新編高考數(shù)學備考沖刺之易錯點點睛系列專題 選考系列教師版

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1、 選考系列 一、高考預測 幾何證明選講是高考的選考內(nèi)容，主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，射影定理，平行線分線段成比例定理；圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等．題目難度不大，以容易題為主．對本部分的考查主要是一道選考解答題，預測20xx年仍會如此，難度不會太大． 矩陣與變換主要考查二階矩陣的基本運算，主要是以解答題的形式出現(xiàn)．預測在20xx年高考主要考查(1)矩陣的逆矩陣；(2)利用系數(shù)矩陣的逆矩陣求點的坐標或曲線方程． 坐標系與參數(shù)方程重點考查直線與圓的極坐標方程，極坐標與直角坐標的互化；直線，圓與橢圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普

2、通方程的互化，題目不難，考查 “轉(zhuǎn)化”為目的．預測20xx高考中，極坐標、參數(shù)方程與直角坐標系間的互化仍是考查的熱點，題目容易． 不等式選講是高考的選考內(nèi)容之一，主要考查絕對值的幾何意義，絕對值不等式的解法以及不等式證明的基本方法(比較法、分析法、綜合法)．關(guān)于含有絕對值的不等式的問題．預測20xx年高考在本部分可能會考查不等式的證明或求最值問題． 參數(shù)方程與極坐標 1．極點的極徑為0，極角為任意角，即極點的坐標不是惟一的．極徑ρ的值也允許取負值，極角θ允許取任意角，當ρ<0時，點M(ρ，θ)位于極角θ的終邊的反向延長線上，且OM＝|ρ|，在這樣的規(guī)定下，平面上的點的坐標不是惟一的

3、，即給定極坐標后，可以確定平面上惟一的點，但給出平面上的點，其極坐標卻不是惟一的．這有兩種情況：①如果所給的點是極點，其極徑確定，但極角可以是任意角；②如果所給點M的一個極坐標為(ρ，θ)(ρ≠0)，則(ρ，2kπ＋θ)，(－ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)也都是點M的極坐標．這兩種情況都使點的極坐標不惟一，因此在解題的過程中要引起注意． 2．在進行極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化時，要求極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同，在這個前提下才能用轉(zhuǎn)化公式．同時，在曲線的極坐標方程和直角坐標方程互化時，如遇約分，兩邊平方，兩邊同乘以ρ，去分母等變形，應特別注意變形

4、的等價性． 3．對于極坐標方程，需要明確：①曲線上點的極坐標不一定滿足方程．如點P(1,1)在方程ρ＝θ表示的曲線上，但點P的其他形式的坐標都不滿足方程；②曲線的極坐標方程不惟一，如ρ＝1和ρ＝－1都表示以極點為圓心，半徑為1的圓． 2．對于不等式的各項取倒數(shù)問題，一定要分清各項的符號，對于同號的，可運用深化(2)；若不同號，可根據(jù)符號進行判定． 3．解含絕對值的不等式的指導思想是去掉絕對值．常用的方法是：①由定義分段討論；②利用絕對值不等式的性質(zhì)；③平方． 4．解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論．注意：①要考慮參數(shù)的取值范圍；

5、②用同一標準對參數(shù)進行劃分，做到不重不漏．5．利用絕對值的定義和幾何意義來分析，絕對值的特點是解決帶有絕對值符號問題的關(guān)鍵，如何去掉絕對值符號，一定要認真總結(jié)規(guī)律與方法．6．絕對值不等式的證明通常與放縮法聯(lián)系在一起，放縮常用如下絕對值不等式： ①|(zhì)a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 7．注意柯西不等式等號成立的條件?a1b2－a2b1＝0，這時我們稱(a1，a2)，(b1，b2)成比例，如果b1≠0，b2≠0，那么a1b2－a2b1＝0?＝.若b1·b2＝0，我們分情況說明：①b1＝b2＝0，則原不等式兩邊都是0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化為(

6、a＋a)b≥ab，是自然成立的；③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一樣，自然成立．正是因為b1·b2＝0時，不等式恒成立，因此我們研究柯西不等式時，總是假定b1·b2≠0，等號成立的條件可寫成＝. 三、易錯點點睛 幾何證明選講 幾何證明選講是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們更應注意．重點把握以下內(nèi)容：1．射影定理的內(nèi)容及其證明；2．圓周角與弦切角定理的內(nèi)容及證明；3．圓冪定理的內(nèi)容及其證明；4．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定；5．平行投影的性質(zhì)與圓錐曲線的統(tǒng)一定義． 如圖，A，B，C，D四點

7、在同一圓上,AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC＝ED.(1)證明：CD∥AB；(2)延長CD到F，延長DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點共圓． 證明　(1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC＝∠EBA. 故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE.因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC.連結(jié)AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F(xiàn)四點共圓．

8、 易錯提醒　(1)對四點共圓的性質(zhì)定理和判定定理理解不透．(2)不能正確作出輔助線，構(gòu)造四邊形．(3)角的關(guān)系轉(zhuǎn)化不當． 矩陣與變換矩陣與變換易錯易漏 (1)因矩陣乘法不滿足交換律，多次變換對應矩陣的乘法順序易錯． (2)圖形變換后，所求圖形方程易代錯． 已知矩陣M＝\o(\s\up12(1b，N＝\o(\s\up12(c0，且MN＝\o(\s\up12(2－2 .(1)求實數(shù)a，b，c，d的值；(2)求直線y＝3x在矩陣M所對應的線性變換作用下的象的方程． 解　方法一　(1)由題設(shè)得解得 在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy

9、取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，曲線C2的方程為ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，則C1與C2的交點個數(shù)為________． 解　曲線C1化為普通方程為圓：x2＋(y－1)2＝1，曲線C2化為直角坐標方程為直線：x－y＋1＝0.因為圓心(0,1)在直線x－y＋1＝0上，故直線與圓相交，交點個數(shù)為2 易錯提醒　(1)忽視將C1的參數(shù)方程和C2的極坐標方程化為直角坐標系下的普通方程，即轉(zhuǎn)化目標不明確．(2)轉(zhuǎn)化或計算錯誤． 不等式選講[來源:高&考%資(源#網(wǎng) wxc] 設(shè)a、b是非負實數(shù)，求證：a3＋b3≥(a2＋b2)． 證明　由a，b是非負實數(shù)，作差

10、得a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－) ＝(－)[()5－()5]． 當a≥b時，≥，從而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0； 當a0. 所以a3＋b3≥(a2＋b2)． 易錯提醒 (1)用作差法證明不等式入口較易，關(guān)鍵是分解因式，多數(shù)考生對分組分解因式不熟練．(2)分解因式后，與零比較時，易忽略分類討論． 設(shè)，且，求的取值范圍。 易錯提醒此題易在時處出錯，忽略了的前提。這提醒我們分段求解的結(jié)果要考慮分段的前提。 四、典型習題導練 1、自圓外一點引圓的一條切線，切點為，為的中點，過點

11、引圓的割線交該圓于兩點，且，.⑴求證：與相似； ⑵求的大小. 【解析】本小題主要考查平面幾何的證明及其運算，具體涉及圓的性質(zhì)以及三角形相似等有關(guān)知識內(nèi)容. ⑴因為為圓的切線，所以.又為中點，所以.因為，所以與相似. （5分） ⑵由⑴中與相似，可得.在中， 由，得.(10分) （Ⅰ）求證：平分； （Ⅱ）若，，求圓弧的長. 【解析】（Ⅰ）證明：連結(jié)，則.∥， ，為弧的中點 平分… 5分 （Ⅱ）連結(jié)、，則，為等邊三角形， ，又的長為… 10分 5、如圖內(nèi)接于圓，，直線切圓于點，∥相交于點． (1)求證：; (2)若． 6、如圖，直線AB經(jīng)過圓上O的點C，并且OA=O

