三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）真題分項(xiàng)版解析—— 專(zhuān)題10 立體幾何（大題）

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1、 三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析 第十章 立體幾何 三、解答題 12.【2015江蘇高考，16】（本題滿(mǎn)分14分） 如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：（1）； （2）. A B C D E A1 B1 C1 【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析 【解析】 試題分析（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而由三角形中位線(xiàn)性質(zhì)得，再由線(xiàn)面平行判定定理得（2）因?yàn)橹比庵?，所以?cè)面為正方形，因此，又，（可由直三棱柱推導(dǎo)），因此由線(xiàn)面垂直判定定理得,從而，再由線(xiàn)面垂直判定定理得,

2、進(jìn)而可得 試題解析：（1）由題意知，為的中點(diǎn)， 又為的中點(diǎn)，因此． 又因?yàn)槠矫妫矫妫? 所以平面． （2）因?yàn)槔庵侵比庵? 所以平面． 【考點(diǎn)定位】線(xiàn)面平行判定定理，線(xiàn)面垂直判定定理 【名師點(diǎn)晴】不要忽視線(xiàn)面平行的判定定理中線(xiàn)在面外條件．證明直線(xiàn)與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn), 常利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行. 證明線(xiàn)面垂直時(shí)，不要忽視面內(nèi)兩條線(xiàn)為相交線(xiàn)這一條件．證明直線(xiàn)與平面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系的靈活利用，這是證

3、明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)． 13. 【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分13分） 如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2. （I）求證：EG∥平面ADF； （II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）設(shè)H為線(xiàn)段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線(xiàn)BH和平面CEF所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）利用空間向量證明線(xiàn)面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，利用法向量與直線(xiàn)方向向量垂直進(jìn)行論證（Ⅱ）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角

4、，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)關(guān)系求正弦值（Ⅲ）利用空間向量證明線(xiàn)面平行，關(guān)鍵是求出面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線(xiàn)面角互余關(guān)系求正弦值 試題解析：依題意，，如圖，以為點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，. （I）證明：依題意，.設(shè)為平面的法向量，則，即 .不妨設(shè)，可得，又，可得，又因?yàn)橹本€(xiàn)，所以. （II）解：易證，為平面的一個(gè)法向量.依題意，.設(shè)為平面的法向量，則， 即 .不妨設(shè)，可得. 因此有，于是， 所以，二面角的正弦值為. 考點(diǎn)：利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題 14. 【2014江蘇，理16】如圖

5、在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，已知， 求證（1）直線(xiàn)平面； （2）平面平面. 【答案】證明見(jiàn)解析． 【解析】 試題解析：（1）由于分別是的中點(diǎn)，則有，又，，所以． （2）由（1），又，所以，又是中點(diǎn)， 所以，，又，所以， 所以，是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，所以， 又，所以平面平面． 【考點(diǎn)定位】線(xiàn)面平行判定定理，面面垂直判定定理 【名師點(diǎn)晴】不要忽視線(xiàn)面平行的判定定理中線(xiàn)在面外條件．證明直線(xiàn)與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn), 常利用幾何體的特征，合理利用中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的性質(zhì)，或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線(xiàn)平行. 由于“線(xiàn)線(xiàn)垂直”“線(xiàn)面

6、垂直”“面面垂直”之間可以相互轉(zhuǎn)化，因此整個(gè)證明過(guò)程圍繞著線(xiàn)面垂直這個(gè)核心而展開(kāi)，這是化解空間垂直關(guān)系難點(diǎn)的技巧所在．證明線(xiàn)面垂直時(shí)，不要忽視面內(nèi)兩條線(xiàn)為相交線(xiàn)這一條件．證明直線(xiàn)與平面垂直的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線(xiàn)線(xiàn)垂直關(guān)系的靈活利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)． 15. 【2015江蘇高考，22】（本小題滿(mǎn)分10分） 如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯 形，, （1）求平面與平面所成二面角的余弦值； （2）點(diǎn)Q是線(xiàn)段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)CQ與DP所成角最小時(shí)，求線(xiàn)段BQ的長(zhǎng) 【答案】（1）（2） 【解析】 （1）因?yàn)?/p>

7、平面，所以是平面的一個(gè)法向量，． 因?yàn)椋? 設(shè)平面的法向量為，則，，即． 令，解得，． 所以是平面的一個(gè)法向量． 從而，所以平面與平面所成二面角的余弦值為． （2）因?yàn)?，設(shè)（）， 又，則，又， 從而． 設(shè)，，則． 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的最大值為． 因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，此時(shí)直線(xiàn)與所成角取得最小值． 又因?yàn)?，所以? 【考點(diǎn)定位】空間向量、二面角、異面直線(xiàn)所成角 【名師點(diǎn)晴】1．求兩異面直線(xiàn)a，b的夾角θ，須求出它們的方向向量a，b的夾角，則cos θ＝|cos〈a，b〉|.2．求直線(xiàn)l與平面α所成的角θ可先求出平面α的法向量n與直線(xiàn)l的方向向量a的夾角．則sin θ＝|cos

8、〈n，a〉|.3．求二面角α -l -β的大小θ，可先求出兩個(gè)平面的法向量n1，n2所成的角，則θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉． 16. 【2015高考山東，理17】如圖，在三棱臺(tái)中，分別為的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）若平面， ， ,求平面與平面 所成的角（銳角）的大小. 【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II） 【解析】 試題分析：（I）思路一：連接，設(shè)，連接，先證明，從而由直線(xiàn)與平面平行的判定定理得平面；思路二：先證明平面 平面 ，再由平面與平面平行的定義得到平面. （II）思路一：連接，設(shè)，連接，證明 兩兩垂直, 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

