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1、
1
2、 1
第二節(jié) 等差數(shù)列
[考綱傳真] 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系．
1．等差數(shù)列的有關概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫作等差數(shù)列．用符號表示為an＋1－an＝
3、d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫作a，b的等差中項．
2．等差數(shù)列的有關公式
(1)通項公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項和公式：Sn＝na1＋＝.
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)若{an}
4、是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列．
1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．( )
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．( )
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S
5、3＝6，a3＝0，則公差d等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
D [依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D.]
3．(20xx·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]
4．(20xx·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( )
A．100 B．99
C．98 D．97
C [法一：∵{an}是等差數(shù)列，設其公差為d，
∴S9＝(a1＋a
6、9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故選C.
法二：∵{an}是等差數(shù)列，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故選C.]
5．(教材改編)在100以內(nèi)的正整數(shù)中有__________個能被6整除的數(shù).
【導學號：57962239】
16 [由題意知，能被6整除的數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，
則a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.
7、
由an＝6n≤100，即n≤16＝16，
則在100以內(nèi)有16個能被6整除的數(shù)．]
等差數(shù)列的基本運算
(1)(20xx·全國卷Ⅰ)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝( )
A. B.
C．10 D．12
(2)(20xx·云南省二次統(tǒng)一檢測)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝( )
【導學號：57962240】
A．9 B．10
C．11 D．15
(1)B (2)B [(1)∵公差為1，
∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S
8、8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.
(2)設等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意解得
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]
[規(guī)律方法] 1.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程思想的應用．
2．數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法．
[變式訓練1] (1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是( )
A. B．1
9、
C．2 D．3
(2)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________.
【導學號：57962241】
(1)C (2)－72 [(1)∵Sn＝，∴＝，又－＝1，
得－＝1，即a3－a2＝2，
∴數(shù)列{an}的公差為2.
(2)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
由已知，得解得
∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]
等差數(shù)列的判定與證明
已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
(2)求數(shù)列{an}中的通項公式
10、an.
[解] (1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)，
bn＝.
所以n≥2時，bn－bn－1＝－
＝－＝－＝1. 5分
又b1＝＝－，
所以數(shù)列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數(shù)列. 7分
(2)由(1)知，bn＝n－， 9分
則an＝1＋＝1＋. 12分
[規(guī)律方法] 1.判斷等差數(shù)列的解答題，常用定義法和等差中項法，而通項公式法和前n項和公式法主要適用于選擇題、填空題中的簡單判斷．
2．用定義證明等差數(shù)列時，常采用兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，a0無定義．
[變式訓練2] (1)
11、若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是( )
【導學號：57962242】
A．公差為3的等差數(shù)列
B．公差為4的等差數(shù)列
C．公差為6的等差數(shù)列
D．公差為9的等差數(shù)列
(2)已知每項均大于零的數(shù)列{an}中，首項a1＝1且前n項和Sn滿足Sn－Sn－1＝2(n∈N*且n≥2)，則a61＝__________.
(1)C (2)480 [(1)∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)
＝(a2n－1－a2n－3)＋2(a2n－a2n－2)
＝2＋2×2＝6，
∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列．
(2)由已知Sn－Sn－1
12、＝2可得，－＝2，所以{}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，故＝2n－1，Sn＝(2n－1)2，所以a61＝S61－S60＝1212－1192＝480.]
等差數(shù)列的性質(zhì)與最值
(1)(20xx·東北三省四市一聯(lián))如圖5-2-1所示的數(shù)陣中，每行、每列的三個數(shù)均成等差數(shù)列，如果數(shù)陣中所有數(shù)之和等于63，那么a52＝( )
【導學號：57962243】
圖5-2-1
A．2 B．8
C．7 D．4
(2)等差數(shù)列{an}中，設Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當n為多少時，Sn取得最大值．
(1)C [法一：第一行三數(shù)成等差數(shù)列，由等差中項的性質(zhì)有a41＋
13、a42＋a43＝3a42，同理第二行也有a51＋a52＋a53＝3a52，第三行也有a61＋a62＋a63＝3a62，又每列也成等差數(shù)列，所以對于第二列，有a42＋a52＋a62＝3a52，所以a41＋a42＋a43＋a51＋a52＋a53＋a61＋a62＋a63＝3a42＋3a52＋3a62＝3×3a52＝63，所以a52＝7，故選C.
法二：由于每行每列都成等差數(shù)列，不妨取特殊情況，即這9個數(shù)均相同，顯然滿足題意，所以有63÷9＝7，即a52＝7，故選C.]
(2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 4分
即d＝－a1. 7分
從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋
14、a1，
因為a1>0，所以－<0. 9分
故當n＝7時，Sn最大. 12分
法二：由法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，則有 5分
即 9分
解得6.5≤n≤7.5，故當n＝7時，Sn最大. 12分
法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 5分
故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 9分
所以a7>0，a8<0，所以當n＝7時，Sn最大. 12分
[規(guī)律方法] 1.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，am－an＝(m－n)d?＝d(m≠n)，其幾何意義是點(n，an)，(m，am)所
15、在直線的斜率等于等差數(shù)列的公差．
(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②S2n－1＝(2n－1)an.
2．求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法
(1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數(shù)最值的方法求解．
(2)鄰項變號法：
①當a1>0，d<0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm；
②當a1<0，d>0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.
[變式訓練3] (1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n
16、項和，則S11＝( )
【導學號：57962244】
A．18 B．99
C．198 D．297
(2)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝__________.
(1)B (2)20 [(1)因為a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99.
(2)法一：設數(shù)列{an}的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋
17、36d＝20.
法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差數(shù)列，設此數(shù)列公差為D.
所以5＋2D＝10，
所以D＝.
所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20.]
[思想與方法]
1．等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式涉及“五個量”，“知三求二”，需運用方程思想求解，特別是求a1和d.
(1)若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)若偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時，可設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….
2．等差數(shù)列{an}中，an＝an＋
18、b(a，b為常數(shù))，Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))，均是關于“n”的函數(shù)，充分運用函數(shù)思想，借助函數(shù)的圖像、性質(zhì)簡化解題過程．
3．等差數(shù)列的四種判斷方法：
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
(3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
[易錯與防范]
1．要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數(shù)列不是從第2項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列．
2．注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別．
3．求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件．
新版一輪北師大版理數(shù)學教案：第5章 第2節(jié) 等差數(shù)列 Word版含解析
