新編高考數(shù)學文科一輪總復習 第8篇 第4節(jié) 雙曲線

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1、新編高考數(shù)學復習資料 第八篇　第4節(jié) 一、選擇題 1．設P是雙曲線－＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左右兩個焦點，若|PF1|＝9，則|PF2|等于(　　) A．1　　　　　　　　　 B．17 C．1或17　 D．以上答案均不對 解析：由雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝8， 又|PF1|＝9， ∴|PF2|＝1或17，但應注意雙曲線的右頂點到右焦點距離最小為c－a＝6－4＝2>1， ∴|PF2|＝17. 故選B. 答案：B 2．(2013年高考湖北卷)已知0<θ<，則雙曲線C1：－＝1與C2：－＝1的(　　) A．實軸長相等　 B．虛軸長相等 C．離

2、心率相等　 D．焦距相等 解析：雙曲線C1的半焦距c1＝＝1，雙曲線C2的半焦距c2＝＝1，故選D. 答案：D 3．(2012年高考湖南卷)已知雙曲線C：－＝1的焦距為10，點P(2,1)在C的漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1　 B．－＝1 C.－＝1　 D．－＝1 解析：由焦距為10，知2c＝10，c＝5. 將P(2,1)代入y＝x得a＝2b. a2＋b2＝c2,5b2＝25，b2＝5，a2＝4b2＝20， 所以方程為－＝1.故選A. 答案：A 4．(2014皖南八校聯(lián)考)設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－＝1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3|PF1|＝4|PF2

3、|，則△PF1F2的面積等于(　　) A．4　　　 B．8 C．24　　　 D．48 解析：∵3|PF1|＝4|PF2|， ① ∴|PF1|>|PF2|， 由雙曲線的定義得： |PF1|－|PF2|＝2a＝2， ② 聯(lián)立①、②解得|PF2|＝6，|PF1|＝8， 又|F1F2|＝2c＝2＝10， ∴|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， ∴△PF1F2為直角三角形且∠P＝90°， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.選C. 答案：C 5．設橢圓C1的離心率為，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓C

4、1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為(　　) A.－＝1　 B．－＝1 C.－＝1　 D．－＝1 解析：在橢圓C1中，因為e＝，2a＝26， 即a＝13，所以橢圓的焦距2c＝10， 則橢圓兩焦點為(－5,0)，(5,0)， 根據(jù)題意，可知曲線C2為雙曲線， 根據(jù)雙曲線的定義可知， 雙曲線C2中的2a2＝8， 焦距與橢圓的焦距相同， 即2c2＝10， 可知b2＝3， 所以雙曲線的標準方程為－＝1.故選A. 答案：A 6．(2014福州八中模擬)若雙曲線－＝1漸近線上的一個動點P總在平面區(qū)域(x－m)2＋y2≥16內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)

5、 A．[－3,3]　 B．(－∞，－3]∪[3，＋∞) C．[－5,5]　 D．(－∞，－5]∪[5，＋∞) 解析：因為雙曲線－＝1漸近線4x±3y＝0上的一個動點P總在平面區(qū)域(x－m)2＋y2≥16內(nèi)，即直線與圓相離或相切，所以d＝≥4，解得m≥5或m≤－5，故實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．選D. 答案：D 二、填空題 7．(2013年高考遼寧卷)已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點，P，Q為C上的點．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________． 解析：由題知，雙曲線中a＝3，b＝4，c＝5， 則|PQ|＝1

6、6， 又因為|PF|－|PA|＝6， |QF|－|QA|＝6， 所以|PF|＋|QF|－|PQ|＝12， |PF|＋|QF|＝28， 則△PQF的周長為44. 答案：44 8．已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝2，且它的一個頂點到較近焦點的距離為1，則雙曲線C的方程為________． 解析：雙曲線中，頂點與較近焦點距離為c－a＝1， 又e＝＝2，兩式聯(lián)立得a＝1，c＝2， ∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，∴方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 9．(2014合肥市第三次質檢)已知點P是雙曲線－＝1(a>0，b>0)和圓x2＋y2＝a2＋b2的一個交點，

7、F1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，∠PF2F1＝2∠PF1F2，則該雙曲線的離心率為________． 解析：依題意得，線段F1F2是圓x2＋y2＝a2＋b2的一條直徑， 故∠F1PF2＝90°，∠PF1F2＝30°， 設|PF2|＝m， 則有|F1F2|＝2m，|PF1|＝m， 該雙曲線的離心率等于 ＝＝＋1. 答案：＋1 10．(2013年高考湖南卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點．若在C上存在一點P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________． 解析：設點P在雙曲線右支上， 由題意，在Rt△F1PF2中， |F

8、1F2|＝2c，∠PF1F2＝30°， 得|PF2|＝c，|PF1|＝c， 根據(jù)雙曲線的定義： |PF1|－|PF2|＝2a，(－1)c＝2a， e＝＝＝＋1. 答案：＋1 三、解答題 11．已知雙曲線x2－＝1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A、B兩點，且點P是線段AB的中點？ 解：法一　設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上， 且線段AB的中點為(x0，y0)， 若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意． 設經(jīng)過點P的直線l的方程為y－1＝k(x－1)， 即y＝kx＋1－k. 由 得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2 ＝

9、0(2－k2≠0)． ① ∴x0＝＝. 由題意，得＝1， 解得k＝2. 當k＝2時，方程①成為2x2－4x＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①沒有實數(shù)解． ∴不能作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點． 法二　設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若直線l的斜率不存在， 即x1＝x2不符合題意， 所以由題得x－＝1，x－＝1， 兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0， 即2－＝0， 即直線l斜率k＝2， 得直線l方程y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1， 聯(lián)立 得2x2－4x＋3＝0， Δ＝16－24＝－8<

10、0， 即直線y＝2x－1與雙曲線無交點，即所求直線不合題意， 所以過點P(1,1)的直線l不存在． 12．(2014南京質檢)中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長半軸長與雙曲線實半軸長之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 解：(1)由已知c＝， 設橢圓長、短半軸長分別為a、b， 雙曲線實半軸、虛半軸長分別為m、n， 則 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為＋＝1， 雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設F1、F2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點， 則|PF1|＋|PF2|＝14， |PF1|－|PF2|＝6， ∴|PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝.