷
線性規(guī)劃求最值T5
Ⅲ卷
線性規(guī)劃求最值T13
2016
Ⅰ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集運算T1
不等式比較大小、函數(shù)的單調(diào)性T8
線性規(guī)劃的實際應用T16
Ⅱ卷
一元二次不等式的解法、集合的并集運算T2
Ⅲ卷
一元二次不等式的解法、集合的交集運算T1
不等式比較大小、函數(shù)的單調(diào)性T6
線性規(guī)劃求最值T13
不等式性質(zhì)及解法
授課提示：對應學生用書第9頁
[悟通——方法結論]
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號，則其解集在兩根之間．簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間．
2．解簡單的分式、指數(shù)、對數(shù)不等式的基本思想是利用相關知識轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解．
3．解含參數(shù)不等式要正確分類討論．
[全練——快速解答]
1．(2018深圳一模)已知a>b>0，c<0，下列不等關系中正確的是( )
A．a(chǎn)c>bc B．a(chǎn)c>bc
C．loga(a－c)>logb(b－c) D.>
解析：法一：(性質(zhì)推理法)A項，因為a>b，c<0，由不等式的性質(zhì)可知ac
0，又a>b>0，由不等式的性質(zhì)可得a－c>b－c>0，即>>0，
再由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得ac 1＝0，即loga(a－c)b>0，c<0，所以a－c>b－c>0，b－a<0，
所以>0，即－>0，
所以>，故D正確．
綜上，選D.
法二：(特值驗證法)由題意，不妨取a＝4，b＝2，c＝－2.
則A項，ac＝－8，bc＝－4，所以ac0，即x>2時，不等式可化為(x－2)2≥4，所以x≥4；②當x－2<0，即x<2時，不等式可化為(x－2)2≤4，所以0≤x<2.綜上，不等式的解集是[0,2)∪[4，＋∞)．
答案：B
4．已知x∈(－∞，1]，不等式1＋2x＋(a－a2)4x>0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
解析：根據(jù)題意，由于1＋2x＋(a－a2)4x>0對于一切的x∈(－∞，1]恒成立，令2x＝t(00?a－a2>－，故只要求解h(t)＝－(0－，所以4a2－4a－3<0，解得－0(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集．
(2)含指數(shù)、對數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．
2．掌握不等式恒成立問題的解題方法
(1)f(x)>a對一切x∈I恒成立?f(x)min>a；f(x)g(x)對一切x∈I恒成立?f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方．
(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．利用分離參數(shù)法時，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等．
基本不等式
授課提示：對應學生用書第10頁
[悟通——方法結論]
求最值時要注意三點：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應用定理求最值時，和或積為定值，“三相等”是指等號成立．
[全練——快速解答]
1．(2018長春模擬)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，則x＋y的最小值為( )
A．8 B．9 C．12 D．16
解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，則x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，當且僅當＝，即x＝3，y＝6時取“＝”，故選B.
答案：B
2．(2017高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________．
解析：因為ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，
當且僅當時取等號，
故的最小值是4.
答案：4
3．(2017高考江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
解析：由題意，一年購買次，則總運費與總存儲費用之和為6＋4x＝4≥8＝240，
當且僅當x＝30時取等號，
故總運費與總存儲費用之和最小時x的值是30.
答案：30
掌握基本不等式求最值的3種解題技巧
(1)湊項：通過調(diào)整項的符號，配湊項的系數(shù)，使其積或和為定值．
(2)湊系數(shù)：若無法直接運用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值．
(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負的形式，然后運用基本不等式來求最值．
簡單的線性規(guī)劃問題
授課提示：對應學生用書第10頁
[悟通——方法結論]
平面區(qū)域的確定方法
解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結合找到目標函數(shù)達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點)，但要注意作圖一定要準確，整點問題要驗證解決．
[全練——快速解答]
1．(2017高考全國卷Ⅲ)設x，y滿足約束條件
則z＝x－y的取值范圍是( )
A．[－3,0] B．[－3,2]
C．[0,2] D．[0,3]
解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：y＝x，平移直線l0，當直線z＝x－y過點A(2,0)時，z取得最大值2，當直線z＝x－y過點B(0,3)時，z取得最小值－3，所以z＝x－y的取值范圍是[－3,2]．
答案：B
2．已知平面上的單位向量e1與e2 的起點均為坐標原點O，它們的夾角為.平面區(qū)域D由所有滿足＝λe1＋μe2的點P組成，其中那么平面區(qū)域D的面積為( )
A. B.
C. D.
解析：建立如圖所示的平面直角坐標系，不妨令單位向量e1＝(1,0)，e2＝，設向量＝(x，y)，因為＝λe1＋μe2，所以即因為所以表示的平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示，所以平面區(qū)域D的面積為，故選D.
答案：D
3．(2018福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序．已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個工作時，漆工2個工作時；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個工作時，漆工1個工作時．生產(chǎn)一把椅子的利潤為1 500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2 000元．該廠每個月木工最多完成8 000個工作時、漆工最多完成1 300個工作時．根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個月所能獲得的最大利潤是________元．
解析：設該廠每個月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，利潤為z元，則得約束條件
畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x＋4y＝0，平移該直線，可知當該直線經(jīng)過點P時，z取得最大值．由得即P(200,900)，所以zmax＝1 500200＋2 000900＝2 100 000.故每個月所獲得的最大利潤為2 100 000元．
答案：2 100 000
解決線性規(guī)劃問題的3步驟
[練通——即學即用]
1．(2018湘東五校聯(lián)考)已知實數(shù)x，y滿足且z＝x＋y的最大值為6，則(x＋5)2＋y2的最小值為( )
A．5 B．3
C. D.
解析：作出不等式組
表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直線y＝－x，由圖形可知當直線y＝－x＋z經(jīng)過點A時，直線y＝－x＋z的縱截距最大，此時z最大，最大值為6，即x＋y＝6.由得A(3,3)，∵直線y＝k過點A，∴k＝3.(x＋5)2＋y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點與D(－5,0)的距離的平方，數(shù)形結合可知，(－5,0)到直線x＋2y＝0的距離最小，可得(x＋5)2＋y2的最小值為2＝5.故選A.