9、系，利用空量向量的夾角公式求解；思路二：作 于點(diǎn) ，作 于點(diǎn) ，連接，證明 即為所求的角，然后在三角形中求解. 試題解析： 證法二： 在三棱臺(tái)中， 由為的中點(diǎn) 可得 所以四邊形為平行四邊形 可得 在 中， 為的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)， 所以 又 ，所以平面 平面 因?yàn)?平面 所以 平面 （II）解法一： 設(shè) ，則 在三棱臺(tái)中， 為的中點(diǎn) 由 ， 可得四邊形 為平行四邊形， 因此 又平面 所以平面 在中，由 ，是中點(diǎn)， 所以 因此 兩兩垂直, 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 所以 可得 故

10、 設(shè) 是平面 的一個(gè)法向量，則 由 可得 可得平面 的一個(gè)法向量 因?yàn)?是平面 的一個(gè)法向量， 所以 所以平面與平面所成的解(銳角)的大小為 在 中, 由∽ 可得 從而 由平面平面 得 因此 所以 所以平面與平面所成角（銳角）的大小為 . 【考點(diǎn)定位】1、空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系；2、二面角的求法；3、空間向量在解決立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】本題涉及到了立體幾何中的線(xiàn)面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立幾何中的證明與求解，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問(wèn)題是一種成熟的方法，要注意建立適

11、當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性. 17. 【2014山東.理17】（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是線(xiàn)段的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（銳角）的余弦值. 【答案】（I）證明：見(jiàn)解析；（II）平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為. 【解析】 試題分析：（I）由四邊形ABCD是等腰梯形，且， 可得且. 連接，可得， 從而得到四邊形為平行四邊形， 進(jìn)一步可得平面. 思路二：按照“一作，二證，三計(jì)算”. 過(guò)C向AB引垂線(xiàn)交AB于N，連接，由平面ABCD，可得， 得到為二面角的平面角，利用直角

12、三角形中的邊角關(guān)系計(jì)算平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值. 試題解析：（I）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形， 且， 所以，又由M是AB的中點(diǎn)， 因此且. 連接， 在四棱柱中， 因?yàn)椋? 可得， 所以，四邊形為平行四邊形， 因此， 又平面，平面， 所以平面. 所以. 因此， 所以，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量， 由，得， 可得平面的一個(gè)法向量. 又為平面ABCD的一個(gè)法向量， 因此. 所以平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為. 解法二： 由（I）知，平面平面ABCD=AB， 過(guò)C向AB引垂線(xiàn)交AB于N，連接， 由平面ABC

13、D，可得， 因此為二面角的平面角， 在中，， 可得， 所以， 在中，， 所以平面和平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的平行關(guān)系及空間的角.對(duì)于本題，可應(yīng)用“幾何法”和“空間向量方法”，體現(xiàn)了解題的靈活性. 本題是一道能力題，屬于中等題，對(duì)計(jì)算能力要求較高，在考查空間平行關(guān)系、空間的角等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、轉(zhuǎn)化與化歸思想及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 18. 【2016年高考北京理數(shù)】（本小題14分） 如圖，在四棱錐中，平面平面，，，， ，，. （1）求證

14、：平面； （2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）存在， 【解析】 試題分析：（1）由面面垂直性質(zhì)定理知AB⊥平面；根據(jù)線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理可知，再由線(xiàn)面垂直判定定理可知平面；（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求出直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；（3）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，根據(jù)平面，即，求的值，即可求出的值. 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得， . 設(shè)平面的法向量為，則 即 令，則. 所以. 又，所以. 所以直線(xiàn)與平面所成

15、角的正弦值為. 考點(diǎn)：1.空間垂直判定與性質(zhì)；2.異面直線(xiàn)所成角的計(jì)算；3.空間向量的運(yùn)用. 【名師點(diǎn)睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用：當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，常作的輔助線(xiàn)是在其中一個(gè)面內(nèi)作交線(xiàn)的垂線(xiàn)，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直，進(jìn)而可以證明線(xiàn)線(xiàn)垂直(必要時(shí)可以通過(guò)平面幾何的知識(shí)證明垂直關(guān)系)，構(gòu)造(尋找)二面角的平面角或得到點(diǎn)到面的距離等. 19. 【2015高考陜西，理18】（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖． （I）證明：平面； （II）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值． 【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）．

16、 【解析】 試題分析：（I）先證，，再可證平面，進(jìn)而可證平面；（II）先建立空間直角坐標(biāo)系，再算出平面和平面的法向量，進(jìn)而可得平面與平面夾角的余弦值． 試題解析：（I）在圖1中， 因?yàn)椋?，是的中點(diǎn)，，所以 即在圖2中，， 從而平面 又，所以平面. (II)由已知，平面平面，又由（I）知，， 所以為二面角的平面角，所以. 如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系， 因?yàn)椋? 所以 得 ，. 設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為， 則，得，取， ，得，取， 從而， 即平面與平面夾角的余弦值為. 考點(diǎn)：1、線(xiàn)面垂直；2、二面角；3、空間直角坐標(biāo)系；4、空間向

17、量在立體幾何中的應(yīng)用. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線(xiàn)面垂直、二面角、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線(xiàn)面垂直的關(guān)鍵是證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線(xiàn)合一”和菱形、正方形的對(duì)角線(xiàn)． 20. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】如圖，四棱錐中，地面，，，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)． （I）證明平面； （II）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，

