新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題突破練1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題 理 北師大版

1 1專題突破練(一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點問題(對應(yīng)學(xué)生用書第231頁)1已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲線yf(x)在點(a，f(a)處與直線yb相切，求a與b的值；(2)若曲線yf(x)與直線yb有兩個不同交點，求b的取值范圍解由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因為曲線yf(x)在點(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(0)1是f(x)的最小值當(dāng)b1時，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個交點；當(dāng)b1時，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)1b，所以存在x1(2b,0)，x2(0,2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)和(0，)上均單調(diào)，所以當(dāng)b1時，曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個不同交點綜上可知，如果曲線yf(x)與直線yb有兩個不同交點，那么b的取值范圍是(1，)2設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1.解(1)由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)22ln 22a故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當(dāng)aln 21時，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(shù)(x)0.即exx22ax10，故當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1.3(20xx·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且f(x)f(1)xxln x.(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若kZ，且f(x)k(x1)對任意的x(1，)都成立，求k的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號：79140098】解(1)f(x)f(1)1ln x(x0)，所以f(1)f(1)1，即f(1)2，所以f(x)xxln x，f(x)2ln x，令f(x)2ln x0，解得0xe2，即當(dāng)x(0，e2)時，f(x)0，當(dāng)x(e2，)時，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在xe2處取得極小值f(e2)e2，沒有極大值(2)由(1)及題意，知k對任意的x(1，)都成立，令g(x)(x1)，則g(x)，令h(x)xln x2(x1)，則h(x)10，所以函數(shù)h(x)在(1，)上為增函數(shù)，因為h(3)1ln 30，h(4)2ln 40，所以方程h(x)0存在唯一實根x0，即ln x0x02，x0(3,4)所以當(dāng)1xx0時，h(x)0，即g(x)0，當(dāng)xx0時，h(x)0，即g(x)0，所以函數(shù)g(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以g(x)ming(x0)x0，所以kg(x)minx0，x0(3,4)，又因為kZ，故k的最大值為3.4(20xx·山東高考)已知函數(shù)f(x)x3ax2，aR.(1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在點(3，f(3)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)g(x)f(x)(xa)cos xsin x，討論g(x)的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時求出極值解(1)由題意f(x)x2ax，所以當(dāng)a2時，f(3)0，f(x)x22x，所以f(3)3，因此，曲線yf(x)在點(3，f(3)處的切線方程是y3(x3)，即3xy90.(2)因為g(x)f(x)(xa)cos xsin x，所以g(x)f(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)令h(x)xsin x，則h(x)1cos x0，所以h(x)在R上單調(diào)遞增因為h(0)0，所以當(dāng)x>0時，h(x)>0；當(dāng)x<0時，h(x)<0.當(dāng)a<0時，g(x)(xa)(xsin x)，當(dāng)x(，a)時，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(a,0)時，xa>0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(0，)時，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)xa時，g(x)取到極大值，極大值是g(a)a3sin a；當(dāng)x0時，g(x)取到極小值，極小值是g(0)a.當(dāng)a0時，g(x)x(xsin x)，當(dāng)x(，)時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以g(x)在(，)上單調(diào)遞增，g(x)無極大值也無極小值當(dāng)a>0時，g(x)(xa)(xsin x)，當(dāng)x(，0)時，xa<0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(0，a)時，xa<0，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(a，)時，xa>0，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x0時，g(x)取到極大值，極大值是g(0)a；當(dāng)xa時，g(x)取到極小值，極小值是g(a)a3sin a.綜上所述：當(dāng)a<0時，函數(shù)g(x)在(，a)和(0，)上單調(diào)遞增，在(a,0)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(a)a3sin a，極小值是g(0)a；當(dāng)a0時，函數(shù)g(x)在(，)上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)a>0時，函數(shù)g(x)在(，0)和(a，)上單調(diào)遞增，在(0，a)上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值是g(0)a，極小值是g(a)a3sin a.