新編新課標(biāo)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10篇 二項(xiàng)式定理學(xué)案 理

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1、 第五十八課時(shí) 二項(xiàng)式定理 課前預(yù)習(xí)案 考綱要求 1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理． 2.對于二項(xiàng)式定理，主要考查利用通項(xiàng)公式求展開式的特定項(xiàng)、求特定項(xiàng)的系數(shù)、利用賦值法求二項(xiàng)式展開式系數(shù)問題等. 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1．二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝_________________________________________這個(gè)公式所表示的定理叫二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫(a＋b)n的二項(xiàng)展開式. 式中的____________叫二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr＋1表示，即通項(xiàng)Tr＋1＝___________. 注意：（1）它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)，而不是第項(xiàng). （2）其中叫二

2、項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)是字母冪前的常數(shù). 2．二項(xiàng)展開式形式上的特點(diǎn) (1)項(xiàng)數(shù)為_______. (2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為 . (3)字母a按 排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到 ；字母b按 排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到 . (4)二項(xiàng)式的系數(shù)從，C，一直到 ， . 3．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) (1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.即. (2)增減性與最大值： 二項(xiàng)式系數(shù)C，當(dāng)k＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐增大.由對稱性知

3、它的后半部分是逐漸減小的；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)______________取得最大值； 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)__________，__________取得最大值． (3)各二項(xiàng)式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝ ； C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . 4.二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)： 對于，； 預(yù)習(xí)自測 1．(20xx·福建)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)等于( )． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋)5＝a＋b(a，b為有理數(shù))，則a＋b＝( )．

4、 A．45 B．55 C．70 D．80 3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為( )． A．9 B．8 C．7 D．6 4．(20xx·重慶)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝( )． A．6 B．7 C．8 D．9 5．(20xx·安徽)設(shè)(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，則a10＋a11＝________. 課堂探究案 典型例題 考點(diǎn)1 二項(xiàng)展

5、開式中的特定項(xiàng)或特定項(xiàng)的系數(shù) 【典例1】已知的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)． (1)求n； (2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項(xiàng)． 【變式1】（1） (20xx·山東)若6展開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則常數(shù)a的值為__ _. （2）已知(1＋x＋x2)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，n∈N*，且2≤n≤8，n= ． 考點(diǎn)2 二項(xiàng)式中的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù) 【典例2】（1） 在的二項(xiàng)展開式中，x11的系數(shù)是_____. （2）若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為( ) A.10 B.20 C.30

6、 D.120 【變式2】設(shè)(x－1)4(x＋2)8＝a0x12＋a1x11＋…＋a11x＋a12，則a0＋a2＋…＋a10＋a12＝____. 考點(diǎn)3 二項(xiàng)式定理中的賦值法的應(yīng)用 【典例3】二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項(xiàng)式系數(shù)之和； (2)各項(xiàng)系數(shù)之和； (3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和． 【變式3】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6；

7、 (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 考點(diǎn)4 二項(xiàng)式的和與積 【典例4】在(1＋2x)3(1－x)4的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為________． 【變式4】在x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． 考點(diǎn)5 二項(xiàng)式展開式中的最值問題 【典例5】已知n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列． (1)求 n 的值； (2)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)； (3)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)． 【變式5】（1）在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是（ ） A.-7 B.7 C.-28

8、 D．28 （2）已知二項(xiàng)式，（n∈N）的展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)的比是10：1， （1）求展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和； (2)求展開式中含的項(xiàng)； （3）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng). 當(dāng)堂檢測 1．二項(xiàng)式6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是(　　) A．20　　　　　　　　　 B．－20 C．160 D．－160 2．若二項(xiàng)式n的展開式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)n的值可能為(　　)． A．6 B．10 C．12

9、 D．15 3.(1－t)3dt的展開式中x的系數(shù)是(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 4．已知8的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是(　　)． A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 5．設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若M－N＝240，則展開式中x的系數(shù)為(　　)． A．－150 B．

10、150 C．300 D．－300 6.2n展開式的第6項(xiàng)系數(shù)最大，則其常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．120 B．252 C．210 D．45 課后拓展案 A組全員必做題 ．（20xx新課標(biāo)Ⅱ）已知的展開式中的系數(shù)為,則（　?。? A． B． C． D． ．（20xx新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)為正整數(shù),展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為,展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為,若,則（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 ．

11、（20xx大綱）的展開式中的系數(shù)是（　　） A． B． C． D． ．（20xx上海春）的二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng)是（　?。? A． B． C． D． ．（20xx遼寧）使（?。? A． B． C． D． ．（20xx陜西）設(shè)函數(shù) 則當(dāng)x>0時(shí), 表達(dá)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為（　?。? A．-20 B．20 C．-15 D．15 ．（20xx年高考江西卷（理））(x2-)5展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（　?。? A．80 B．-80 C．40 D．-40 B組提高選做題 1．（20xx上海春季）36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:因?yàn)? 所以36的所有正約數(shù)之和為 .參照上

12、述方法,可求得2000的所有正約數(shù)之和為_______. 2．（20xx四川）二項(xiàng)式的展開式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是_________.(用數(shù)字作答) 3．（20xx天津）在 的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______. 參考答案 預(yù)習(xí)自測 1.B 2.C 3.B 4.B 5.0 典型例題 【典例1】（1）10；（2）；（3），； 【變式1】（1）4；（2）5 【典例2】（①）15;（②）B 【變式2】.8 【典例3】（1）512；（2）；（3） 【變式3】（1）；（2）；（3）；（4） 【典例4】2 【變式4】84 【典例5】

13、（1）8；（2）；（3）， 【變式5】（1）.B （2）.（）1；（）；（） 當(dāng)堂檢測 1．【答案】D 【解析】二項(xiàng)式(2x－)6的展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二項(xiàng)式(2x－)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是C·26－3·(－1)3＝－160. 2．【答案】C 【解析】Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rC，當(dāng)r＝4時(shí)，＝0，又n∈N*，∴n＝12. 3. 【答案】B 【解析】 (1－t)3dt＝＝＋，故這個(gè)展開式中x的系數(shù)是 －＝1. 4．【答案】C 【解析】由題意知C·(－a)4＝1120，

14、解得a＝±2，令x＝1，得展開式各項(xiàng)系數(shù)和為(1－a)8＝1或38. 5．【答案】B 【解析】由已知條件4n－2n＝240，解得n＝4， Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rC， 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x. 6【答案】C 【解析】 根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，得2n＝10，故二項(xiàng)式2n的展開式的通項(xiàng)公式是 Tr＋1＝C()10－r·r＝C，根據(jù)題意5－＝0，解得r＝6，故所求的常數(shù)項(xiàng)等于C＝C＝210. A組全員必做題 課后拓展案 1.D 2.B 3.D 4.C 5.B 6. A 7.C B組提高選做題 1.4836 2.10 3.15