18、由此結(jié)合線(xiàn)面平行的判斷定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求直線(xiàn)的方向向量與平面法向量的夾角來(lái)處理與平面所成角． 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 由題意知，，，，， ，，. 設(shè)為平面的法向量，則，即，可取， 于是. 考點(diǎn)：1、空間直線(xiàn)與平面間的平行與垂直關(guān)系；2、棱錐的體積． 【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行來(lái)實(shí)現(xiàn)，而線(xiàn)線(xiàn)平行常常利用三角形的中位線(xiàn)、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來(lái)推證；（2）求解空間中的角和距離常?？赏ㄟ^(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來(lái)處理．

19、21. 【2014高考陜西版理第17題】四面體及其三視圖如圖所示，過(guò)棱的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四面體的棱于點(diǎn). （1）證明：四邊形是矩形； （2）求直線(xiàn)與平面夾角的正弦值. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 試題分析：（1）由該四面體的三視圖可知：， 由題設(shè)，∥面，面面，面面，所以∥，∥，所以∥，同理可得∥，即得四邊形是平行四邊形，同時(shí)可證，即證四邊形是矩形； 試題解析：（1）由該四面體的三視圖可知： ， 由題設(shè)，∥面 面面 面面 ∥，∥， ∥. 同理∥，∥， ∥. 四邊形是平行四邊形 又 平面 ∥,∥ 四邊形是矩形

20、（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量 ∥,∥ 即得，取 考點(diǎn)：面面平行的性質(zhì)；線(xiàn)面角的求法. 【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是三視圖，面面平行的性質(zhì)定理、線(xiàn)面角、空間直角坐標(biāo)系和空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意線(xiàn)面角的正弦值是直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤． 22. 【2014新課標(biāo)，理18】（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn). （Ⅰ）證明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為6

21、0°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積. 【解析】（Ⅰ）證明：設(shè)O為AC與BD交點(diǎn)，連結(jié)OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點(diǎn)，因?yàn)镋是BD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB，因?yàn)镺E面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。 （Ⅱ）以A為原點(diǎn)，直線(xiàn)AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=m，則是平面AED的一個(gè)法向量，設(shè)是平面AEC的法向量， 則，解得，， 所以令，得， 所以=，因?yàn)槎娼堑拇笮∨c其兩個(gè)半平面的兩個(gè)法向量的夾角相等哉互補(bǔ)， 所以=，解得，因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)， 所以三棱錐E-ACD的高為， 所以三棱錐E-ACD的體積為==. 【考

22、點(diǎn)定位】1.直線(xiàn)與平面平行；2.三棱錐的體積；3.二面角. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線(xiàn)與平面平行的判斷與證明，三棱錐的體積的求法，屬于中等題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，要證線(xiàn)面平行，由判定定理可知，只需在面內(nèi)作一直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行即可，如何作出這條面內(nèi)線(xiàn)就是平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累與分析思維的能力了，二面角這一條件只須建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量知識(shí)求解可避免作出二面角的平面角這一難點(diǎn)．，同時(shí)也不要忘了還可換底方法可用． 23. 【2016高考浙江理數(shù)】(本題滿(mǎn)分15分)如圖,在三棱臺(tái)中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (I)求證：EF⊥平面ACFD； (II)求二

23、面角B-AD-F的平面角的余弦值. 【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）． 試題解析：（I）延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，如圖所示． 因?yàn)槠矫嫫矫妫?，所以? 平面，因此， ． 又因?yàn)椋?，，所? 為等邊三角形，且為的中點(diǎn)，則 ． 所以平面． 方法二： 如圖，延長(zhǎng)，，相交于一點(diǎn)，則為等邊三角形． 取的中點(diǎn)，則，又平面平面，所以，平面． 以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)，的方向?yàn)?，的正方向? 建立空間直角坐標(biāo)系． 由題意得 ，，， ，，． 因此， ，，． 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為． 由，得，取； 由，得，?。? 于是，． 所以，二面角的平面角的余弦值為．

24、 考點(diǎn)：1、線(xiàn)面垂直；2、二面角． 【方法點(diǎn)睛】解題時(shí)一定要注意二面角的平面角是銳角還是鈍角，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．證明線(xiàn)面垂直的關(guān)鍵是證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三線(xiàn)合一”和菱形、正方形的對(duì)角線(xiàn)． 24. 【2014四川，理18】三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)，分別為線(xiàn)段，的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的點(diǎn)，且. （1）證明：為線(xiàn)段的中點(diǎn)； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）. 試題解答：根據(jù)側(cè)視圖和俯視圖可知，為正三角形，頂點(diǎn)D在底面內(nèi)的射影為BD的中點(diǎn)O，所以?xún)蓛苫ハ啻怪?，建坐?biāo)系如圖所示， 則，，設(shè)（1）證

25、明：設(shè)，則，.因?yàn)?，所以點(diǎn)P是BC的中點(diǎn). （2）易得平面PMN的法向量為.， 設(shè)平面ABC的法向量為，則， 所以. 【考點(diǎn)定位】1、空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系；2、二面角. 【名師點(diǎn)睛】此題主要利用空間向量解題，為了證明點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，只需利用向量證明即可.在求二面角時(shí)，法一利用圖形中的位置關(guān)系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過(guò)程當(dāng)中，通常會(huì)結(jié)合一些初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)，例如三角形的中位線(xiàn)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注；法二利用坐標(biāo)法求二面角，主要是空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求出半平面法向量夾角后，要觀(guān)

26、察二面角是銳角還是鈍角，正確寫(xiě)出二面角的余弦值． 25. 【2015高考四川，理18】一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀(guān)圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設(shè)的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為 （1）請(qǐng)將字母標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由） （2）證明：直線(xiàn)平面 （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）點(diǎn)F、G、H的位置如圖所示. （2）詳見(jiàn)解析.（3） 【解析】（1）點(diǎn)F、G、H的位置如圖所示. （2）連結(jié)BD，設(shè)O為BD的中點(diǎn). 因?yàn)镸、N分別是BC、GH的中點(diǎn)， 所以，且， ，且， 所以， 所以是平行四邊形， 從而， 又平面，平面， 所以平面.

27、（3）連結(jié)AC，過(guò)M作于P. 在正方形中，， 所以. 過(guò)P作于K，連結(jié)KM， 所以平面， 從而. 所以是二面角的平面角. 設(shè)，則， 在中，. 在中，. 所以. 即二面角的余弦值為. （另外，也可利用空間坐標(biāo)系求解） 【考點(diǎn)定位】本題主要考查簡(jiǎn)單空間圖形的直觀(guān)圖、空間線(xiàn)面平行的判定與性質(zhì)、空間面面夾角的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力. 【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題的考查內(nèi)容，不外乎線(xiàn)面、面面位置關(guān)系及空間夾角與距離的計(jì)算. （1）注意ABCD是底面，將平面展開(kāi)圖還原可得點(diǎn)F、G、H的位置. （2）根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理，應(yīng)考慮證

28、明MN平行于平面BDH內(nèi)的一條直線(xiàn).連結(jié)O、M，易得是平行四邊形，從而，進(jìn)而證得平面.（3）要作出二面角的平面角，首先要過(guò)M作平面AEGC的垂線(xiàn)，然后再過(guò)垂足作棱EG的垂線(xiàn)，再將垂足與點(diǎn)M連結(jié)，即可得二面角的平面角. 26. 【2014課標(biāo)Ⅰ，理19】(本小題滿(mǎn)分12分) 如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，. （Ⅰ）證明：; （Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ） ,,． 設(shè)是平面的法向量，則即所以可?。? 設(shè)是平面的法向量，則同理可?。? 則．所以二面角的余弦值為． 【考點(diǎn)定位】1、直線(xiàn)和平面垂直的判定和性質(zhì)；2、二面角求法． 【名師點(diǎn)睛】本

29、題主要考查空間線(xiàn)面位置關(guān)系及二面角的求解，意在考查考生的空間想象能力即運(yùn)算求解能力. 二面角的求法是每年高考的熱點(diǎn)，常用方法是利用空間向量、三垂線(xiàn)定理等，考生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)對(duì)各種方法的訓(xùn)練，做到無(wú)誤. 27. 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E為邊AD的中點(diǎn)，異面直線(xiàn)PA與CD所成的角為90°. （Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線(xiàn)CM∥平面PBE，并說(shuō)明理由； （Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線(xiàn)PA與平面PCE所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ

30、）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）探索線(xiàn)面平行，根據(jù)是線(xiàn)面平行的判定定理，先證明線(xiàn)線(xiàn)平行，再得線(xiàn)面平行，而這可以利用已知的平行，易得CD∥EB；從而知為DC和AB的交點(diǎn)；（Ⅱ）求線(xiàn)面角，可以先找到這個(gè)角，即作出直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知圖形中的垂直建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求出線(xiàn)面角（通過(guò)平面的法向量與直線(xiàn)的方向向量的夾角來(lái)求得）． （說(shuō)明：延長(zhǎng)AP至點(diǎn)N，使得AP=PN，則所找的點(diǎn)可以是直線(xiàn)MN上任意一點(diǎn)） （Ⅱ）方法一： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD. 從而CD⊥PD. 所以∠PDA是二面角P-CD-A的

31、平面角. 所以∠PDA=45°. 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2. 過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連接PH. 易知PA⊥平面ABCD， 從而PA⊥CE. 于是CE⊥平面PAH. 所以平面PCE⊥平面PAH. 過(guò)A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE. 所以∠APH是PA與平面PCE所成的角. 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1， 所以AH=. 在Rt△PAH中，PH== ， 所以sin∠APH= =. 方法二： 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A， 所以CD⊥平面PAD. 于是CD⊥PD. 從而∠PDA是二

32、面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45°. 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD. 設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2. 作Ay⊥AD，以A為原點(diǎn)，以 ,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)， 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2） 設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)， 由 得 設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1). 設(shè)直線(xiàn)PA與平面PCE所成角為α，則sinα= = . 所以直線(xiàn)PA與平面PCE所成角的正弦值為 .

33、考點(diǎn)：線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、向量法. 【名師點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、計(jì)算能力.證明線(xiàn)面平行時(shí)，可根據(jù)判定定理的條件在平面內(nèi)找一條平行線(xiàn)，而這條平行線(xiàn)一般是由過(guò)面外的直線(xiàn)的一個(gè)平面與此平面相交而得，證明時(shí)注意定理的另外兩個(gè)條件（線(xiàn)在面內(nèi)，線(xiàn)在面外）要寫(xiě)全，否則會(huì)被扣分，求線(xiàn)面角（以及其他角），一種方法可根據(jù)定義作出這個(gè)角（注意還要證明），然后通過(guò)解三角形求出這個(gè)角．另一種方法建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求角，這種方法主要是計(jì)算，不需要“作角、證明”，關(guān)鍵是記住相應(yīng)公式即可． 28．【2015高考新課標(biāo)1，理18】如圖，，四邊形ABC

34、D為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. （Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC； （Ⅱ）求直線(xiàn)AE與直線(xiàn)CF所成角的余弦值. 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ） 【解析】 試題分析：（Ⅰ）連接BD，設(shè)BD∩AC=G，連接EG，F(xiàn)G，EF，在菱形ABCD中，不妨設(shè)GB=1易證EG⊥AC，通過(guò)計(jì)算可證EG⊥FG，根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，利用向量法可求出

