新編人教版高中數(shù)學選修11：2.1 橢 圓 課時提升作業(yè)十一 2.1.2.2 含解析

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1、新編人教版精品教學資料 課時提升作業(yè)(十一) 橢圓方程及性質的應用 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.橢圓x216+y29=1中,以點M(-1,2)為中點的弦所在的直線斜率為　(　　) A.916 B.932 C.964 D.-932 【解析】選B.設直線與橢圓交于A,B兩點,設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-2, 設直線為y=k(x+1)+2, 聯(lián)立y=kx+k+2,x216+y29=1, 得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0. 所以x1+x2=-32k(k+2)9+16k

2、2, 所以-32k(k+2)9+16k2=-2. 解得k=932. 2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)為焦點的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個交點,則橢圓的長軸長為　(　　) A.32 B.26 C.27 D.42 【解析】選C.設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0), 聯(lián)立x2a2+y2b2=1,x+3y+4=0得 (a2+3b2)y2+83b2y+16b2-a2b2=0, 由Δ=0得a2+3b2-16=0, 而b2=a2-4 代入得a2+3(a2-4)-16=0 解得a2=7,所以a=7. 所以長軸長為27,選C. 【補償

3、訓練】直線l:y=x+a與橢圓x24+y2=1相切,則a的值為　(　　) A.±5 B.5 C.±5 D.5 【解析】選C.用判別式等于零求解. 3.若點(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,則yx-2的最小值為　(　　) A.1 B.-1 C.-233 D.以上都不對 【解析】選C.yx-2表示橢圓上的點(x,y)與定點(2,0)連線的斜率. 不妨設yx-2=k,則過定點(2,0)的直線方程為y=k(x-2). 由y=k(x-2),4x2+y2=4得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0. 令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)·(4k2-4)

4、=0,得k=±233, 所以kmin=-233,即yx-2的最小值為-233. 4.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點F(3,0),過點F的直線交E于A,B兩點,若AB的中點坐標為(1,-1),則E的方程為　(　　) A.x245+y236=1 B.x236+y227=1 C.x227+y218=1 D.x218+y29=1 【解析】選D.由橢圓x2a2+y2b2=1得,b2x2+a2y2=a2b2, 因為過點F的直線與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)交于A,B兩點, 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x22=1,y1+y

5、22=-1, 則b2x12+ a2y12= a2b2?、? b2x22+ a2y22= a2b2?、? 由①-②得b2(x12-x22)+ a2(y12-y22)=0, 化簡得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0. 2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,y1-y2x1-x2=b2a2, 又直線的斜率為k=0-(-1)3-1=12,即b2a2=12. 因為b2=a2-c2=a2-9,所以a2-9a2=12,解得a2=18,b2=9. 故橢圓方程為x218+y29=1. 5.若直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,則過點(

6、a,b)的直線與橢圓x29+y24=1的公共點個數(shù)為　(　　) A.0 B.1 C.2 D.需根據(jù)a,b的取值來確定 【解題指南】根據(jù)直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,可推斷點(a,b)是以原點為圓心,2為半徑的圓內的點,根據(jù)圓的方程和橢圓方程可知圓x2+y2=4內切于橢圓,進而可知點P是橢圓內的點,進而判斷可得答案. 【解析】選C.因為直線ax+by+4=0和圓x2+y2=4沒有公共點,所以原點到直線ax+by+4=0的距離d=4a2+b2>2,所以a2+b2<4,所以點P(a,b)是在以原點為圓心,2為半徑的圓內的點,因為橢圓的長半軸為3,

7、短半軸為2,所以圓x2+y2=4內切于橢圓,所以點P是橢圓內的點,所以過點P(a,b)的一條直線與橢圓的公共點個數(shù)為2.故選C. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.(2015·清遠高二檢測)若過橢圓x216+y24=1內一點(2,1)的弦被該點平分,則該弦所在直線的方程是　　　　　. 【解析】設弦兩端點A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1216+y124=1, x2216+y224=1, 兩式相減并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,y1-y2x1-x2 =-12, 所以所求直線方程為y-1=-12(x-2), 即x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0

8、 7.(2015·安陽高二檢測)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為22.過F1的直線l交C于A,B兩點,且△ABF2的周長為16,那么C的方程為　　　　　. 【解析】據(jù)橢圓焦點在x軸上,可設橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0).因為e=22,所以ca=22. 由△ABF2的周長為16得4a=16, 因此a=4,b=22, 所以橢圓方程為x216+y28=1. 答案:x216+y28=1 8.(2014·江西高考)過點M(1,1)作斜率為-12的直線與橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于A,B,若M是線段AB的中點

