新編高考數(shù)學(xué)備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專(zhuān)題 選考系列教師版

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1、 選考系列 一、高考預(yù)測(cè) 幾何證明選講是高考的選考內(nèi)容，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，射影定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理；圓的切線(xiàn)定理，切割線(xiàn)定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等．題目難度不大，以容易題為主．對(duì)本部分的考查主要是一道選考解答題，預(yù)測(cè)20xx年仍會(huì)如此，難度不會(huì)太大． 矩陣與變換主要考查二階矩陣的基本運(yùn)算，主要是以解答題的形式出現(xiàn)．預(yù)測(cè)在20xx年高考主要考查(1)矩陣的逆矩陣；(2)利用系數(shù)矩陣的逆矩陣求點(diǎn)的坐標(biāo)或曲線(xiàn)方程． 坐標(biāo)系與參數(shù)方程重點(diǎn)考查直線(xiàn)與圓的極坐標(biāo)方程，極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；直線(xiàn)，圓與橢圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普

2、通方程的互化，題目不難，考查 “轉(zhuǎn)化”為目的．預(yù)測(cè)20xx高考中，極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)系間的互化仍是考查的熱點(diǎn)，題目容易． 不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，主要考查絕對(duì)值的幾何意義，絕對(duì)值不等式的解法以及不等式證明的基本方法(比較法、分析法、綜合法)．關(guān)于含有絕對(duì)值的不等式的問(wèn)題．預(yù)測(cè)20xx年高考在本部分可能會(huì)考查不等式的證明或求最值問(wèn)題． 參數(shù)方程與極坐標(biāo) 1．極點(diǎn)的極徑為0，極角為任意角，即極點(diǎn)的坐標(biāo)不是惟一的．極徑ρ的值也允許取負(fù)值，極角θ允許取任意角，當(dāng)ρ<0時(shí)，點(diǎn)M(ρ，θ)位于極角θ的終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，且OM＝|ρ|，在這樣的規(guī)定下，平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不是惟一的

3、，即給定極坐標(biāo)后，可以確定平面上惟一的點(diǎn)，但給出平面上的點(diǎn)，其極坐標(biāo)卻不是惟一的．這有兩種情況：①如果所給的點(diǎn)是極點(diǎn)，其極徑確定，但極角可以是任意角；②如果所給點(diǎn)M的一個(gè)極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ≠0)，則(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是點(diǎn)M的極坐標(biāo)．這兩種情況都使點(diǎn)的極坐標(biāo)不惟一，因此在解題的過(guò)程中要引起注意． 2．在進(jìn)行極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化時(shí)，要求極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同，在這個(gè)前提下才能用轉(zhuǎn)化公式．同時(shí)，在曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化時(shí)，如遇約分，兩邊平方，兩邊同乘以ρ，去分母等變形，應(yīng)特別注意變形

4、的等價(jià)性． 3．對(duì)于極坐標(biāo)方程，需要明確：①曲線(xiàn)上點(diǎn)的極坐標(biāo)不一定滿(mǎn)足方程．如點(diǎn)P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲線(xiàn)上，但點(diǎn)P的其他形式的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程；②曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以極點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓． 2．對(duì)于不等式的各項(xiàng)取倒數(shù)問(wèn)題，一定要分清各項(xiàng)的符號(hào)，對(duì)于同號(hào)的，可運(yùn)用深化(2)；若不同號(hào)，可根據(jù)符號(hào)進(jìn)行判定． 3．解含絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值．常用的方法是：①由定義分段討論；②利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；③平方． 4．解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類(lèi)討論．注意：①要考慮參數(shù)的取值范圍；

5、②用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏．5．利用絕對(duì)值的定義和幾何意義來(lái)分析，絕對(duì)值的特點(diǎn)是解決帶有絕對(duì)值符號(hào)問(wèn)題的關(guān)鍵，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)，一定要認(rèn)真總結(jié)規(guī)律與方法．6．絕對(duì)值不等式的證明通常與放縮法聯(lián)系在一起，放縮常用如下絕對(duì)值不等式： ①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 7．注意柯西不等式等號(hào)成立的條件?a1b2－a2b1＝0，這時(shí)我們稱(chēng)(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b1≠0，b2≠0，那么a1b2－a2b1＝0?＝.若b1·b2＝0，我們分情況說(shuō)明：①b1＝b2＝0，則原不等式兩邊都是0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化為(