35、異面直線(xiàn)AE與CF所成角的余弦值. 在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=， ∴，∴EG⊥FG， ∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC， ∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分 （Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分 故. 所以直線(xiàn)AE與CF所成的角的余弦值為. ……12分 【考點(diǎn)定位】空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線(xiàn)所成角的

36、計(jì)算；空間想象能力，推理論證能力 【名師點(diǎn)睛】對(duì)空間面面垂直問(wèn)題的證明有兩種思路，思路1：幾何法，先由線(xiàn)線(xiàn)垂直證明線(xiàn)面垂直，再由線(xiàn)面垂直證明面面垂直；思路2：利用向量法，通過(guò)計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，證明其法向量垂直，從而證明面面垂直；對(duì)異面直線(xiàn)所成角問(wèn)題，也有兩種思路，思路1：幾何法，步驟為一找二作三證四解，一找就是先在圖形中找有沒(méi)有異面直線(xiàn)所成角，若沒(méi)有，則通常做平行線(xiàn)或中位線(xiàn)作出異面直線(xiàn)所成角，再證明該角是異面直線(xiàn)所成角，利用解三角形解出該角. 29. 【2015高考浙江，理17】如圖，在三棱柱-中，，，，在底面的射影為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn). （1）證明：D平面； （2）求二面角-BD-

37、的平面角的余弦值. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 試題分析：（1）根據(jù)條件首先證得平面，再證明，即可得證；（2） 作，且，可證明為二面角的平面角，再由 余弦定理即可求得，從而求解. 試題解析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，由題意得平面，∴，∵， ∴，故平面，由，分別，的中點(diǎn)，得且 ，從而，∴四邊形為平行四邊形，故，又∵ 平面，∴平面；（2）作，且，連結(jié)， 由，，得，由， ，得，由，得，因此為二面角 的平面角，由，，，得， ，由余弦定理得，. 【考點(diǎn)定位】1.線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求解 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)以及二面角的求解，屬于中

38、檔題，在解題時(shí)，應(yīng)觀(guān)察各個(gè)直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定即可求解，在求二面角時(shí)，可以利用圖形中的位置關(guān)系，求得二面角的平面角，從而求解，在求解過(guò)程當(dāng)中，通常會(huì)結(jié)合一些初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)，例如三角形的中位線(xiàn)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注. 30. 【2014年.浙江卷.理20】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，在四棱錐中，平面平面. （1） 證明：平面; （2） 求二面角的大小 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）二面角的大小是． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）求證：平面，證明線(xiàn)面垂直，先證線(xiàn)線(xiàn)垂直，即證線(xiàn)和平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)垂直，由已知

39、可得，只需證明，或，由已知平面平面，只需證明，就得平面，即，而由已知，在直角梯形中，易求，從而滿(mǎn)足，即得，問(wèn)題得證；（Ⅱ）求二面角的大小，可用傳統(tǒng)方法，也可用向量法，用傳統(tǒng)方法，關(guān)鍵是找二面角的平面角，可利用三垂線(xiàn)定理來(lái)找，但本題不存在利用三垂線(xiàn)定理的條件，因此利用垂面法，即作，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，連結(jié)，由（I）知，，則，，所以是二面角的平面角，求出的三條邊，利用余弦定理，即可求出二面角的大小，用向量法，首先建立空間坐標(biāo)系，先找三條兩兩垂直的直線(xiàn)作為坐標(biāo)軸，觀(guān)察幾何圖形可知，以為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，求出它

40、們的一個(gè)法向量，利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系，即可求出二面角的大?。? 試題解析：（I）在直角梯形中，由，得，，由，則，即，又平面平面，從而平面，所以，又，從而平面； （II）方法一：作，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，連結(jié)，由（I）知，，則，，所以是二面角的平面角，在直角梯形中，由，得，又平面平面，得平面，從而，，由于平面，得：，在中，由，，得， 在中，，，得，在中，，，，得，，從而，在中，利用余弦定理分別可得，在中，，所以，即二面角的大小是． 【考點(diǎn)定位】空間點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系；二面角；空間向量 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查空間點(diǎn)，線(xiàn)，面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間向量的應(yīng)用

41、，同時(shí)考查空間想象能力，與推理論證，運(yùn)算求解能力；傳統(tǒng)方法證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)利用面面垂直的性質(zhì)．當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面．用向量證明線(xiàn)面垂直：證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn)，或?qū)⒕€(xiàn)面垂直的判定定理用向量表示．運(yùn)用向量知識(shí)判定空間位置關(guān)系，仍然離不開(kāi)幾何定理．如用直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直來(lái)證明線(xiàn)面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線(xiàn)在平面外．利用平面的法向量求線(xiàn)面角時(shí)注意事項(xiàng)：(1)求出直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳

42、角(鈍角時(shí)取其補(bǔ)角)，取其余角即為所求．(2)若求線(xiàn)面角的余弦值，要注意利用平方關(guān)系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要誤為直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾角的余弦值為所求． 31. . 【2016高考上海理數(shù)】將邊長(zhǎng)為1的正方形（及其內(nèi)部）繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)。 （1）求三棱錐的體積；學(xué).科網(wǎng) （2）求異面直線(xiàn)與所成的角的大小。 【答案】（1）．（2）． 【解析】 試題分析：（1）由題意可知，圓柱的高，底面半徑． 確定．計(jì)算后即得. （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的母線(xiàn)與下底面交于點(diǎn)，則， 所以或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成的角． 由長(zhǎng)為，可知， 又，所以