9、,則橢圓C的離心率為　　　　　　. 【解題指南】中點弦問題運用點差法求解. 【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2). 則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, 即(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0, 因為x1+x2=2,y1+y2=2,y2-y1x2-x1=-12, 所以a2=2b2,故c2=12a2,即e=22. 答案:22 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m. (1)當直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍. (2)求直線被橢圓截得的弦最長時直線的方程. 【

10、解題指南】求m的取值范圍,從方程角度看,需將問題轉化為關于x的一元二次方程解的判斷,而求弦最長時的直線方程,就是將弦長表示成關于m的函數(shù),求出當弦長最大時的m值,從而確定直線方程. 【解析】(1)由4x2+y2=1,y=x+m.消去y得, 5x2+2mx+m2-1=0, 因為直線與橢圓有公共點, 所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-52≤m≤52. (2)設直線與橢圓交于A(x1,y1),B(x2,y2). 由(1)知5x2+2mx+m2-1=0. 由根與系數(shù)的關系得x1+x2=-25m,x1x2=m2-15. 所以|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(x

11、1-x2)2+(x1+m-x2-m)2 =2(x1-x2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2] =24m225-45(m2-1) =2510-8m2. 因為Δ=4m2-20(m2-1)>0, 所以-52

12、=3,所以b=1, 所以橢圓方程為x29+y21=1. (2)設A(x1,y1),B(x2,y2), 由(1)可知橢圓方程為x29+y21=1?、? 因為直線AB的方程為y=x+2　②, 把②代入①,化簡并整理得10x2+36x+27=0, 所以x1+x2=-185,x1x2=2710. 所以|AB|=(1+12)18252-4×2710=635. 10.(2015·陜西高考)已知橢圓Ε:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的半焦距為c,原點Ο到經(jīng)過 兩點c,0,0,b的直線的距離為12c. (1)求橢圓Ε的離心率. (2)如圖,ΑΒ是圓Μ:x+22+y-12=52的一條

13、直徑,若橢圓Ε經(jīng)過Α,Β兩點,求橢圓Ε的方程. 【解析】(1)過點(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點O到直線的距離d=bcb2+c2=bca, 由d=12c,得a=2b=2a2-c2,解得離心率ca=32. (2)由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2.　① 依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點,且|AB|=10.易知,AB不與x軸垂直,設其直線方程為y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-8k(2k+1)1+4k2,x

14、1x2=4(2k+1)2-4b21+4k2. 由x1+x2=-4,得-8k(2k+1)1+4k2=-4,解得k=12. 從而x1x2=8-2b2. 于是|AB|=1+122|x1-x2| =52(x1+x2)2-4x1x2=10(b2-2). 由|AB|=10,得10(b2-2)=10,解得b2=3. 故橢圓E的方程為x212+y23=1. (20分鐘　40分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.設F1,F2是橢圓C:x28+y24=1的焦點,在曲線C上滿足PF1→·PF2→=0的點P的個數(shù)為　(　　) A.0個　　　B.2個　　　C.3個　　　D.4個 【解析】選

15、B.因為PF1→·PF2→=0, 所以PF1⊥PF2. 所以點P即為以線段F1F2為直徑的圓與橢圓的交點,且半徑為c=8-4=2. 又b=2,所以點P為短軸的端點,有2個. 2.(2014·福建高考)設P,Q分別為圓x2+y-62=2和橢圓x210+y2=1上的點,則P,Q兩點間的最大距離是　(　　) A.52 B.46+2 C.7+2 D.62 【解題指南】兩動點問題,可以化為一動一靜,因此考慮與圓心聯(lián)系. 【解析】選D.圓心M(0,6),設橢圓上的點為Q(x,y), 則MQ=x2+(y-6)2=10-10y2+(y-6)2=-9y2-12y+46, 當

16、y=-23∈[-1,1]時,MQmax=52.所以PQmax=52+2=62. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.如圖,把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,…,P7七個點,F是橢圓的一個焦點,則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=　　　　　. 【解題指南】結合橢圓的對稱性解題,注意定義的靈活應用. 【解析】設橢圓右焦點為F′,由橢圓的對稱性知, |P1F|=|P7F′|,|P2F|=|P6F′|,|P3F|=|P5F′|, 所以原式=(|P7F|+|P7F′|)+(|P6F|+|P6F′|)+(|P5F

