2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.1 數(shù)列的概念與簡單表示法 第2課時 數(shù)列的遞推公式練習 新人教A版必修5.doc

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第二章　2.1　第2課時 數(shù)列的遞推公式 A級　基礎鞏固 一、選擇題 1．已知數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6＝(　A　) A．－3 B．－4 C．－5 D．2 [解析]　由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3， a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3. 2．正項數(shù)列{an}中，an＋1＝，a1＝2，則a4＝(　B　) A． B． C． D． [解析]　由遞推關系可得a2＝，a3＝，a4＝. 3．數(shù)列{an}中，a1＝1，以后各項由公式a1a2a3…an＝n2給出，則a3＋a5等于(　C　) A． B． C． D． [解析]　∵a1a2a3…an＝n2， ∴a1a2a3＝9，a1a2＝4，∴a3＝. 同理a5＝，∴a3＋a5＝＋＝. 4．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，則此數(shù)列的通項an等于(　D　) A．n2＋1 B．n＋1 C．1－n D．3－n [解析]　∵an＋1－an＝－1. ∴a2－a1＝－1，a3－a2＝－1，…，an－an－1＝－1， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1) ＝2＋(－1)(n－1)＝3－n. 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝x，a2＝y(tǒng)，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，則a2 007＝(　C　) A．x B．y C．y－x D．－x [解析]　根據(jù)遞推關系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，這6個數(shù)值重復出現(xiàn)a2 007＝a3346＋3＝a3. 6．觀察下圖，并閱讀圖形下面的文字，像這樣10條直線相交，交點的個數(shù)最多的是(　B　) A．40個 B．45個 C．50個 D．55個 [解析]　交點個數(shù)依次組成數(shù)列為1,3,6，即，，，由此猜想an＝， ∴a10＝＝45. 二、填空題 7．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，則a5＝__120__. [解析]　因為an＝nan－1，且n≥2，所以 當n＝2時，a2＝2a1＝2； 當n＝3時，a3＝3a2＝6； 當n＝4時，a4＝4a3＝24； 當n＝5時，a5＝5a4＝120.故a5＝120. 8．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝3n－1(n∈N*)，通過公式bn＝構造一個新數(shù)列{bn}，那么{bn}的前五項為__，，，，__. [解析]　∵an＝3n－1(n∈N*)， ∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2， ∴bn＝＝. ∴b1＝，b2＝，b3＝，b4＝，b5＝. 三、解答題 9．一老漢為感激梁山好漢除暴安良，帶了些千里馬要送給梁山好漢，見過宋江后，宋江把老漢帶來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了他，老漢又去見盧俊義，把現(xiàn)有剩馬的一半送給盧俊義，盧俊義也把老漢送的馬匹的一半和另一匹馬作為回禮送給老漢……一直送到108名好漢的最后一名是這樣的，老漢下山回家時還剩兩匹馬，你知道老漢上山時一共帶了多少匹千里馬嗎？ [解析]　設老漢上山一共帶了a1匹千里馬，送給宋江后還剩a2匹，則a2＝a1＋1，再送給盧俊義后還剩下a3匹，則a3＝a2＋1.依次地進行下去，送給第k個人后還剩下ak＋1＝ak＋1，按照題目要求應有 a109＝a108＋1＝2.∵a109＝2，∴a108＝2. 依次代入遞推關系可得a1＝a2＝a3＝…＝2. 即老漢最初上山帶了兩匹千里馬． B級　素養(yǎng)提升 一、選擇題 1．數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，則a1 000＝(　A　) A．1 B．1 999 C．1 000 D．－1 [解析]　a1＝1，a2＝21－1＝1，a3＝21－1＝1，a4＝21－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)． 2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，則a20＝(　B　) A．0 B．－ C． D． [解析]　∵a1＝0，a2＝＝－，a3＝＝，a4＝＝0，…. 至此可知：數(shù)列{an}的各項的值依次為0，－，，0，－，，0，…，周而復始． ∵20＝36＋2，∴a20＝a2＝－. 二、填空題 3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2＋， 則a6＝__－__. [解析]　an＋1＝2＋＝，a1＝－2， ∴a2＝＝，a3＝＝6，a4＝－， a5＝，a6＝－. 4．設f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝__－__. [解析]　f(n＋1)＝＋＋＋…＋＋＋， ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－. 三、解答題 5．(1)已知數(shù)列{an}的第1項是1，第2項是2，以后各項由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出，寫出這個數(shù)列的前5項； (2)用上面的數(shù)列{an}，通過公式bn＝構造一個新的數(shù)列{bn}，寫出數(shù)列{bn}的前5項． [解析]　(1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)， ∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8. (2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝，∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝，b5＝＝. 6．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝，求數(shù)列{an}的前5項，并猜想an. [解析]　∵a1＝3，an＋1＝， ∴a2＝＝＝，a3＝＝＝1＝， a4＝＝＝，a5＝＝＝， ∴猜想：an＝. C級　能力拔高 1．一輛郵車每天從A地往B地運送郵件，沿途(包括A、B)共有8站，從A地出發(fā)時，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個，到達后面各站后缷下前面各站發(fā)往該站的一個郵件，同時裝上該站發(fā)往下面各站的郵件各一個，試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個數(shù)所成的數(shù)列，畫出該數(shù)列的圖象，并判斷該數(shù)列的增減性． [解析]　將A、B之間所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8編號，通過計算，上面各站剩余郵件數(shù)依次排成數(shù)列：7,12,15,16,15,12,7,0.填寫下表： 站號 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余郵件數(shù) 7 12 15 16 15 12 7 0 該數(shù)列的圖象如圖所示． 它在{1,2,3,4}上是遞增的，在{4,5,6,7,8}上是遞減的． 2．設{an}是首項為1的正項數(shù)列，且(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0(n∈N*)，求通項公式an. [解析]　把(n＋2)a－na＋2an＋1an＝0分解因式， 得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0. ∵an>0，∴an＋an＋1>0， ∴(n＋2)an＋1－nan＝0，∴＝， ∴an＝a1…＝1…＝(n≥2)． 又a1＝1滿足上式，∴an＝.