43、， 從而為等邊三角形，得． 因?yàn)槠矫?，所以? 在中，因?yàn)?，，，所以? 從而直線(xiàn)與所成的角的大小為． 考點(diǎn)：1.幾何體的體積；2.空間的角. 【名師點(diǎn)睛】此類(lèi)題目是立體幾何中的常見(jiàn)問(wèn)題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題.立體幾何中的角與距離的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力\轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等. 32. 【2014高考重慶理第19題】（本小題滿(mǎn)分13分,(Ⅰ)小問(wèn)6分，(Ⅱ)小問(wèn)7分） 如題（19）圖，四

44、棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面， ，為上一點(diǎn)，且. （Ⅰ）求的長(zhǎng)； （Ⅱ）求二面角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）連結(jié)、,因?yàn)槭橇庑蔚闹行模?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題設(shè)條件寫(xiě)出的坐標(biāo)，并設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理列方程解出的值得到的長(zhǎng)；. （Ⅱ）設(shè)平面的法向量為，平面PMC的法向量為，首先利用向量的數(shù)量積列方程求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求出，進(jìn)而求出二面角的正弦值. 試題解析： 解： （Ⅰ）如答（19）圖，連結(jié)，因?yàn)榱庑?，則，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方

45、向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 因，故 所以 由知， 從而，即 設(shè)，則因?yàn)椋? 故即，所以（舍去），即. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，, 設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為 由得故可取 由得故可取 從而法向量的夾角的余弦值為 故所求二面角的正弦值為. 考點(diǎn)：1、空間直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)；2、空間直角坐標(biāo)系；3、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用. 【名師點(diǎn)睛】本題在四棱錐中求線(xiàn)段PO的長(zhǎng)度，并求平面與平面所成角的正弦值．著重考查了空間線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)，考查了利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題． 33. 【2014安徽理20】(本題滿(mǎn)分13分) 如圖

46、，四棱柱中，底面．四邊形為梯形，,且．過(guò)三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為． （1） 證明：為的中點(diǎn)； （2） 求此四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積之比； （3） 若，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大?。? 【答案】（1）為的中點(diǎn)；（2）；（3）． 【解析】 試題分析：（1）利用面面平行來(lái)證明線(xiàn)線(xiàn)平行∥，則出現(xiàn)相似三角形，于是根據(jù)三角形相似即可得出，即為的中點(diǎn)．（2）連接．設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則．先表示出和，就可求出，從而．（3）可以有兩種方法進(jìn)行求解．第一種方法，用常規(guī)法，作出二面角．在中，作，垂足為，連接．又且，所以平面，于是．所

47、以為平面與底面所成二面角的平面角．第二種方法，建立空間直角坐標(biāo)系，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)．因?yàn)?，所以．從而，，所以，．設(shè)平面的法向量，再利用向量求出二面角． 試題解析：（1）證：因?yàn)椤危?， 所以平面∥平面．從而平面與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)相互平行，即∥． 故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是． 所以，即為的中點(diǎn)． （2）解：如第（20）題圖1，連接．設(shè)，梯形的高為，四棱柱被平面所分成上下兩部分的體積分別為和，，則． ， ， 所以， 又 所以， 故． （3）解法1如第（20）題圖1，在中，作，垂足為，連接．又且，所以平面，于是． 所以為平面與底面所成

48、二面角的平面角． 因?yàn)椤?，，所以? 又因?yàn)樘菪蔚拿娣e為6，，所以． 于是． 故平面與底面所成二面角的大小為． 解法2如第（20）題圖2，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)．因?yàn)椋裕? 從而，， 所以，． 設(shè)平面的法向量， 由得， 所以． 又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄浚? 所以， 故平面與底面所成而面積的大小為． 考點(diǎn)：1．二面角的求解；2．幾何體的體積求解． 【名師點(diǎn)睛】立體幾何證明性問(wèn)題有的看起來(lái)很顯然，但不能想當(dāng)然的寫(xiě)，一定要注意在每步證明時(shí)有定理的保證；關(guān)于體積的求解要常常使用分割法和轉(zhuǎn)化法，很多不規(guī)則圖形通過(guò)分割會(huì)變成我們熟悉的幾何體，轉(zhuǎn)化法

49、尤其喜歡出現(xiàn)在三棱錐的體積計(jì)算中；對(duì)于二個(gè)面所成角的求解，傳統(tǒng)方法先找角、再構(gòu)造、再定量的程序進(jìn)行，用空間向量法關(guān)鍵是求出法向量，注意二面角的平面角是鈍角還是銳角即可. 34. 【2014福建,理17】（本小題滿(mǎn)分12分） 在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面平面，如圖. （1） 求證： ； （2） 若為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值. 【答案】(1)參考解析;(2) 試題解析：(1)因?yàn)槠矫?平面平面平面所以平面又平面所以. (2)過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作,如圖.由(1)知平面平面平面所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以的方向?yàn)檩S, 軸, 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.依題意,得.則.設(shè)

50、平面的法向量.則即.取得平面的一個(gè)法向量.設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為,則即直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為. 考點(diǎn)：1.線(xiàn)面的位置關(guān)系.2.空間直角坐標(biāo)系.3.空間想象力. 【名師點(diǎn)睛】本題第一問(wèn)是垂直問(wèn)題的證明，空間中線(xiàn)面位置關(guān)系的證明主要包括線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面三者的平行與垂直關(guān)系,其中推理論證的關(guān)鍵是結(jié)合空間想象能力進(jìn)行推理,要防止步驟不完整或考慮不全致推理片面,該類(lèi)題目難度不大,以中檔題為主. 第二問(wèn)是角度的計(jì)算問(wèn)題,可用空間向量解決,利用向量求線(xiàn)面角的方法是求出平面的法向量及直線(xiàn)的方向向量,兩向量所夾銳角的余角就是所求線(xiàn)面角. 35. 【2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷19】(本小

