2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 階段復(fù)習(xí)課 第2課 數(shù)列學(xué)案 新人教A版必修5.doc

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第二課　數(shù)列 [核心速填] 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) 項目 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 an＝am＋(n－m)d an＝amqn－m 中項 若三個數(shù)a，A，b成等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，且A＝ 若三個數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，這時G叫做a與b的等比中項，且G＝ 前n項和 公式 Sn＝＝na1＋d q≠1時， Sn＝ ＝ q＝1時，Sn＝na1 性 質(zhì) 下標(biāo)性質(zhì) m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q am＋an＝ap＋aq aman＝apaq Sm， S2m－Sm， S3m－S2m … 成等差數(shù)列 成等比數(shù)列 [體系構(gòu)建] [題型探究] 等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算 　等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn. [解]　(1)設(shè){an}的公比為q， 由已知得16＝2q3， 解得q＝2，∴an＝22n－1＝2n. (2)由(1)得a3＝8，a5＝32， 則b3＝8，b5＝32. 設(shè){bn}的公差為d，則有 解得 所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28. 所以數(shù)列{bn}的前n項和 Sn＝＝6n2－22n. [規(guī)律方法]　 在等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式an與前n項和公式Sn中，共涉及五個量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當(dāng)然在求解中若能運(yùn)用等差(比)數(shù)列的性質(zhì)會更好，這樣可以化繁為簡，減少運(yùn)算量，同時還要注意整體代入思想方法的運(yùn)用. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：91432240】 [解]　(1)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列，所以a＝1(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因為數(shù)列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1＋10>a＋8a1， 即a＋3a1－10<0，解得－51時，an＝Sn－Sn－1＝k(cn－cn－1)， 則a6＝k(c6－c5)， a3＝k(c3－c2)， ＝＝c3＝8， ∴c＝2. ∵a2＝4，即k(c2－c1)＝4， 解得k＝2， ∴an＝2n. 當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2. 綜上所述，an＝2n(n∈N*)． (2)nan＝n2n， 則Tn＝2＋222＋323＋…＋n2n， 2Tn＝122＋223＋324＋…＋(n－1)2n＋n2n＋1， 兩式作差得－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1， Tn＝2＋(n－1)2n＋1. 母題探究：1.(變結(jié)論)例題中的條件不變，(2)中“求數(shù)列{nan}的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列{n＋an}的前n項和Tn”． [解]　由題知Tn＝1＋2＋2＋22＋3＋23＋…＋n＋2n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋…＋2n) ＝＋ ＝2n＋1－2＋. 2．(變結(jié)論)例題中的條件不變，將(2)中“求數(shù)列{nan}的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷?shù)列的前n項和Tn”． [解]　由題Tn＝＋＋＋…＋，① Tn＝＋＋…＋＋，② ①－②得： 　Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－n－， ∴Tn＝2－－＝2－. [規(guī)律方法]　數(shù)列求和問題一般轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和問題或已知公式的數(shù)列求和，不能轉(zhuǎn)化的再根據(jù)數(shù)列通項公式的特點選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?,一般常見的求和方法有： (1)公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項和公式； (2)分組求和法：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列. (3)裂項(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式， 相加過程消去中間項，只剩有限項再求和. (4)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成 的數(shù)列求和. (5)倒序相加法：例如，等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).