6、a＋a)b≥ab，是自然成立的；③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一樣，自然成立．正是因?yàn)閎1·b2＝0時(shí)，不等式恒成立，因此我們研究柯西不等式時(shí)，總是假定b1·b2≠0，等號(hào)成立的條件可寫(xiě)成＝. 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 幾何證明選講 幾何證明選講是考查同學(xué)們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個(gè)定理證明一個(gè)問(wèn)題的題目，我們更應(yīng)注意．重點(diǎn)把握以下內(nèi)容：1．射影定理的內(nèi)容及其證明；2．圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及證明；3．圓冪定理的內(nèi)容及其證明；4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定；5．平行投影的性質(zhì)與圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義． 如圖，A，B，C，D四點(diǎn)

7、在同一圓上,AD的延長(zhǎng)線(xiàn)與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于E點(diǎn)，且EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 證明　(1)因?yàn)镋C＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA. 故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE.因?yàn)镋F＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓．

8、 易錯(cuò)提醒　(1)對(duì)四點(diǎn)共圓的性質(zhì)定理和判定定理理解不透．(2)不能正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造四邊形．(3)角的關(guān)系轉(zhuǎn)化不當(dāng)． 矩陣與變換矩陣與變換易錯(cuò)易漏 (1)因矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，多次變換對(duì)應(yīng)矩陣的乘法順序易錯(cuò)． (2)圖形變換后，所求圖形方程易代錯(cuò)． 已知矩陣M＝\o(\s\up12(1b，N＝\o(\s\up12(c0，且MN＝\o(\s\up12(2－2 .(1)求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；(2)求直線(xiàn)y＝3x在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下的象的方程． 解　方法一　(1)由題設(shè)得解得 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy

9、取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，曲線(xiàn)C2的方程為ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解　曲線(xiàn)C1化為普通方程為圓：x2＋(y－1)2＝1，曲線(xiàn)C2化為直角坐標(biāo)方程為直線(xiàn)：x－y＋1＝0.因?yàn)閳A心(0,1)在直線(xiàn)x－y＋1＝0上，故直線(xiàn)與圓相交，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2 易錯(cuò)提醒　(1)忽視將C1的參數(shù)方程和C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系下的普通方程，即轉(zhuǎn)化目標(biāo)不明確．(2)轉(zhuǎn)化或計(jì)算錯(cuò)誤． 不等式選講[來(lái)源:高&考%資(源#網(wǎng) wxc] 設(shè)a、b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)． 證明　由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差

10、得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－) ＝(－)[()5－()5]． 當(dāng)a≥b時(shí)，≥，從而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0； 當(dāng)a0. 所以a3＋b3≥(a2＋b2)． 易錯(cuò)提醒 (1)用作差法證明不等式入口較易，關(guān)鍵是分解因式，多數(shù)考生對(duì)分組分解因式不熟練．(2)分解因式后，與零比較時(shí)，易忽略分類(lèi)討論． 設(shè)，且，求的取值范圍。 易錯(cuò)提醒此題易在時(shí)處出錯(cuò)，忽略了的前提。這提醒我們分段求解的結(jié)果要考慮分段的前提。 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1、自圓外一點(diǎn)引圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

11、引圓的割線(xiàn)交該圓于兩點(diǎn)，且，.⑴求證：與相似； ⑵求的大小. 【解析】本小題主要考查平面幾何的證明及其運(yùn)算，具體涉及圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關(guān)知識(shí)內(nèi)容. ⑴因?yàn)闉閳A的切線(xiàn)，所以.又為中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋耘c相似. （5分） ⑵由⑴中與相似，可得.在中， 由，得.(10分) （Ⅰ）求證：平分； （Ⅱ）若，，求圓弧的長(zhǎng). 【解析】（Ⅰ）證明：連結(jié)，則.∥， ，為弧的中點(diǎn) 平分… 5分 （Ⅱ）連結(jié)、，則，為等邊三角形， ，又的長(zhǎng)為… 10分 5、如圖內(nèi)接于圓，，直線(xiàn)切圓于點(diǎn)，∥相交于點(diǎn)． (1)求證：; (2)若． 6、如圖，直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)圓上O的點(diǎn)C，并且OA=O

