新版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第2篇 第6節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)

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2、 1 第二篇　第6節(jié) 一、選擇題 1．(20xx河南南陽模擬)設(shè)α∈{－1,1，，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為(　　) A．1,3　　　　　　　　　 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 解析：α＝－1,1,3時冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)α＝－1時定義域不是R，所以α＝1,3. 故選A. 答案：A 2．設(shè)abc<0，二次函數(shù)f(

3、x)＝ax2＋bx＋c的圖象不可能是(　　) 解析：f(0)＝c， ①當(dāng)c>0時，ab<0， 對稱軸x＝－>0，圖象可能為選項B. ②當(dāng)c<0時，ab>0， 對稱軸x＝－<0，圖象可能為選項A、C， 圖象不可能為選項D. 故選D. 答案：D 3．如果函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對任意實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　) A．f(2)

4、2，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(1)＝f(3)． ∴f(2)

5、f(x)＝x2＋1的定義域為[a，b](a

6、B．(0，) C．(0,4) D．(0,2) 解析：∵f(a)＝f(b)，0

7、江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)定點A(a，a)，P是函數(shù)y＝(x>0)圖象上一動點．若點P，A之間的最短距離為2，則滿足條件的實數(shù)a的所有值為________． 解析：設(shè)Px，(x>0)， 則|PA|2＝(x－a)2＋－a2 ＝x2＋－2ax＋＋2a2 令x＋＝t(t≥2)， 則|PA|2＝t2－2at＋2a2－2 ＝(t－a)2＋a2－2 若a≥2，當(dāng)t＝a時，|PA|＝a2－2＝8， 解得a＝. 若a<2，當(dāng)t＝2時，|PA|＝2a2－4a＋2＝8， 解得a＝－1. 答案：－1或 9．(20xx浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0

8、時，f(x)＝2x.若對任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥[f(x)]2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析：由題意f(x)＝2|x|，故f(x＋a)≥[f(x)]2， 可化為2|x＋a|≥(2|x|)2＝22|x|， 即|x＋a|≥2|x|， 所以3x2－2ax－a2≤0對任意的x∈[a，a＋2]恒成立． 令g(x)＝3x2－2ax－a2，只要g(a)≤0且g(a＋2)≤0即可， 所以 解得a≤－. 答案：－∞，－ 10．(20xx天津新華中學(xué)模擬)定義：如果在函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間[a，b]上存在x0(a

9、＝，則稱函數(shù)y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個均值點，如y＝x4是[－1,1]上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點．現(xiàn)有函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：因為函數(shù)f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函數(shù)， 設(shè)x0為均值點， 所以＝m＝f(x0)， 即關(guān)于x0的方程－x＋mx0＋1＝m，在(－1,1)內(nèi)有實數(shù)根， 解方程得x0＝1或x0＝m－1. 所以必有－1

10、 11．已知函數(shù)f(x)＝xm－且f(4)＝. (1)求m的值； (2)判定f(x)的奇偶性； (3)判斷f(x)在(0，＋∞)上的單調(diào)性，并給予證明． 解：(1)∵f(4)＝， ∴4m－＝，∴m＝1. (2)由(1)知f(x)＝x－， ∴函數(shù)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點對稱． 又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)． 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)． (3)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)，證明如下： 設(shè)x1>x2>0， 則f(x1)－f(x2)＝x1－－ ＝(x1－x2)， 因為x1>x2>0，所以x1－x2>0,1＋>0. 所以f(x1)

11、>f(x2)． 所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)． 12．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b為常數(shù))，x∈R， F(x)＝ (1)若f(－1)＝0，且函數(shù)f(x)的值域為[0，＋∞)，求F(x)的表達(dá)式； (2)在(1)的條件下，當(dāng)x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍； (3)設(shè)m·n<0，m＋n>0，a>0且f(x)為偶函數(shù)，證明F(m)＋F(n)>0. (1)解：∵f(－1)＝0， ∴a－b＋1＝0，a＝b－1. 又x∈R，f(x)的值域為[0，＋∞)， ∴ ∴b2－4(b－1)＝0，b＝2，a＝1， ∴f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2. ∴F(x)＝ (2)解：g(x)＝f(x)－kx ＝x2＋2x＋1－kx ＝x2＋(2－k)x＋1 當(dāng)≥2或≤－2時， 即k≥6或k≤－2時，g(x)在[－2,2]上是單調(diào)函數(shù)． (3)證明：∵f(x)是偶函數(shù)， ∴f(x)＝ax2＋1，F(xiàn)(x)＝ ∵m·n<0，不妨設(shè)m>n， 則n<0， 又m＋n>0，m>－n>0， ∴|m|>|－n|， 又a>0， ∴F(m)＋F(n)＝(am2＋1)－an2－1 ＝a(m2－n2)>0.