17、|+|P5F′|)+12(|P4F|+ |P4F′|)=7a=35. 答案:35 4.(2014·遼寧高考)已知橢圓C:x29+y24=1,點M與點C的焦點不重合,若M關于C的焦點的對稱點分別為A,B,線段MN的中點在C上,則AN+BN=　　　　. 【解析】根據(jù)題意,橢圓的左右焦點為F1(-5,0),F2(5,0),由于點M的不確定性,不妨令其為橢圓的左頂點M(-3,0),線段MN的中點為橢圓的上頂點H(0,2),則M關于C的焦點的對稱點分別為A(-25+3,0),B(25+3,0),而點N(3,4),據(jù)兩點間的距離公式得AN+BN=(-25+3-3)2+(0-4)2+ (25+3-

18、3)2+(0-4)2=12. 答案:12 【誤區(qū)警示】在無法明確相關點的具體情況的時候,可以取特殊情形處理問題.避免對一般情況處理的復雜性. 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.(2015·全國卷Ⅱ)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,點(2,2)在C上. (1)求C的方程. (2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸, l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 【解析】(1)由題意有a2-b2a=22,4a2+2b2=1, 解得a2=8,b2=4,所以C的方程為x28+y24=1. (2)設直

19、線l:y=kx+b(k≠0,b≠0), A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 將y=kx+b代入x28+y24=1得 (2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. xM=x1+x22=-2kb2k2+1,yM=kxM+b=b2k2+1. 于是直線OM的斜率kOM=yMxM=-12k, 即kOM·k=-12. 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 6.(2015·山東高考)平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,且點3,12在橢圓C上. (1)求橢圓C的方程. (2)設橢圓E:x24a2+y24b2

20、=1,P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q. (i)求|OQ||OP|的值; (ii)求△ABQ面積的最大值. 【解題指南】(1)由離心率e和點3,12可求a,b,c. (2)將直線y=kx+m與橢圓E和橢圓C聯(lián)立消y,再根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關系求解面積的最大值. 【解析】(1)因為點3,12在橢圓C上,所以3a2+14b2=1. 又因為橢圓C的離心率為e=ca=32,所以2c=3a,4c2=3a2,結合c2=a2-b2可解得a2=4,b2=1,即橢圓C的方程為x24+y2=1. (2)(i)橢圓E:x216+y24=1.

21、 設P(x0,y0)是橢圓C上任意一點,則x02+4y02=4.直線OP:y=y0x0x與橢圓E:x216+y24=1聯(lián)立消y得x21 +4y02x02=16,x2=16x02x02+ 4y02=4x02, 所以Q(-2x0,-2y0).即OQOP=2. (ii)因為點P(x0,y0)在直線y=kx+m上,所以y0=kx0+m,點Q(-2x0,-2y0)到直線y=kx+m的距離為d=-2kx0+2y0+m1+k2=3m1+k2. 將y=kx+m與x216+y24=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0可得m2<4+16k2.?、? 設A(x1,y1),B(x

22、2,y2),則x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4m2-161+4k2,所以x1-x2=416k2+4-m21+4k2. 直線y=kx+m與y軸交點為(0,m),所以△OAB面積S△OAB=12|m|x1-x2= 2|m|16k2+4-m21+4k2=2(16k2+4-m2)m21+4k2,令m21+4k2=t, 則S△OAB=24-m21+4k2m21+4k2=2(4-t)t. 將y=kx+m與x24+y2=1聯(lián)立消y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0可得m2≤1+4k2.　　② 由①②可知0

23、1即m2=1+4k2時取得最大值),注意到S△ABQ=3S△OAB,所以S△ABQ=3S△OAB≤63.即△ABQ的面積的最大值為63. 【補償訓練】(2013·天津高考)設橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點為F,離心率為33,過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為433. (1)求橢圓的方程. (2)設A,B分別為橢圓的左、右頂點,過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點.若AC→·DB→+AD→·CB→=8,求k的值. 【解析】(1)設F(-c,0)(c>0),由ca=33,知a=3c,過點F且與x軸垂直的直線為x=-c,代入橢圓方程有(-c)2a2+y2b2

24、=1,解得y=±6b3,于是26b3=433,解得b=2,又a2-c2=b2,從而a=3,c=1,所以橢圓的方程為x23+y22=1. (2)設點C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直線CD的方程為y=k(x+1), 由方程組y=k(x+1),x23+y22=1,消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 可得x1+x2=-6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2. 因為A(-3,0),B(3,0),所以AC→·DB→+AD→·CB→=(x1+3,y1)·(3-x2,-y2) +(x2+3,y2)·(3-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 =6+2k2+122+3k2. 由已知得6+2k2+122+3k2=8,解得k=±2. 關閉Word文檔返回原板塊