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能力課2 動力學(xué)中的“傳送帶、板塊”模型
[冷考點]“傳送帶”模型
命題角度1 水平傳送帶問題
求解的關(guān)鍵在于對物體所受的摩擦力進行正確的分析判斷。物體的速度與傳送帶速度相等的時刻就是物體所受摩擦力發(fā)生突變的時刻。
【例1】 如圖1所示，水平長傳送帶始終以v勻速運動，現(xiàn)將一質(zhì)量為m的物體輕放于A端，物體與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ，AB長為L，L足夠長。問：
圖1
(1)物體從A到B做什么運動？
(2)當(dāng)物體的速度達到傳送帶速度v時，物體的位移多大？傳送帶的位移多大？
(3)物體從A到B運動的時間為多少？
(4)什么條件下物體從A到B所用時間最短？
解析 (1)物體先做勻加速直線運動，當(dāng)速度與傳送帶速度相同時，做勻速直線運動。
(2)由v＝at和a＝μg，解得t＝
物體的位移x1＝at2＝
傳送帶的位移x2＝vt＝
(3)物體從A到B運動的時間為
t總＝＋＝＋
(4)當(dāng)物體從A到B一直做勻加速直線運動時，所用時間最短，所以要求傳送帶的速度滿足v≥。
答案 (1)先勻加速，后勻速 (2) (3)＋
(4)v≥
【拓展延伸1】 若在【例1】中物體以初速度v0(v0≠v)從A端向B端運動，則：
(1)物體可能做什么運動？
(2)什么情景下物體從A到B所用時間最短，如何求最短時間？
解析 (1)①若v0
v，物體剛放到傳送帶上時將做加速度大小為a＝μg的勻減速運動。假定物體一直減速到離開傳送帶，則其離開傳送帶時的速度為v′＝。顯然，若v≤，則物體在傳送帶上將一直減速運動；若v0>v>，則物體在傳送帶上將先減速，后勻速運動。
(2)物體一直做勻減速直線運動時，從A到B所用時間最短，加速度大小a＝μg，由L＝v0t－μgt2可求最短時間。
答案 見解析
【拓展延伸2】 若在【例1】中物體以初速度v0從B向A運動，則物體可能做什么運動？
解析 物體剛放到傳送帶上時將做加速度大小為a＝μg的勻減速運動，假定物體一直減速到離開傳送帶，則其離開傳送帶時的速度為v′＝。顯然，若v0≥，則物體將一直做勻減速運動直到從傳送帶的另一端離開傳送帶；若v0<，則物體將不會從傳送帶的另一端離開，而是從進入端離開，其可能的運動情形有：
①先沿v0方向減速，再沿v0的反方向加速運動直至從進入端離開傳送帶；
②先沿v0方向減速，再沿v0的反方向加速，最后勻速運動直至從進入端離開傳送帶。
答案 見解析
命題角度2 傾斜傳送帶問題
求解的關(guān)鍵在于分析清楚物體與傳送帶的相對運動情況，從而確定其是否受到滑動摩擦力作用。當(dāng)物體速度與傳送帶速度相等時，物體所受的摩擦力有可能發(fā)生突變。
【例2】 如圖2所示，傳送帶與地面夾角θ＝37，AB長度為16 m，傳送帶以10 m/s的速率逆時針轉(zhuǎn)動。在傳送帶上端A無初速度地放一個質(zhì)量為0.5 kg的物體，它與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為0.5。求物體從A運動到B所需時間是多少？(sin 37＝0.6，cos 37＝0.8，g取10 m/s2)
圖2
解析 物體放在傳送帶上后，開始階段，由于傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿傳送帶向下的滑動摩擦力Ff，物體受力情況如圖甲所示。物體由靜止加速，由牛頓第二定律有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，得
a1＝10(0.6＋0.50.8) m/s2＝10 m/s2。
物體加速至與傳送帶速度相等需要的時間t1＝＝ s＝1 s，
時間t1內(nèi)的位移x＝a1t＝5 m。
由于μL＝2 m
所以滑塊能從長木板的右端滑出。
答案 (1)6 m/s (2)5 m/s2 0.4 m/s2 (3)見解析
命題角度2 有外力F作用的“板塊”模型問題
【例4】 (2017河北石家莊模擬)(多選)如圖5甲所示，一質(zhì)量為M的長木板靜置于光滑水平面上，其上放置一質(zhì)量為m的小滑塊。木板受到水平拉力F作用時，用傳感器測出長木板的加速度a與水平拉力F的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度g＝10 m/s2，下列說法正確的是( )
圖5
A.小滑塊的質(zhì)量m＝2 kg
B.小滑塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)為0.1
