新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)案 理

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1、 第六十五課時(shí) 離散型隨機(jī)變量及其分布列 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.會求與現(xiàn)實(shí)生活有密切關(guān)系的離散型隨機(jī)變量的分布列； 2.掌握二點(diǎn)分布與超幾何分布的特點(diǎn)，并會應(yīng)用． 基礎(chǔ)知識梳理 1． 離散型隨機(jī)變量 如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能 出來，則稱X為離散型隨機(jī)變量． 2． 離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì) (1)離散型隨機(jī)變量的分布列： 若離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率為p1，p2，…，pn，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p

2、2 … pi … pn 稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列． (2)離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)： ①pi 0 ， (i＝1,2,3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ ； ③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj. 3． 常見離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)二點(diǎn)分布： 如果隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，當(dāng)X＝m時(shí)的概率為P(X＝m)＝ (0≤m≤l，l為n和M中較小的一個(gè))，稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布． 預(yù)習(xí)自測 1． 設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：則p＝________. X 1 2 3 4 P p 2． 設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃投中的概率為0.3，則一次投籃時(shí)投中次數(shù)X的分布列是________． 3． 在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，寫出這兩次取出白球數(shù)η的分

4、布列為_____________． 4． 已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2

5、 【變式1】　若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________. 考點(diǎn)2　離散型隨機(jī)變量的分布列的求法及應(yīng)用 【典例2】隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位：萬元)為ξ. (1)求ξ的分布列； (2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的均值)； 【變式2】某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量(件

6、) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率． (1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率； (2)記X為第二天開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望． 考點(diǎn)3 超幾何分步 【典例3】一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是. (1)求白球的個(gè)數(shù)； (2)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列． 【變式3】20

7、xx年10月1日，為慶祝中華人民共和國成立64周年，來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的6名大學(xué)生志愿者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場運(yùn)送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個(gè)崗位服務(wù)，且運(yùn)送礦泉水崗位至少有1名北京大學(xué)志愿者的概率是. (1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率； (2)設(shè)隨機(jī)變量ξ為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)，求ξ的分布列． 當(dāng)堂檢測 1．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為 X －1 0 1 P 1－2q q2 則q等于 (　　) A．1 B．1± C．1－ D．1＋ 2． 某射

8、手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為 X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為 (　　) A．0.28 B．0.88 C．0.79 D．0.51 3． 設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于 (　　) A．0 B. C. D. 4． 在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的

9、村莊數(shù)，下列概率中等于的是 (　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 5． 設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______. 課后拓展案 A組全員必做題 1． 隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P的值為 (　　) A. B. C. D. 2． 袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為ξ，則表示

10、“放回5個(gè)紅球”事件的是(　　) A．ξ＝4 B．ξ＝5 C．ξ＝6 D．ξ≤5 3． 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示： X 0 1 2 P a F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于 (　　) A. B. C. D. 4． 已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________. 5． 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 1 2 3 4 P m 則P(|X－3|＝1)＝________. 6.已知隨機(jī)變量ξ

11、只能取三個(gè)值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________． 7.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有X個(gè)紅球，則隨機(jī)變量X的概率分布列為 X 0 1 2 P 8.從一批含有13件正品與2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)的分布列． B組提高選做題 1． 如圖所示，A、B兩點(diǎn)5條連線并聯(lián)，它們在單位時(shí)間內(nèi)能通過的最 大信息量依次為2,3,4,3,2.現(xiàn)記從中任取三條線且在單位時(shí)間內(nèi)都通 過的最大信息總量為ξ，則P(ξ≥8)＝_______. 2.某地區(qū)對12歲兒童瞬時(shí)記憶能力進(jìn)行調(diào)查．

12、瞬時(shí)記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力．某班學(xué)生共有40人，下表為該班學(xué)生瞬時(shí)記憶能力的調(diào)查結(jié)果．例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學(xué)生為3人. 視覺 聽覺 視覺記憶能力 偏低 中等 偏高 超常 聽覺記憶能力 偏低 0 7 5 1 中等 1 8 3 b 偏高 2 a 0 1 超常 0 2 1 1 由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為. (1)試確定a，b的值； (2)從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力

13、或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率； (3)從40人中任意抽取3人，設(shè)具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列． 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1．【答案】　 【解析】　由分布列的性質(zhì)知：所有概率之和為1，所以p＝. 2． 【答案】　 X 0 1 P 0.7 0.3 3． 【答案】　 η 0 1 2 P 【解析】　η的所有可能值為0,1,2. P(η＝0)＝＝，P(η＝1)＝＝，P(η＝2)＝＝. ∴η的分布列為 η 0 1 2 P 4．【答案】　A 【解析】　P(2

