2018-2019學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.3 冪函數(shù)練習(xí) 新人教A版必修1.doc

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2.3 冪函數(shù)【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)冪函數(shù)的定義2,4,12冪函數(shù)的圖象3,6,7,10冪函數(shù)的性質(zhì)1,5,8,9,11,12,13,14,151.下列冪函數(shù)在(-,0)上為減函數(shù)的是(C)(A)y=(B)y=x3(C)y=x2(D)y=x解析:y=,y=x3,y=x在(-,0)上都是增函數(shù),故選C.2.冪函數(shù)f(x)=(m2-4m+4)在(0,+)為減函數(shù),則m的值為(C)(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2解析:因?yàn)閒(x)=(m2-4m+4)為冪函數(shù),所以m2-4m+4=1,解得m=3或m=1.由x(0,+)時(shí)冪函數(shù)為減函數(shù),則m2-6m+80,解得2m4.所以m=3,故選C.3.如圖,曲線C1與C2分別是y=xm,y=xn在第一象限的圖象,則(B)(A)nm0(B)mnm0(D)mn0解析:由題圖及其單調(diào)性可得mn0.故選B.4.若冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函數(shù),則實(shí)數(shù)m等于(A)(A)-1 (B)2(C)3 (D)-1或2解析:因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函數(shù),所以解得m=-1.故選A.5.三個(gè)數(shù)a=(),b=(),c=()的大小順序是(B)(A)cab(B)cba(C)abc(D)bac解析:因?yàn)?b=().因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=在(0,+)上單調(diào)遞減,所以b=()c=(),所以abc.故選B.6.已知冪函數(shù)f(x)=x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,),則f(4)的值等于.解析:由f(x)=x的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,),得=2,所以=-,則f(4)=2-1=.答案:7.函數(shù)y=x+2(x0)的圖象恒過定點(diǎn).解析:由x=1,y=3得圖象過定點(diǎn)(1,3).答案:(1,3)8.若冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,),則f(x)的值域?yàn)?解析:由題意設(shè)f(x)=xm,由點(diǎn)(4,)在函數(shù)圖象上得4m=,解得m=-2.所以f(x)=x-2=,故其值域?yàn)?0,+).答案:(0,+)9.已知(m2+m(3-m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:設(shè)函數(shù)y=,函數(shù)為R上的單調(diào)遞增函數(shù),得m2+m-m+3,即m2+2m-30,得(m-1)(m+3)0,所以m的取值范圍為m-3,1.10.下列結(jié)論中,正確的是(C)(A)冪函數(shù)的圖象都通過點(diǎn)(0,0),(1,1)(B)冪函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限(C)當(dāng)冪指數(shù)取1,3,時(shí),冪函數(shù)y=x是增函數(shù)(D)當(dāng)冪指數(shù)=-1時(shí),冪函數(shù)y=x在定義域上是減函數(shù)解析:當(dāng)冪指數(shù)=-1時(shí),冪函數(shù)y=x-1的圖象不通過原點(diǎn),故選項(xiàng)A不正確;因?yàn)樗械膬绾瘮?shù)在區(qū)間(0,+)上都有定義,且y=x(R), y0,所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限,故選項(xiàng)B不正確;當(dāng)=-1時(shí),y=x-1在區(qū)間(-,0)和(0,+)上是減函數(shù),但在它的定義域上不是減函數(shù),故選項(xiàng)D不正確.故選C.11.冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)在(0,+)上為減函數(shù),則m的取值是(B)(A)m=2 (B)m=-1(C)m=2或m=-1 (D)-3m1解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(m2-m-1)是冪函數(shù),所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.又x(0,+)時(shí)f(x)為減函數(shù),當(dāng)m=2時(shí),m2+2m-3=5,冪函數(shù)為f(x)=x5,不滿足題意;當(dāng)m=-1時(shí),m2+2m-3=-4,冪函數(shù)為f(x)=x-4,滿足題意.綜上,m=-1.故選B.12.已知冪函數(shù)f(x)=(n2+2n-2)(nZ)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,且在(0,+)上是減函數(shù),則n的值為 .解析:由于f(x)為冪函數(shù),所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,經(jīng)檢驗(yàn)只有n=1適合題意.答案:113.已知,冪函數(shù)f(x)=(mZ)為偶函數(shù),且在(0,+)上是增函數(shù),則f(2)的值為 .解析:因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)=(mZ)為偶函數(shù),且在(0,+)上是增函數(shù),則指數(shù)是偶數(shù)且大于0,因?yàn)?m2-2m+3=-(m+1)2+44,因此指數(shù)等于2或4,當(dāng)指數(shù)等于2時(shí),求得m非整數(shù),所以m=-1,即f(x)=x4.所以f(2)=24=16.答案:1614.若不等式x2-logmx0在(0,)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解:由x2-logmx0,得x2logmx,要使x2logmx在(0,)內(nèi)恒成立,只需y=logmx在(0,)內(nèi)的圖象在y=x2的上方,于是0m1.在同一坐標(biāo)系中作y=x2和y=logmx的草圖,如圖所示.因?yàn)閤=時(shí),y=x2=,所以只要x=時(shí),y=logm=logm.所以,即m.又0m1,所以m1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是,1).15.已知函數(shù)f(x)=+1.(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上的單調(diào)性并證明;(2)求f(x)在區(qū)間1,3上的最大值和最小值.解:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).證明如下:設(shè)x1,x2是區(qū)間(0,+)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1x10,所以x1+x20,x2-x10,(x1x2)20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+)上是減函數(shù).(2)由(1)知函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上是減函數(shù),所以當(dāng)x=1時(shí),取最大值,最大值為f(1)=2,當(dāng)x=3時(shí),取最小值,最小值為f(3)=.