新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第5章 第1節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 Word版含解析

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1、 第五章　數(shù)　列 [深研高考·備考導(dǎo)航]　　　　　　為教師備課、授課提供豐富教學(xué)資源 [五年考情] 考點 數(shù)列的概念與簡單表示法 全國卷Ⅲ·T12全國卷Ⅲ·T17 全國卷Ⅰ·T17全國卷Ⅱ·T16 全國卷Ⅰ·T17 全國卷Ⅰ·T14 — 等差數(shù)列及其前n項和 全國卷Ⅰ·T3全國卷Ⅱ·T17 全國卷Ⅰ·T17 全國卷Ⅰ·T17 全國卷Ⅰ·T7全國卷Ⅱ·T16 — 等比數(shù)列及其前n項和 全國卷Ⅰ·T15全國卷Ⅲ·T17 全國卷Ⅱ·T4 全國卷Ⅱ·T17 全國卷Ⅰ·T14全國卷Ⅱ·T3 全國卷·T5 數(shù)列求和 全國卷Ⅱ·T17

2、 全國卷Ⅰ·T17 — — 全國卷·T16 數(shù)列的綜合應(yīng)用 — — 全國卷Ⅱ·T17 全國卷Ⅰ·T12全國卷Ⅱ·T16 全國卷·T16 [重點關(guān)注] 1．從近五年全國卷高考試題來看：數(shù)列一般有兩道客觀題或一道解答題，其中解答題與解三角形交替考查，中低檔難度． 2．從知識上看：主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、an與Sn的關(guān)系、遞推公式以及數(shù)列求和，注重數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的交匯命題． 3．從能力上看：突出對函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想的考查，加大對探究、創(chuàng)新能力的考查力度． [導(dǎo)學(xué)心語] 1．重視等差、等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，正確理解等差、等比數(shù)列的概念，掌握

3、等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，靈活運用公式進(jìn)行等差、等比數(shù)列基本量的計算． 2．重視an與Sn關(guān)系、遞推關(guān)系的理解與應(yīng)用，加強由Sn求an，由遞推關(guān)系求通項，由遞推關(guān)系證明等差、等比數(shù)列的練習(xí)． 3．?dāng)?shù)列是特殊的函數(shù)，要善于用函數(shù)的性質(zhì)，解決與數(shù)列有關(guān)的最值問題，等差(比)數(shù)列中共涉及五個量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用． 一般數(shù)列求和，首先要考慮是否能轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列求和，再考慮錯位相減、倒序相加、裂項相消、分組法等求和方法． 重視發(fā)散思維、創(chuàng)新思維，有意識地培養(yǎng)創(chuàng)新能力． 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [考綱傳真]　1.了解數(shù)

4、列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)． 1．?dāng)?shù)列的定義 按照一定次序排列著的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個數(shù)列的項． 2．?dāng)?shù)列的分類 分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 項數(shù)有限與無限 有窮數(shù)列 項數(shù)有限 無窮數(shù)列 項數(shù)無限 項與項間 的大小關(guān)系 遞增數(shù)列 an＋1>an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an＋1

5、式子表示成an＝f(n)，那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式． 5．若一個數(shù)列首項確定，其余各項用an與an－1的關(guān)系式表示(如an＝2an－1＋1，n≥2且n∈N*)，則這個關(guān)系式稱為數(shù)列的遞推公式． 6．a(chǎn)n與Sn的關(guān)系 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項為an， 則an＝ 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達(dá)．(　　) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個．(　　) (3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) (4)若

6、已知數(shù)列{an}的遞推公式為an＋1＝，且a2＝1，則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15　　　 B．16 C．49 D．64 A　[當(dāng)n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.] 3．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖5-1-1)． 圖5-1-1 則第7個三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28　　　 C．29 D．30 B　[由題圖可知，第7個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5

7、＋6＋7＝28.] 4．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一個通項公式an是__________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962230】 　[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項為.] 5．(20xx·保定調(diào)研)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式an＝__________. 2n－1　[法一：由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗證可知an＝2n－1. 法二：由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.] 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式

8、　寫出下面各數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1,7，－13,19，…； (4)3,33,333,3 333，…. [解]　(1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. 3分 (2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…， 所以an＝. 6分 (3)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n表示，從第2項起，每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6. 故通項公式為an＝(－1)n(6n－5). 9分 (4)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，

9、 所以an＝(10n－1). 12分 [規(guī)律方法]　1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相鄰項的變化特征； (3)拆項后變化的部分和不變的部分的特征； (4)各項符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想． 2．若關(guān)系不明顯時，應(yīng)將部分項作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來．對于正負(fù)符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整，可代入驗證歸納的正確性． [變式訓(xùn)練1]　(1)數(shù)列0，，，，…的一個通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(n∈N*) C．a(chǎn)n＝(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(n∈N*) (2)數(shù)列

10、{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962231】 (1)C　(2)　[(1)注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可． (2)數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝.] 由an與Sn的關(guān)系求通項an 　已知下面數(shù)列{an}的前n項和Sn，求{an}的通項公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. 【導(dǎo)學(xué)號：57962232】 [解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，3分 由于a

11、1也適合此等式，∴an＝4n－5. 5分 (2)a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 7分 當(dāng)b＝－1時，a1適合此等式． 當(dāng)b≠－1時，a1不適合此等式. 10分 ∴當(dāng)b＝－1時，an＝2·3n－1； 當(dāng)b≠－1時，an＝ 12分 [規(guī)律方法]　由Sn求an的步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式； (3)對n＝1時的結(jié)果進(jìn)行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合

12、寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式． 易錯警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項時，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗證n＝1致誤． [變式訓(xùn)練2]　(20xx·石家莊質(zhì)檢(二))已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝(　　) A．2n＋1　　　　 B．2n C．2n－1 D．2n－2 A　[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以數(shù)列{an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A.]

13、 由遞推公式求數(shù)列的通項公式 　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式： (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【導(dǎo)學(xué)號：57962233】 [解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. 4分 (2)∵an＋1＝2nan，∴＝2n－1(n≥2)， ∴an＝··…··a1 ＝2n－

14、1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2. 又a1＝1適合上式，故an＝2. 8分 (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2， 故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. 12分 [規(guī)律方法]　1.已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an；已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. 2．已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列． 易

15、錯警示：本題(1)，(2)中常見的錯誤是忽視驗證a1是否適合所求式，(3)中常見錯誤是忽視判定首項是否為零． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． [解]　(1)由題意可得a2＝，a3＝. 4分 (2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 2an＋1(an＋1)＝an(an＋1). 7分 因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝. 9分 故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 12分 [思想與方法] 1．?dāng)?shù)列是一

16、種特殊的函數(shù)，因此，在研究數(shù)列問題時，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 2．a(chǎn)n＝ 3．由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項的基本思想是轉(zhuǎn)化，常用的方法是： (1)an＋1－an＝f(n)型，采用疊加法． (2)＝f(n)型，采用疊乘法． (3)an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1)型，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決． [易錯與防范] 1．?dāng)?shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列次序有關(guān)． 2．易混項與項數(shù)是兩個不同的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號． 3．在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽視先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項公式寫成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形．