14、4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 5． 【答案】　D 【解析】　∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c. 又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝. 典型例題 【典例1】【答案】　　 【解析】隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 1 P a 2a 3a 4a 5a 由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. P＝P＋P＋P(ξ＝1) ＝3a＋4a＋5a＝12a＝ . 【變式1】【答案】　　 【解析】　由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知： ，解得c＝. P(X＝1)＝3－8×＝. 【典例2】【解析】　(1)由于1件產(chǎn)品的利潤

15、為ξ，則ξ的所有可能取值為6,2,1，－2，由題意知P(ξ＝6)＝＝0.63，P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，P(ξ＝－2)＝＝0.02. 故ξ的分布列為 ξ 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(萬元)． 【變式2】【解析】　(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝＋＝. (2)由題意知，X的可能取值為2,3. P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝＝； P(X＝3)＝

16、P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝＋＋＝. 所以X的概率分布列為 X 2 3 P 故X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝2×＋3×＝. 【典例3】【解析】　(1)記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x，則P(A)＝1－＝， 得到x＝5.故白球有5個(gè)． (2)X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3， 其中P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 于是可得其分布列為 X 0 1 2 3 P 【變式3】【解析】(1)記“至少有1名北京大學(xué)志愿者被分

17、到運(yùn)送礦泉水崗位”為事件A，則事件A的對立事件為“沒有北京大學(xué)志愿者被分到運(yùn)送礦泉水崗位”，設(shè)有北京大學(xué)志愿者x名，1≤x<6，那么P(A)＝1－＝，解得x＝2，即來自北京大學(xué)的志愿者有2名，來自清華大學(xué)的志愿者有4名． 記“打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名”為事件B，則P(B)＝＝， 所以打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率是. (2)在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù)ξ服從超幾何分布， 其中N＝6，M＝2，n＝2，于是 P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2， ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為

18、 ξ 0 1 2 P 當(dāng)堂檢測 1．【答案】　C 【解析】　由分布列的性質(zhì)得： ，∴q＝1－.故選C. 2．【答案】C 【解析】P(X>7)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10) ＝0.28＋0.29＋0.22＝0.79. 3．【答案】　C 4．【答案】　C 【解析】X服從超幾何分布P(X＝k)＝，故k＝4. 5．【答案】　10 【解析】　由于隨機(jī)變量X等可能取值為1,2,3，…，n.所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為. ∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝0.3， ∴n＝10. A組全員必做題 1．【答案】　D 【

19、解析】　∵P(X＝n)＝ (n＝1,2,3,4)， ∴＋＋＋＝1，∴a＝， ∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝×＋×＝. 2．【答案】C 【解析】“放回5個(gè)紅球”表示前5次摸到黑球，第6次摸到紅球，故ξ＝6. 3． 【答案】D 【解析】∵a＋＋＝1，∴a＝，∵x∈[1,2)，∴F(x)＝P(X≤x)＝＋＝. 4．【答案】 【解析】P(2<ξ≤5)＝P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝5) ＝＋＋＝. 5．【答案】 【解析】由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. 6.【答案】　 【解析】設(shè)ξ取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為

20、a－d，a，a＋d， 則(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，∴a＝， 由得－≤d≤. 7.【答案】0.1　0.6　0.3 【解析】　P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3. 8.【解析】設(shè)隨機(jī)變量ξ表示取出次品的個(gè)數(shù)，則ξ服從超幾何分布，它的可能取值為0,1,2，其相應(yīng)的概率為 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P B組提高選做題 1． 【答案】　 【解析】　方法一　由已知，ξ的取值為7,8,9,10， ∵P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝， P(ξ＝

21、9)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， ∴ξ的分布列為 ξ 7 8 9 10 P ∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10) ＝＋＋＝. 方法二　P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝. 2.【解析】(1)由表格數(shù)據(jù)可知，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的學(xué)生共有(10＋a)人．記“視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上”為事件A， 則P(A)＝＝，解得a＝6. 所以b＝40－(32＋a)＝40－38＝2. 答　a的值為6，b的值為2. (2)由表格數(shù)據(jù)可知，具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生共有

22、8人． 方法一　記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B，則“沒有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件， 所以P(B)＝1－P()＝1－＝1－＝. 答　從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為. 方法二　記“至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生”為事件B， 所以P(B)＝＝. 答　從這40人中任意抽取3人，其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學(xué)生的概率為. (3)由于從40位學(xué)生中任意抽取3人的結(jié)果數(shù)為C，其中具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的學(xué)生共24人，從40位學(xué)生中任意抽取3人，其中恰有k位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的結(jié)果數(shù)為CC， 所以從40位學(xué)生中任意抽取3人，其中恰有k人具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力偏高或超常的概率為 P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)， ξ的可能取值為0,1,2,3， 因?yàn)镻(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P