新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第10節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算

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1、 第10節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 課時(shí)訓(xùn)練 練題感 提知能　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 【選題明細(xì)表】 知識點(diǎn)、方法 題號 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 1、2、3、4、12 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 5、6、8、9、11、13 導(dǎo)數(shù)的綜合問題 7、10、14、15、16 A組 一、選擇題 1.在曲線y=x2+1的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,2+Δy),則ΔyΔx為(　C　) (A)Δx+1Δx+2 (B)Δx-1Δx-2 (C)Δx+2 (D)Δx-1Δx+2 解析:Δy=f(1+Δx

2、)-f(1) =[(1+Δx)2+1]-2 =(Δx)2+2·(Δx), ∴ΔyΔx=Δx+2,選C. 2.若f(x)=2xf′(1)+x2,則f′(0)等于(　D　) (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4 解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x, ∴f′(1)=2f′(1)+2, ∴f′(1)=-2, ∴f′(x)=2x-4, ∴f′(0)=-4. 故選D. 3.(20xx合肥模擬)函數(shù)y=x2cos x在x=1處的導(dǎo)數(shù)是(　B　) (A)0 (B)2cos 1-sin 1 (C)cos 1-sin 1 (D)1 解析:∵y′=(x2co

3、s x)′ =(x2)′cos x+x2(cos x)′ =2xcos x-x2sin x, ∴在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2cos 1-sin 1, 故選B. 4.(20xx中山市期末)函數(shù)f(x)=x2-bx+a的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ln x+f′(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(　B　) (A)(14,12) (B)(12,1) (C)(1,2) (D)(2,3) 解析:由題圖知f(1)=1-b+a=0,00,g(12)=ln 12

4、+1-b<0, 故函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(12,1),故選B. 5.(20xx深圳調(diào)研)曲線y=2x-ln x在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為(　C　) (A)y=-x-1 (B)y=-x+3 (C)y=x+1 (D)y=x-1 解析:y′=2-1x, 所以曲線在點(diǎn)(1,2)處的切線的斜率為k=2-1=1, 因此,在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y-2=x-1, 即y=x+1,故選C. 6.(20xx濰坊模擬)若曲線f(x)=x·sin x+1在x=π2處的切線與直線ax+2y+1=0互相垂直,則實(shí)數(shù)a等于(　D　) (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析:f′

5、(x)=sin x+xcos x,依題意, f′(π2)=1,且-a2×1=-1,解得a=2,故選D. 7.(20xx惠陽一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三月考)曲線y=e12x在點(diǎn)(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為(　D　) (A)6e2 (B)4e2 (C)2e2 (D)e2 解析:∵y′=12·e12x,∴y′|x=4=12·e2. ∴曲線y=e12x在點(diǎn)(4,e2)處的切線方程為y-e2=12·e2(x-4).令y=0,得x=2,令x=0,得y=-e2,所以,切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S=12×2×|-e2|=e2.故選D. 二、填空題 8.設(shè)直線y=12x+b是曲線y

6、=ln x(x>0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值為　　　　.? 解析:由已知條件可得直線的斜率k=12, y′=(ln x)′=1x=12, 得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=2, 切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,ln 2). 由點(diǎn)(2,ln 2)在切線y=12x+b上可得 b=ln 2-12×2=ln 2-1. 答案:ln 2-1 9.(20xx廣東六校第三次聯(lián)考)設(shè)P為曲線C:y=x3-x上的點(diǎn),則曲線C在點(diǎn)P處的切線的傾斜角的取值范圍為　　　　.? 解析:設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x,則曲線C在點(diǎn)P處的切線斜率是k=3x2-1≥-1,設(shè)切線的傾斜角是α,則tan α≥-1,α∈[0,π),解得 α∈[0,π2

7、 )∪[3π4,π). 答案:[0,π2 )∪[3π4,π) 10.等比數(shù)列{an}中,a1=1,a20xx=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx),則函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為　　　　.? 解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx)], ∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a20xx)]′ ∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a20xx =(a1·a20xx)1006=41006=220xx. ∴f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=220xxx.

8、答案:y=220xxx 11.(20xx廣州高三調(diào)研)若直線y=2x+m是曲線y=xln x的切線,則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.? 解析:設(shè)切點(diǎn)為(x0,x0ln x0),由y′=(xln x)′=ln x+x·1x=ln x+1得切線斜率為k=ln x0+1,故切線方程為y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0),整理得y=(ln x0+1)x-x0,與y=2x+m比較得ln x0+1=2,-x0=m, 解得x0=e,m=-e. 答案:-e 三、解答題 12.(1)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). ①y=(2x2+3)(3x-1); ②y=(x-2)2; ③y=x-sinx2cos

9、x2; (2)設(shè)f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x,試確定常數(shù)a,b,c,d,使得 f′(x)=xcos x. 解:(1)①法一　y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′ =4x(3x-1)+3(2x2+3) =18x2-4x+9. 法二　∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3, ∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9. ②∵y=(x-2)2=x-4x+4, ∴y′=x′-(4x)′+4′=1-4×12x-12=1-2x-12. ③∵y=x-sinx2cosx2=x-12sin x, ∴

10、y′=x′-(12sin x)′=1-12cos x. (2)由已知f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x]′ =[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+ (ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x, ∴必須有a-d-cx=0,ax+b+c=x, 即a-d=0,-c=0,a=1,b+c=0?a=d=1,b=c=0.

11、 13.已知函數(shù)f(x)=x在x=14處的切線為l,直線g(x)=kx+94與l平行,求f(x)的圖象上的點(diǎn)到直線g(x)的最短距離. 解:因?yàn)閒(x)=x, 所以f′(x)=12x. 所以切線l的斜率為k=f′(14)=1,切點(diǎn)為T(14,12). 所以切線l的方程為x-y+14=0. 因?yàn)榍芯€l與直線g(x)=kx+94平行, 所以k=1, 即g(x)=x+94. f(x)的圖象上的點(diǎn)到直線g(x)=x+94的最短距離為切線l:x-y+14=0與直線x-y+94=0之間的距離, 所以所求最短距離為|94-14|2=2. 14.已知點(diǎn)M是曲線y=13x3-2x2+3x+

12、1上任意一點(diǎn),曲線在M處的切線為l,求: (1)斜率最小的切線方程; (2)切線l的傾斜角α的取值范圍. 解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, ∴當(dāng)x=2時(shí),y′=-1,y=53, ∴斜率最小的切線過2,53,斜率k=-1, ∴切線方程為x+y-113=0. (2)由(1)得k≥-1, ∴tan α≥-1, ∴α∈0,π2∪3π4,π. B組 15.(高考遼寧卷)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為(　C　) (A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8 解析

13、:y=x22,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,8),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,2), ∴在點(diǎn)P處的切線方程為y-8=4(x-4),即y=4x-8. 在點(diǎn)Q處的切線方程為y-2=-2(x+2), 即y=-2x-2,解y=4x-8,y=-2x-2得A(1,-4), 則A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4.故選C. 16.(20xx河北保定一模)設(shè)函數(shù)f(x)=|sin x|的圖象與直線y=kx(k>0)有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),這三個(gè)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的最大值為α,則α等于(　B　) (A)-cos α (B)tan α (C)sin α (D)π 解析:如圖,若直線與函數(shù)有且僅有三個(gè)公共點(diǎn), 則直線y=kx與曲線y=-sin x(x∈[π,2π])相切, 設(shè)切點(diǎn)為(α,-sin α), 則-sin α=kα 且k=-cos α, 所以α=tan α. 故選B.