2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第六章 推理與證明 6.2 直接證明與間接證明 6.2.2 間接證明：反證法分層訓(xùn)練 湘教版選修2-2.doc

6.2.2間接證明：反證法一、基礎(chǔ)達標(biāo)1反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾這個矛盾可以是()與已知條件矛盾與假設(shè)矛盾與定義、公理、定理矛盾與事實矛盾A B C D答案D2已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b的位置關(guān)系為()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線答案C解析假設(shè)cb，而由ca，可得ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線故應(yīng)選C.3有下列敘述：“a>b”的反面是“a<b”；“xy”的反面是“x>y或x<y”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；“三角形最多有一個鈍角”的反面是“三角形沒有鈍角”其中正確的敘述有()A0個 B1個 C2個 D3個答案B解析錯：應(yīng)為ab；對；錯：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；錯：應(yīng)為三角形可以有2個或2個以上的鈍角4用反證法證明命題：“a、bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除Ca，b不都能被5整除 Da不能被5整除答案B解析“至少有一個”的否定是“一個也沒有”，即“a，b都不能被5整除”5用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有有理根，那么a，b，c中存在偶數(shù)”時，否定結(jié)論應(yīng)為_答案a，b，c都不是偶數(shù)解析a，b，c中存在偶數(shù)即至少有一個偶數(shù)，其否定為a，b，c都不是偶數(shù)6“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是_答案存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角解析“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”7設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中，a、b、c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)求證f(x)0無整數(shù)根證明設(shè)f(x)0有一個整數(shù)根k，則ak2bkc. 又f(0)c，f(1)abc均為奇數(shù)，ab為偶數(shù)，當(dāng)k為偶數(shù)時，顯然與式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時，設(shè)k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)(2naab)為偶數(shù)，也與式矛盾，故假設(shè)不成立，所以方程f(x)0無整數(shù)根二、能力提升8已知x1>0，x11且xn1(n1,2，)，試證“數(shù)列xn對任意的正整數(shù)n都滿足xn>xn1”，當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時應(yīng)為()A對任意的正整數(shù)n，有xnxn1B存在正整數(shù)n，使xnxn1C存在正整數(shù)n，使xnxn1D存在正整數(shù)n，使xnxn1答案D解析“任意”的反語是“存在一個”9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個數(shù)a，b，c()A都大于2B至少有一個大于2C至少有一個不小于2D至少有一個不大于2答案C解析假設(shè)a<2，b<2，c<2，則<6.又2226，這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個數(shù)至少有一個不小于2.10若下列兩個方程x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a2或a1解析若兩方程均無實根，則1(a1)24a2(3a1)(a1)<0，a<1或a>.2(2a)28a4a(a2)<0，2<a<0，故2<a<1.若兩個方程至少有一個方程有實根，則a2或a1.11已知abc>0，abbcca>0，abc>0，求證a>0，b>0，c>0.證明用反證法：假設(shè)a，b，c不都是正數(shù)，由abc>0可知，這三個數(shù)中必有兩個為負數(shù)，一個為正數(shù)，不妨設(shè)a<0，b<0，c>0，則由abc>0，可得c>(ab)，又ab<0，c(ab)<(ab)(ab)abc(ab)<(ab)(ab)ab即abbcca<a2abb2a2>0，ab>0，b2>0，a2abb2(a2abb2)<0，即abbcca<0，這與已知abbcca>0矛盾，所以假設(shè)不成立因此a>0，b>0，c>0成立12已知a，b，c(0,1)，求證(1a)b，(1b)c，(1c)a不可能都大于.證明假設(shè)三個式子同時大于，即(1a)b>，(1b)c>，(1c)a>，三式相乘得(1a)a(1b)b(1c)c>，又因為0<a<1，所以0<a(1a)2.同理0<b(1b)，0<c(1c)，所以(1a)a(1b)b(1c)c，與矛盾，所以假設(shè)不成立，故原命題成立三、探究與創(chuàng)新13已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，bR.證明下面兩個命題：(1)若ab0，則f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)若f(a)f(b)f(a)f(b)，則ab0.證明(1)因為ab0，所以ab，ba，又因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，由不等式的性質(zhì)可知f(a)f(b)f(a)f(b)(2)假設(shè)ab0，則ab，ba，因為f(x)是R上的增函數(shù)，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以f(a)f(b)f(a)f(b)，這與已知f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，所以假設(shè)不正確，所以原命題成立.