2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)18 空間向量的數(shù)量積 蘇教版必修4.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(十八)　空間向量的數(shù)量積 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、填空題 1．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)(2b)＝－2，則x＝________. [解析]　∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， ∴(c－a)(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2. [答案]　2 2．在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量，，兩兩的夾角均為60，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于________． [解析]　設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝a＋b＋c， 2＝a2＋b2＋c2＋2ac＋2bc＋2ca＝25，因此||＝5. [答案]　5 3．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為_(kāi)_______． [解析]?。?0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴cos〈，〉＝＝， ∴〈，〉＝60. [答案]　60 4．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60，則|2a－3b|＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392180】 [解析]　ab＝23cos 60＝3，∴|2a－3b|＝＝＝. [答案]　 5．如圖3134,120的二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 圖3134 [解析]　∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴＝0， ＝0. 又∵二面角為120， ∴〈，〉＝60， ∴＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(＋＋)＝164， ∴||＝2. [答案]　2 6．如圖3135，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD，則異面直線BF與ED所成角的大小是________． 圖3135 [解析]　分別以AB，AD，AF為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)AB＝1，依題意得B(1,0,0)，C(1，1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M. 則＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)， ∴cos〈，〉＝＝＝－， ∴〈，〉＝120. 所以異面直線BF與ED所成角的大小為180－120＝60. [答案]　60 7．如圖3136所示，已知直線AB⊥平面α，BC?α，BC⊥CD，DF⊥平面α，且∠DCF＝30，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，則A，D兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)_______． 圖3136 [解析]　∵＝＋＋， ∠DCF＝30，DF⊥平面α， ∴∠CDF＝60， ∴||2＝(＋＋)2 ＝4＋4＋4＋222cos 120 ＝8， ∴||＝2. [答案]　2 8．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，則a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392181】 [解析]　設(shè)a＝(x，y，z)，由題意有代入坐標(biāo)可解得： 或 [答案]　或 二、解答題 9．如圖3137，已知正方體ABCDA′B′C′D′，CD′與DC′相交于點(diǎn)O，連接AO，求證： 圖3137 (1)AO⊥CD′； (2)AC′⊥平面B′CD′. [證明]　設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1， 取A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則A(0,0,0)，B′(1,0,1)，C(1,1,0)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)，O， 則＝，＝(－1,0,1)， ＝(1,1,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)． (1)∵＝(－1)＋10＋1＝0， ∴AO⊥CD′. (2)∵＝10＋11＋1(－1)＝0， ＝1(－1)＋11＋10＝0. ∴AC′⊥B′C，AC′⊥B′D′. 又∵B′C∩B′D′＝B′，B′C?平面B′CD′，B′D′?平面B′CD′， ∴AC′⊥平面B′CD′. 10.如圖3138，在四棱錐SABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)，G分別為AB，SC，SD的中點(diǎn)．若AB＝a，SD＝b， 圖3138 (1)求||； (2)求cos〈，〉. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392182】 [解]　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F(xiàn)，G， ＝，＝，＝(－a,0,0)． (1)||＝ ＝ . (2)cos〈，〉＝ ＝＝. [能力提升練] 1．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，則|b－a|的最小值為_(kāi)_______． [解析]　b－a＝(1＋t,2t－1,0)，∴|b－a|＝＝， ∴當(dāng)t＝時(shí)，|b－a|取得最小值. [答案]　 2．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，則以，為邊的平行四邊形的面積為_(kāi)_______． [解析]　由題意可得，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3，2)， ∴cos〈，〉＝＝＝＝. ∴sin〈，〉＝，∴以，為邊的平行四邊形的面積S＝2||||sin〈，〉＝14＝7. [答案]　7 3．如圖3139所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于________． 圖3139 [解析]　法一：因?yàn)椋剑? 所以2＝2＋2＋2＋2＝36＋36＋36＋236cos 60＝144， 所以||＝12，即PC＝12. 法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系， 則P(0,0,6)，C(0,6，0)， ∴PC＝＝12. [答案]　12 4．如圖3140所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)． 圖3140 (1)求證：MN⊥AB，MN⊥CD； (2)求MN的長(zhǎng). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：71392183】 [解]　(1)證明：設(shè)＝p，＝q，＝r. 由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量?jī)蓛蓨A角均為60. ∴＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)， ∴＝(q＋r－p)p＝(qp＋rp－p2)＝(a2cos 60＋a2cos 60－a2)＝0. ∴MN⊥AB.同理可證MN⊥CD. (2)由(1)可知，＝(q＋r－p)， ∴||2＝2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(qr－pq－rp)] ＝＝2a2＝， ∴||＝a，∴MN的長(zhǎng)為a.