51、題滿(mǎn)分12分) 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且. （1）當(dāng)時(shí)，證明：直線(xiàn)平面； （2）是否存在，使平面與面所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2） 【解析】 試題分析：（1）由正方體的性質(zhì)得，當(dāng)時(shí)，證明，由平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行得，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明平面；（2）解法1，如圖2，連結(jié)，證明四邊形與四邊形是等腰梯形，分別取、、的中點(diǎn)為、、，連結(jié)、，證明是平面與平面所成的二面角的平面角，設(shè)存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，求出的值；解法2，以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸的正半軸建

52、立如圖3的空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解. 試題解析：幾何法： （2）如圖2，連結(jié)，因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)， 所以，且，又，， 所以四邊形是平行四邊形， 故，且， 從而，且， 在和中，因?yàn)?，? 于是，，所以四邊形是等腰梯形， 同理可證四邊形是等腰梯形， 分別取、、的中點(diǎn)為、、，連結(jié)、， 則，，而， 故是平面與平面所成的二面角的平面角， 若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角，則， 連結(jié)、，則由，且，知四邊形是平行四邊形， 連結(jié)，因?yàn)?、是、的中點(diǎn)，所以， 在中，，， ， 由得，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角. 向量法： 以為原點(diǎn)，

53、射線(xiàn)分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標(biāo)系， 由已知得， 所以，，， （1）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋? 所以，即， 而平面，且平面， 故直線(xiàn)平面. （2）設(shè)平面的一個(gè)法向量， 由可得，于是取， 同理可得平面的一個(gè)法向量為， 若存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角， 則， 即，解得， 故存在，使平面與平面所成的二面角為直二面角. 考點(diǎn)：正方體的性質(zhì)，空間中的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行于垂直，二面角. 【名師點(diǎn)睛】這是一類(lèi)探究型習(xí)題，重點(diǎn)考查直線(xiàn)與平面平行的判定定理和二面角的求法，其解題思路：第一問(wèn)通過(guò)證明線(xiàn)線(xiàn)平行得出線(xiàn)面平行的結(jié)論；第二問(wèn)正確求解的關(guān)鍵是正確地找出平

54、面與平面所成的二面角的平面角.充分體現(xiàn)了探究型學(xué)習(xí)在高考中的重要性. 36. 【2014遼寧理19】（本小題滿(mǎn)分12分） 如圖，和所在平面互相垂直，且，，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn). （1）求證：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；(Ⅱ) . 【解析】 試題分析：（Ⅰ）（方法一）過(guò)E作EO⊥BC，垂足為O，連OF，由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FOC，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC，又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，即可證明EF⊥BC.（方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)B左垂直BC的直線(xiàn)為x軸，BC所在直線(xiàn)為y軸，在平面AB

55、C內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 易得,所以， 因此,從而得； (Ⅱ) （方法一）在圖1中，過(guò)O作OG⊥BF，垂足為G，連EG，由平面ABC⊥平面BDC，從而EO⊥平面BDC，從而EO⊥面BDC，又OG⊥BF，由三垂線(xiàn)定理知EG垂直BF，因此∠EGO為二面角E-BF-C的平面角；在△EOC中，EO=EC=BC·cos30°=，由△BGO∽△BFC知，,因此tan∠EGO=,從而sin∠EGO=，即可求出二面角E-BF-C的正弦值. 試題解析：（Ⅰ）證明： （方法一）過(guò)E作EO⊥BC，垂足為O，連OF， 由△ABC≌△DBC可證出△EOC≌△FO

56、C，所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC， 又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO， 又EF面EFO，所以EF⊥BC. （方法二）由題意，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面DBC內(nèi)過(guò)B左垂直BC的直線(xiàn)為x軸，BC所在直線(xiàn)為y軸，在平面ABC內(nèi)過(guò)B作垂直BC的直線(xiàn)為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 易得B（0,0,0），A(0，-1，),D(,-1,0)，C(0,2,0),因而,所以，因此,從而，所以. （方法二） 在圖2中，平面BFC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面BEF的法向量， 又,由 得其中一個(gè)， 設(shè)二面角E-BF-C的大小為，且由題意知為銳角， 則， 因此sin∠EGO=，即二面角E

57、-BF-C的正弦值為. 考點(diǎn)：1.線(xiàn)面垂直的判定；2.二面角. 【名師點(diǎn)睛】本題考查了空間直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的垂直關(guān)系及空間的角.對(duì)于本題，均可以利用空間向量方法、幾何法分別加以處理，體現(xiàn)解題的靈活性. 本題是一道能力題，屬于中等題，重點(diǎn)考查空間垂直關(guān)系、空間的角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查考生的計(jì)算能力、邏輯推理能力、空間想象能力、函數(shù)方程思想及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 37. 【2014上海,理19】（本題滿(mǎn)分12分） 底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐,其表面展開(kāi)圖是三角形，如圖，求△的各邊長(zhǎng)及此三棱錐的體積. 【答案】邊長(zhǎng)為4，體積為． 【解析】 試題分析：由于展開(kāi)