12、B，CA=CB，圓O交于直線(xiàn)OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=，圓O的半徑為3，求OA的長(zhǎng)． 【解析】如圖，連接，因?yàn)椋裕? 因?yàn)槭菆A的半徑，所以是圓的切線(xiàn)．……………3分 第22題圖 因?yàn)槭侵睆剑?，所以? 又， 所以，又因?yàn)椋? 所以∽，所以， ………5分 ，∽，． 設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以?分 所以． 10分 7、在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為：（其中為常數(shù)）⑴若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；

13、⑵當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)上的點(diǎn)與曲線(xiàn)上點(diǎn)的最小距離. 【解析】本小題主要考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等知識(shí)內(nèi)容.對(duì)于曲線(xiàn)M,消去參數(shù)，得普通方程為,曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)的一部分； 對(duì)于曲線(xiàn)N，化成直角坐標(biāo)方程為，曲 線(xiàn)N是一條直線(xiàn). (2分) 8、在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的參數(shù)方程為在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，極軸與x軸的非負(fù)半軸重合）中， (Ⅰ)求圓心C到直線(xiàn)的距離；（Ⅱ）若直線(xiàn)被圓C截得的弦長(zhǎng)為的值. 【解析】(Ⅰ)圓C的方程整理可得： 化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：.圓心為，半徑為.

14、直線(xiàn)一般方程為：，故圓心C到的距離 （Ⅱ）由題意知圓心C到直線(xiàn)的距離.由（Ⅰ）知，得----10分 9、在直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，圓的方程為. （Ⅰ）求圓的直角坐標(biāo)方程；Ⅱ）設(shè)圓與直線(xiàn)交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求. 10、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，判斷曲線(xiàn)C：(q為參數(shù)）與直線(xiàn)l：(t為參數(shù))是否有公共點(diǎn)，并證明你的結(jié)論． 11、在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l的參數(shù)方程為：在以O(shè)為極點(diǎn)，以x?軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為：（Ⅰ）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標(biāo)方程化為直

15、角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）判斷直線(xiàn)與圓C的位置關(guān)系. 【解析】(1)將直線(xiàn)的參數(shù)方程經(jīng)消參可得直線(xiàn)的普通方程為：3分 由得， 即圓直角坐標(biāo)方程為.6分 (2)由(1)知，圓的圓心，半徑， 則圓心到直線(xiàn)的距離故直線(xiàn)與圓相交.10分 13、已知函數(shù)⑴解不等式；⑵若關(guān)于的方程的解集為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】本小題主要考查不等式的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到絕對(duì)值不等式及不等式的解法以及函數(shù)等有關(guān)知識(shí)內(nèi)容. （1）當(dāng)時(shí)，由解得：；當(dāng)時(shí)，由得，舍去；當(dāng)時(shí)，由，解得. 所以原不等式解集為.

16、 （2）由（1）中分段函數(shù)的解析式可知:在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.并且，所以函數(shù)的值域?yàn)?從而的取值范圍是,進(jìn)而的取值范圍是.根據(jù)已知關(guān)于的方程的解集為空集，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. (10分) 16、設(shè)均為正數(shù)，證明：. 【解析】本題考查基本不等式的應(yīng)用，難點(diǎn)在于通過(guò)觀(guān)察分析、構(gòu)造不等式. 即得 19、已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：． 【解析】法一：因?yàn)閍＞0，b＞0，a＋b＝1，所以 ()[(2a＋1)＋(2b＋1)] ＝1＋4＋……5分≥5＋2＝9．……… 3分 而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．………… 2分 20、設(shè)矩陣

17、M＝．（1）求矩陣M的逆矩陣M－1；（2）求矩陣M的特征值． 【解析】（1）矩陣A＝(ad－bc≠0)的逆矩陣為A－1＝． 所以矩陣M的逆矩陣M－1＝．……… 5分． （2）矩陣M的特征多項(xiàng)式為f(l)＝＝l2－4l－5． 令f(l)＝0，得到M的特征值為－1或5．……… 10分 21、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值． 【解析】設(shè)變換T：，則，即…5分代入直線(xiàn)，得． 將點(diǎn)代入上式，得k4．………10分 22、已知二階矩陣M有特征值＝３及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，并且M對(duì)應(yīng)的變換將