新編高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)教師用書：第1部分 重點強化專題 專題1 突破點3　平面向量 Word版含答案

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1、 突破點3　平面向量 [核心知識提煉] 提煉1 平面向量共線、垂直的兩個充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 提煉2 數(shù)量積常見的三種應(yīng)用 已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (1)證明向量垂直：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (2)求向量的長度：|a|＝＝. (3)求向量的夾角：cos〈a，b〉＝＝. 提煉3 平面向量解題中應(yīng)熟知的常用結(jié)論 (1)A，B，C三點共線的充要條件是存在實數(shù)λ，μ

2、，有＝λ＋μ，且λ＋μ＝1. (2)C是線段AB中點的充要條件是＝(＋)． (3)G是△ABC的重心的充要條件為＋＋＝0，若△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心坐標(biāo)為. (4)·＝·＝·?P為△ABC的垂心． (5)非零向量a，b垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0. (6)向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ＝， 向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ＝. [高考真題回訪] 回訪1　平面向量的線性運算 1．(20xx·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2

3、)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) A　[設(shè)C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A.] 2．(20xx·全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A. B. C. D. C　[如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝.] 回訪2　平面向量的數(shù)量積 3．(20xx·全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1　　 B

4、．0 C.1　　 D．2 C　[法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3， 從而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1. 法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)， 從而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故選C.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b與a垂直，則m＝________. 7　[∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)， ∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)． 又a＋b與a垂直，∴(a＋b)·a＝0，

5、 即(m－1)×(－1)＋3×2＝0， 解得m＝7.] 5．(20xx·全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________. 2　[|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. ∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. ∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2.] 回訪3　數(shù)量積的綜合應(yīng)用 6．(20xx·全國卷)已知向量a，b夾角為45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，則|b|＝________. 3　[∵a，b的夾角為45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|

6、·|b|cos 45°＝|b|， |2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10， ∴|b|＝3.] 熱點題型1　平面向量的運算 題型分析：該熱點是高考的必考點之一，考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是以平面圖形為載體考查向量的線性運算；二是以向量的共線與垂直為切入點，考查向量的夾角、模等． 【例1】(1)(20xx·衡水模擬)已知平面向量m，n的夾角為，且|m|＝，|n|＝2，在△ABC中，＝2m＋2n，＝2m－6n，D為BC的中點，則||＝(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 (2)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC

7、的中點，連接DE并延長到點F，使得DE＝2EF，則·的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：04024046】 A．－ B. C. D. (1)A　(2)B　[(1)由題意得＝(＋)＝2(m－n)， 所以||＝2 ＝2 ＝2＝2，故選A. (2)如圖所示，＝＋. 又D，E分別為AB，BC的中點， 且DE＝2EF，所以＝，＝＋＝， 所以＝＋. 又＝－， 則·＝·(－) ＝·－2＋2－· ＝2－2－·. 又||＝||＝1，∠BAC＝60°， 故·＝－－×1×1×＝.故選B.] [方法指津] 1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，

8、結(jié)合圖形分析；二是基于“數(shù)”，借助坐標(biāo)運算來實現(xiàn)． 2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標(biāo)化”的解題意識，注重數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用． 提醒：運算兩平面向量的數(shù)量積時，務(wù)必要注意兩向量的方向． [變式訓(xùn)練1](1)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，則＝(　　) A．－3 B．－ C. D．3 (2)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，則c·(a＋b)＝(　　) A．(2,12) B．(－2,12) C．14 D．10 (1)A　(2)C　[(1)如圖

9、，過D作DE∥AB.＝m＋n＝＋＝－＋，所以n＝－，m＝1，所以＝－3.故選A. (2)易知a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，可得(－4)×x＋1×4＝0，即－4x＋4＝0，解得x＝1，∴c＝(1,4)． 而a＋b＝(2,3)，∴c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.故選C.] 熱點題型2　三角與向量的綜合問題 題型分析：平面向量作為解決問題的工具，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重型”，高考常在平面向量與三角函數(shù)的交匯處命題，通過向量運算作為題目條件． 【例2】　(名師押題)已知向量a＝，b＝(cos x，－1)． (1)當(dāng)a∥b時，求cos2x－sin 2x的值； (2

10、)設(shè)函數(shù)f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sin B＝，求y＝f(x)＋4cos 的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：04024047】 [解] (1)∵a∥b，∴cos x＋sin x＝0， 2分 ∴tan x＝－， 4分 ∴cos2x－sin 2x＝＝＝． 6分 (2)f(x)＝2(a＋b)·b＝sin ＋， 8分 由正弦定理得＝，可得sin A＝. 9分 ∵b＞a，∴A＝， 10分 y＝f(x)＋4cos＝sin－. 11分 ∵x∈， ∴2x＋∈， ∴－1≤y≤－， 即y的取值范圍是． 1

11、2分 [方法指津] 平面向量與三角函數(shù)問題的綜合主要利用向量數(shù)量積運算的坐標(biāo)形式，多與同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式以及和角與倍角等公式求值等問題相結(jié)合，計算的準(zhǔn)確性和三角變換的靈活性是解決此類問題的關(guān)鍵點． [變式訓(xùn)練2]　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)m＝，n＝，且m∥n. (1)求角B的值； (2)若△ABC為銳角三角形，且A＝，外接圓半徑R＝2，求△ABC的周長． [解] (1)由m∥n，得cos 2A－cos 2B＝2coscos， 2分 即2sin2B－2sin2A＝2，化簡得sin B＝， 4分 故B＝或． 6分 (2)由題易知B＝，則由A＝，得C＝π－(A＋B)＝． 8分 由正弦定理＝＝＝2R，得a＝4sin＝2，b＝4sin＝2，c＝4sin＝4sin＝4×＝＋， 11分 所以△ABC的周長為＋2＋3． 12分