12、B，CA=CB，圓O交于直線OB于E，D，連接EC，CD，若tan∠CED=，圓O的半徑為3，求OA的長． 【解析】如圖，連接，因為，所以． 因為是圓的半徑，所以是圓的切線．……………3分 第22題圖 因為是直徑，所以，所以， 又， 所以，又因為， 所以∽，所以， ………5分 ，∽，． 設(shè)，則，因為，所以，所以．9分 所以． 10分 7、在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數(shù)）⑴若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍；

13、⑵當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離. 【解析】本小題主要考查極坐標與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關(guān)系以及點到直線的距離等知識內(nèi)容.對于曲線M,消去參數(shù)，得普通方程為,曲線是拋物線的一部分； 對于曲線N，化成直角坐標方程為，曲 線N是一條直線. (2分) 8、在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點O為極點，極軸與x軸的非負半軸重合）中， (Ⅰ)求圓心C到直線的距離；（Ⅱ）若直線被圓C截得的弦長為的值. 【解析】(Ⅰ)圓C的方程整理可得： 化為標準方程得：.圓心為，半徑為.

14、直線一般方程為：，故圓心C到的距離 （Ⅱ）由題意知圓心C到直線的距離.由（Ⅰ）知，得----10分 9、在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為．在極坐標系(與直角坐標系取相同的長度單位，且以原點為極點，以軸正半軸為極軸)中，圓的方程為. （Ⅰ）求圓的直角坐標方程；Ⅱ）設(shè)圓與直線交于點，若點的坐標為，求. 10、在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：(q為參數(shù)）與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點，并證明你的結(jié)論． 11、在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為：在以O(shè)為極點，以x?軸的正半軸為極軸的極坐標系中，圓C的極坐標方程為：（Ⅰ）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直

15、角坐標方程； （Ⅱ）判斷直線與圓C的位置關(guān)系. 【解析】(1)將直線的參數(shù)方程經(jīng)消參可得直線的普通方程為：3分 由得， 即圓直角坐標方程為.6分 (2)由(1)知，圓的圓心，半徑， 則圓心到直線的距離故直線與圓相交.10分 13、已知函數(shù)⑴解不等式；⑵若關(guān)于的方程的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍. 【解析】本小題主要考查不等式的相關(guān)知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式的解法以及函數(shù)等有關(guān)知識內(nèi)容. （1）當時，由解得：；當時，由得，舍去；當時，由，解得. 所以原不等式解集為.

16、 （2）由（1）中分段函數(shù)的解析式可知:在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.并且，所以函數(shù)的值域為.從而的取值范圍是,進而的取值范圍是.根據(jù)已知關(guān)于的方程的解集為空集，所以實數(shù)的取值范圍是. (10分) 16、設(shè)均為正數(shù)，證明：. 【解析】本題考查基本不等式的應用，難點在于通過觀察分析、構(gòu)造不等式. 即得 19、已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：． 【解析】法一：因為a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以 ()[(2a＋1)＋(2b＋1)] ＝1＋4＋……5分≥5＋2＝9．……… 3分 而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．………… 2分 20、設(shè)矩陣

17、M＝．（1）求矩陣M的逆矩陣M－1；（2）求矩陣M的特征值． 【解析】（1）矩陣A＝(ad－bc≠0)的逆矩陣為A－1＝． 所以矩陣M的逆矩陣M－1＝．……… 5分． （2）矩陣M的特征多項式為f(l)＝＝l2－4l－5． 令f(l)＝0，得到M的特征值為－1或5．……… 10分 21、在平面直角坐標系xOy中，直線在矩陣對應的變換下得到的直線過點，求實數(shù)的值． 【解析】設(shè)變換T：，則，即…5分代入直線，得． 將點代入上式，得k4．………10分 22、已知二階矩陣M有特征值＝３及對應的一個特征向量，并且M對應的變換將