C.當(dāng)水平拉力F＝7 N時，長木板的加速度大小為3 m/s2
D.當(dāng)水平拉力F增大時，小滑塊的加速度一定增大
解析 當(dāng)F＝6 N時，兩物體恰好具有最大共同加速度，對整體分析，由牛頓第二定律有F＝(M＋m)a，代入數(shù)據(jù)解得M＋m＝3 kg。當(dāng)F大于6 N時，兩物體發(fā)生相對滑動，對長木板有a＝＝－，圖線的斜率k＝＝1，解得M＝1 kg，滑塊的質(zhì)量m＝2 kg，選項A正確；滑塊的最大加速度a′＝μg＝2 m/s2，所以小滑塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)為0.2，選項B錯誤；當(dāng)F＝7 N時，由a＝知長木板的加速度a＝3 m/s2，選項C正確；當(dāng)兩物體發(fā)生相對滑動時，滑塊的加速度a′＝μg＝2 m/s2，恒定不變，選項D錯誤。
答案 AC
命題角度3 斜面上的“板塊”模型問題
【例5】 (多選)如圖6所示，一質(zhì)量為M的斜面體靜止在水平地面上，斜面傾角為θ，斜面上疊放著A、B兩物體，物體B在沿斜面向上的力F的作用下沿斜面勻速上滑。若A、B之間的動摩擦因數(shù)為μ，μμmgcos θ，所以A、B一定相對滑動,選項A錯誤,B正確;選物體B為研究對象，由牛頓第二定律得F－μmgcos θ－mgsin θ－μB2mgcos θ＝0，μB＝，故選項C錯誤，D正確。
答案 BD
解決速度臨界問題的思維模板
【變式訓(xùn)練2】 (2017湖北三校聯(lián)考)有一項“快樂向前沖”的游戲可簡化如下：如圖7所示，滑板長L＝1 m，起點A到終點線B的距離s＝5 m。開始滑板靜止，右端與A平齊，滑板左端放一可視為質(zhì)點的滑塊，對滑塊施一水平恒力F使滑板前進。板右端到達B處沖線，游戲結(jié)束。已知滑塊與滑板間動摩擦因數(shù)μ＝0.5，地面視為光滑，滑塊質(zhì)量m1＝2 kg，滑板質(zhì)量m2＝1 kg，重力加速度g＝10 m/s2，求：
圖7
(1)滑板由A滑到B的最短時間；
(2)為使滑板能以最短時間到達，水平恒力F的取值范圍。
解析 (1)滑板一直加速時，所用時間最短。設(shè)滑板加速度為a2，f＝μm1g＝m2a2，a2＝10 m/s2，s＝，解得t＝1 s。
(2)剛好相對滑動時，水平恒力最小，設(shè)為F1，此時可認(rèn)為二者加速度相等，
F1－μm1g＝m1a2，
解得F1＝30 N。
當(dāng)滑板運動到B點，滑塊剛好脫離時，水平恒力最大，設(shè)為F2，設(shè)滑塊加速度為a1，
F2－μm1g＝m1a1，
－＝L，
解得F2＝34 N。
則水平恒力大小范圍是30 N≤F≤34 N。
答案 (1)1 s (2)30 N≤F≤34 N
“滑塊—滑板”模型
[題源：人教版必修1P84T7]
如圖4.5－13，粗糙的A、B長方體木塊疊在一起，放在水平桌面上，B木塊受到一個水平方向的力的牽引，但仍然保持靜止。問：B木塊受到哪幾個力的作用？
圖4.5－13
拓展1 如圖8，光滑水平面上，水平恒力F作用在木塊上，長木板和木塊間無相對滑動，長木板質(zhì)量為M，木塊質(zhì)量為m。它們共同加速度為a，木塊與長木板間的動摩擦因數(shù)為μ，則在運動過程中( )
圖8
A.木塊受到的摩擦力一定是μmg
B.木塊受到的合力為F
C.長木板受到的摩擦力為μmg
D.長木板受到的合力為
解析 整體的加速度a＝，隔離長木板，受力分析，長木板所受的合力為
F合＝，且長木板所受的合力等于長木板所受的摩擦力。又長木板所受的摩擦力等于長木板對木塊的摩擦力，故選項A、C錯誤，D正確；木塊所受的合力F合′＝ma＝，故選項B錯誤。
答案 D
拓展2 (2017南昌市二模)(多選)如圖9，一個質(zhì)量為m＝1 kg的長木板置于光滑水平地面上，木板上放有質(zhì)量分別為mA＝1 kg和mB＝2 kg的A、B兩物塊。A、B兩物塊與木板之間的動摩擦因數(shù)都為μ＝0.2。若現(xiàn)用水平恒力F作用在A物塊上，取重力加速度g＝10 m/s2，滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，則下列說法正確的是( )
圖9
A.當(dāng)F＝2 N時，A物塊和木板開始相對滑動
B.當(dāng)F＝1 N時，A、B兩物塊都相對木板靜止不動
C.若F＝4 N，則B物塊所受摩擦力大小為 N
D.若F＝6 N，則B物塊的加速度大小為1 m/s2