58、圖是，分別是所在邊的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的性質(zhì)，是正三角形，其邊長(zhǎng)為4，原三棱錐的側(cè)棱也是2，要求棱錐的體積需要求出棱錐的高，由于是正棱錐，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心，由相應(yīng)的直角三角形可求得高，得到體積． 試題解析：由題意中，，，所以是的中位線(xiàn)，因此是正三角形，且邊長(zhǎng)為4． 即，三棱錐是邊長(zhǎng)為2的正四面體 ∴如右圖所示作圖，設(shè)頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為，連接，并延長(zhǎng)交于 ∴為中點(diǎn)，為的重心，底面 ∴，， 【考點(diǎn)】圖象的翻折，幾何體的體積． 【名師點(diǎn)睛】簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要熟練掌握各類(lèi)簡(jiǎn)單幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握平幾

59、面積計(jì)算方法.柱的體積為,區(qū)別錐的體積；熟記正三角形面積為，正六邊形的面積為. 38. 【2015安徽理19】（本小題滿(mǎn)分13分） 如圖所示，在多面體，四邊形，均為正方形，為的中點(diǎn)，過(guò)的平面交于F. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）求二面角余弦值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）證明：依據(jù)正方形的性質(zhì)可知，且，，從而為平行四邊形，則，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理知面，再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理知.（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?，，均為正方形，所以，且，可以建以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸單位正向量的平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出面的法向量.由得應(yīng)滿(mǎn)足的方程組，為其一組解，所以可取

60、.同理的法向量.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為. 試題解析：（Ⅰ）證明：由正方形的性質(zhì)可知，且，所以四邊形為平行四邊形，從而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以. （Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?，，均為正方形，所以，且，以為原點(diǎn)，分別以為軸，軸，軸單位正向量建立，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得點(diǎn)的坐標(biāo).而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為. 設(shè)面的法向量.而該面上向量，由得應(yīng)滿(mǎn)足的方程組，為其一組解，所以可取.設(shè)面的法向量，而該面上向量，由此同理可得.所以結(jié)合圖形知二面角的余弦值為. 【考點(diǎn)定位】1.線(xiàn)面平行的判定定理與性質(zhì)定理；2.二面角的求解. 【名師點(diǎn)睛】解答空間幾何體中的

61、平行、垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間的平行、垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；求二面角，則通過(guò)求兩個(gè)半平面的法向量的夾角間接求解.此時(shí)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及正確求出各點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵所在. 39. 【2015福建理17】如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BE，DC的中點(diǎn). (Ⅰ)求證：平面 ； (Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值

62、． 【答案】(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ) ． 【解析】解法一：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，又G是BE的中點(diǎn)，， 又F是CD中點(diǎn)，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以．從而四邊形是平行四邊形，所以，,又，所以． (Ⅱ)如圖，在平面BEC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作,因?yàn)椋? 又因?yàn)锳B平面BEC，所以ABBE，ABBQ 以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)．因?yàn)锳B平面BEC，所以為平面BEC的法向量， 設(shè)為平面AEF的法向量.又 由取得. 從而 所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的

63、余弦值為． 解法二：(Ⅰ)如圖，取中點(diǎn)，連接，，又是的中點(diǎn)，可知， 又面，面，所以平面． 在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點(diǎn)得． 又面，面，所以面． 又因?yàn)椋?，面? 所以面平面，因?yàn)槊?，所以平面? （Ⅱ）同解法一． 【考點(diǎn)定位】1、直線(xiàn)和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷和性質(zhì)；3、二面角． 【名師點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)和平面平行的證明和二面角求法，直線(xiàn)和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性質(zhì)來(lái)證，注意線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化；利用坐標(biāo)法求二面角，主要是空間直角坐標(biāo)系的建立要恰當(dāng)，便于用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)，求出半平面法向量夾角后，要觀(guān)察二面

64、角是銳角還是鈍角，正確寫(xiě)出二面角的余弦值． 40. 【2015湖北理19】（本小題滿(mǎn)分12分） 《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑． 如圖，在陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接 （Ⅰ）證明：．試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，說(shuō)明理由； （Ⅱ）若面與面所成二面角的大小為，求的值． 【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）. （Ⅱ）如圖1，在面內(nèi)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，則是平面與平面 的交線(xiàn). 由（Ⅰ

65、）知，，所以. 又因?yàn)榈酌?，所? 而，所以. 故是面與面所成二面角的平面角， 設(shè)，，有， 在Rt△PDB中, 由, 得, 則 , 解得. 所以 故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，. （解法2） （Ⅰ）如圖2，以為原點(diǎn)，射線(xiàn)分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)，，則，，點(diǎn)是的中點(diǎn)， 所以，， 于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 則, 所以. 由平面，平面，可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形， 即四面體是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為. （

66、Ⅱ）由，所以是平面的一個(gè)法向量； 由（Ⅰ）知，，所以是平面的一個(gè)法向量. 若面與面所成二面角的大小為， 則， 解得. 所以 故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時(shí)，. 【考點(diǎn)定位】四棱錐的性質(zhì)，線(xiàn)、面垂直的性質(zhì)與判定，二面角. 【名師點(diǎn)睛】立體幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，而求空間角是重中之重，利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡(jiǎn)潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時(shí)，兩個(gè)向量夾角與二面角相等還是互補(bǔ)是這種解法的難點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯(cuò)易誤點(diǎn)．解題時(shí)正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補(bǔ)，一個(gè)指向內(nèi)另一個(gè)指向外則相等． 41. 【2015湖南理19】如圖15，已知四棱臺(tái)上、下底面分別是邊長(zhǎng)為3和6的正方形，，且底面，點(diǎn)，分別在棱，BC上. （1）若P是的中點(diǎn)，證明：； （2）若平面，二面角的余弦值為，求四面體的體積. 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 （1）若是的中點(diǎn)，則，，于是， ∴，即；（2）由題設(shè)知，，是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量. 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即， 取，得，又平面的一個(gè)法向量是， ∴，而二面角