答案：A
2．已知變量x，y滿足約束條件記z＝4x＋y的最大值是a，則a＝________.
解析：如圖所示，變量x，y滿足的約束條件的可行域如圖中陰影部分所示．作出直線4x＋y＝0，平移直線，知當直線經(jīng)過點A時，z取得最大值，由解得所以A(1，－1)，此時z＝41－1＝3，故a＝3.
答案：3
3．(2018高考全國卷Ⅰ)若x、y滿足約束條件則z＝3x＋2y的最大值為________．
解析：作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示．
由z＝3x＋2y得y＝－x＋.
作直線l0：y＝－x.平移直線l0，當直線y＝－x＋過點(2,0)時，z取最大值，zmax＝32＋20＝6.
答案：6
授課提示：對應學生用書第118頁
一、選擇題
1．已知互不相等的正數(shù)a，b，c滿足a2＋c2＝2bc，則下列等式中可能成立的是( )
A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：若a>b>0，則a2＋c2>b2＋c2≥2bc，不符合條件，排除A，D；
又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c與b－c同號，排除C；
當b>a>c時，a2＋c2＝2bc有可能成立，例如：取a＝3，b＝5，c＝1.故選B.
答案：B
2．已知b>a>0，a＋b＝1，則下列不等式中正確的是( )
A．log3a>0 B．3a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．3≥6
解析：對于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，這與b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以A不正確；對于B，由3a－b<可得3a－b<3－1，所以a－b<－1，可得a＋1a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正確；對于C，由log2a＋log2b<－2可得log2(ab)<－2＝log2，所以ab<，又b>a>0，a＋b＝1>2，所以ab<，兩者一致，所以C正確；對于D，因為b>a>0，a＋b＝1，所以3>32＝6, 所以D不正確，故選C.
答案：C
3．在R上定義運算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，則a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由題知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
答案：C
4．已知a∈R，不等式≥1的解集為P，且－2?P，則a的取值范圍為( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：∵－2?P，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
答案：D
5．已知x，y滿足則z＝8－xy的最小值為( )
A．1 B.
C. D.
解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z＝8－xy＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當x＝1，y＝2時，－3x－y的值最小，且－31－2＝－5，此時2－3x－y最小，最小值為.故選D.
答案：D
6．設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當x<0時，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：A
7．已知實數(shù)x，y滿足如果目標函數(shù)z＝3x－2y的最小值為0，則實數(shù)m等于( )
A．4 B．3
C．6 D．5
解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z＝3x－2y所對應的直線經(jīng)過點A時，z取得最小值0.
由
求得A.
故z的最小值為3－2＝－＋，
由題意可知－＋＝0，解得m＝5.
答案：D
8．若對任意正實數(shù)x，不等式≤恒成立，則實數(shù)a的最小值為( )
A．1 B.
C. D.
解析：因為≤，即a≥，而＝≤(當且僅當x＝1時取等號)，所以a≥.
答案：C
9．(2018太原一模)已知實數(shù)x，y滿足條件則z＝x2＋y2的取值范圍為( )
A．[1,13] B．[1,4]
C. D.
解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，所以zmin＝2＝，最大值為點O與點A(－2,3)的距離的平方，所以zmax＝|OA|2＝13，故選C.
答案：C
10．(2018衡水二模)若關于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：∵關于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2>0，
又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，
∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，當且僅當a＝時取等號．
∴x1＋x2＋的最小值是.
答案：C
11．某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：設租用A型車x輛，B型車y輛，目標函數(shù)為z＝1 600x＋2 400y，則約束條件為
作出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點A(5,12)時，有最小值zmin＝36 800(元)．
答案：C
12．(2018淄博模擬)已知點P(x，y)∈{(x，y)|M(2，－1)，則(O為坐標原點)的最小值為( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由題意知＝(2，－1)，＝(x，y)，設z＝＝2x－y，顯然集合{(x，y)|對應不等式組所表示的平面區(qū)域．作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z＝2x－y對應的直線經(jīng)過點A時，z取得最小值．由得A(－2,2)，所以目標函數(shù)的最小值zmin＝2(－2)－2＝－6，即的最小值為－6，故選C.
答案：C
二、填空題
13．(2018青島模擬)若a>0，b>0，則(a＋b)的最小值是________．
解析：(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋，因為a>0，b>0，所以(a＋b)≥3＋2＝3＋2，當且僅當＝，即a＝b時等號成立．所以所求最小值為3＋2.
答案：3＋2
14．(2018高考全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________．
解析：由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，x＋y取得最大值?斜率為－1的直線x＋y＝z(z看做常數(shù))的橫截距最大，
由圖可得直線x＋y＝z過點C時z取得最大值．
由得點C(5,4)，
∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．(2018石家莊模擬)若x，y滿足約束條件則z＝的最小值為________．
解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數(shù)z＝表示區(qū)域內(nèi)的點與點P(－3,2)連線的斜率．由圖知當可行域內(nèi)的點與點P的連線與圓相切時斜率最小．設切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－.
答案：－
16．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為________．
解析：令logab＝t，由a>b>1得0
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2019高考數(shù)學二輪復習
專題一
集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導數(shù)
第四講
不等式教案
2019
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第四
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