解析 假設(shè)A、B兩物塊一起運動，對整體有F＝(m＋mA＋mB)a，對B有fB＝mBa，且fB≤μmBg，對A有F－fA＝mAa，且fA≤μmAg，對B和木板整體fA＝(m＋mB)a，解得F≤ N，故選項A錯誤，B正確；當(dāng)F> N時，A與長木板相對運動，B和長木板一起運動，若F＝4 N，B和長木板一起運動，則μmAg＝(m＋mB)a1，fB1＝mBa1，解得fB1＝ N，故選項C正確；若F＝6 N，則B物塊加速度大小為a1＝ m/s2，故選項D錯誤。
答案 BC
拓展3 (2017全國卷Ⅲ，25)如圖10，兩個滑塊A和B的質(zhì)量分別為mA＝1 kg和mB＝5 kg，放在靜止于水平地面上的木板的兩端，兩者與木板間的動摩擦因數(shù)均為μ1＝0.5；木板的質(zhì)量為m＝4 kg，與地面間的動摩擦因數(shù)為μ2＝0.1。某時刻A、B兩滑塊開始相向滑動，初速度大小均為v0＝3 m/s。A、B相遇時，A與木板恰好相對靜止。設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求
圖10
(1)B與木板相對靜止時，木板的速度；
(2)A、B開始運動時，兩者之間的距離。
解析 (1)滑塊A和B在木板上滑動時，木板也在地面上滑動。設(shè)A、B和木板所受的摩擦力大小分別為f1、f2和f3，A和B相對于地面的加速度大小分別為aA和aB，木板相對于地面的加速度大小為a1。在物塊B與木板達到共同速度前有
f1＝μ1mAg①
f2＝μ1mBg②
f3＝μ2(m＋mA＋mB)g③
由牛頓第二定律得
f1＝mAaA④
f2＝mBaB⑤
f2－f1－f3＝ma1⑥
設(shè)在t1時刻，B與木板達到共同速度，其大小為v1。由運動學(xué)公式有
v1＝v0－aBt1⑦
v1＝a1t1⑧
聯(lián)立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知數(shù)據(jù)得
v1＝1 m/s⑨
(2)在t1時間間隔內(nèi)，B相對于地面移動的距離為
sB＝v0t1－aBt⑩
設(shè)在B與木板達到共同速度v1后，木板的加速度大小為a2。對于B與木板組成的體系，由牛頓第二定律有
f1＋f3＝(mB＋m)a2?
由①②④⑤式知，aA＝aB；再由⑦⑧式知，B與木板達到共同速度時，A的速度大小也為v1，但運動方向與木板相反。由題意知，A和B相遇時，A與木板的速度相同，設(shè)其大小為v2。設(shè)A的速度大小從v1變到v2所用的時間為t2，則由運動學(xué)公式，對木板有
v2＝v1－a2t2?
對A有：v2＝－v1＋aAt2?
在t2時間間隔內(nèi)，B(以及木板)相對地面移動的距離為
s1＝v1t2－a2t?
在(t1＋t2)時間間隔內(nèi)，A相對地面移動的距離為
sA＝v0(t1＋t2)－aA(t1＋t2)2?
A和B相遇時，A與木板的速度也恰好相同。因此A和B開始運動時，兩者之間的距離為
s0＝sA＋s1＋sB?
聯(lián)立以上各式，并代入數(shù)據(jù)得
s0＝1.9 m?
(也可用下圖中的速度—時間圖線求解)
答案 (1)1 m/s (2)1.9 m
活頁作業(yè)
(時間：40分鐘)
?題組一 “傳送帶”模型問題
1.在民航和火車站可以看到用于對行李進行安全檢查的水平傳送帶。當(dāng)旅客把行李放到傳送帶上時，傳送帶對行李的滑動摩擦力使行李開始做勻加速運動。隨后它們保持相對靜止，行李隨傳送帶一起前進。設(shè)傳送帶勻速前進的速度為
0.25 m/s，把質(zhì)量為5 kg的木箱靜止放到傳送帶上，由于滑動摩擦力的作用，木箱以6 m/s2的加速度前進，那么這個木箱放在傳送帶上后，傳送帶上將留下的摩擦痕跡約為( )
圖1
A.5 mm B.6 mm C.7 mm D.10 mm
解析 木箱加速的時間為t＝，這段時間內(nèi)木箱的位移為x1＝，而傳送帶的位移為x2＝vt，傳送帶上將留下的摩擦痕跡長為l＝x2－x1，聯(lián)立各式并代入數(shù)據(jù)，解得l＝5.2 mm，選項A正確。
答案 A
2.如圖2所示，足夠長的傳送帶與水平面夾角為θ，以速度v0逆時針勻速轉(zhuǎn)動。在傳送帶的上端輕輕放置一個質(zhì)量為m的小木塊，小木塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ
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2019版高考物理總復(fù)習(xí)
第三章
牛頓運動定律
能力課2
動力學(xué)中的“傳送帶、板塊”模型學(xué)案
2019
高考
物理
復(fù)習(xí)
第三
牛頓
運動
定律
能力
動力學(xué)
中的
傳送帶
板塊
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