2019年高考數學 考點分析與突破性講練 專題40 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理.doc

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專題40 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 一、考綱要求： 1.理解隨機抽樣的必要性和重要性. 2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本. 3.了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法. 4.會用隨機抽樣的基本方法解決一些簡單的實際問題． 5.了解分布的意義與作用，能根據概率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點. 6.理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差. 7.能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并做出合理的解釋. 8.會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征．理解用樣本估計總體的思想，會用樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.簡單隨機抽樣的特點 (1)抽取的個體數較少.(2)逐個抽取.(3)不放回抽取.(4)等可能抽取.只有四個特點都滿足的抽樣才是簡單隨機抽樣. 2.抽簽法與隨機數法的適用情況 (1）)抽簽法適用于總體中個體數較少的情況，隨機數法適用于總體中個體數較多的情況. (2）)一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點： 一是制簽是否方便；二是號簽是否易攪勻.一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法. 3.從總體數N中抽取一個樣本容量為n的樣本 (1）)在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率是. (2）)在一次抽取中，每個個體被抽到的概率是. 4.系統(tǒng)抽樣的三個關注點 (1）)若不改變抽樣規(guī)則，則所抽取的號碼構成一個等差數列，其首項為第一組所抽取的號碼，公差為樣本間隔.故問題可轉化為等差數列問題解決. (2）)抽樣規(guī)則改變，應注意每組抽取一個個體這一特征不變. (3）)如果總體容量N不能被樣本容量n整除，可隨機地從總體中剔除余數，然后再按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣. 5.系統(tǒng)抽樣有一個抽樣距其步驟為剔除，編號，均分，抽樣. 6頻率、頻數、樣本容量的計算方法 (1）)組距＝頻率. (2）)＝頻率，＝樣本容量，樣本容量頻率＝頻數. 易錯警示：繪制頻率分布直方圖時的3個注意點 (1）)制作好頻率分布表后，可以利用各組的頻率之和是否為1來檢驗該表是否正確； (2）)頻率分布直方圖的縱坐標是，而不是頻率. (3）)注意中值估算法. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷II） 如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 【答案】見解析 （2）模型②得到的預測值更可靠； 因為從總體數據看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎設施投資額是逐年上升的， 而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些， 從2010年到2016年間遞增的幅度較大些， 所以，利用模型②的預測值更可靠些． 例2.（2018全國卷III）某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由； （2）求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯表： 超過m 不超過m 第一種生產方式 第二種生產方式 （3）根據（2）中的列聯表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？ 附：K2=， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】見解析 由此填寫列聯表如下； 超過m 不超過m 總計 第一種生產方式 15 5 20 第二種生產方式 5 15 20 總計 20 20 40 （3）根據（2）中的列聯表，計算 K2===10＞6.635， ∴能有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異． 例10(2017山東高考)為了研究某班學生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關系，從該班隨機抽取10名學生，根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系．設其回歸直線方程為＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.該班某學生的腳長為24，據此估計其身高為(　　) A．160 B．163 C．166 D．170 【答案】C　 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例練習題 一、選擇題 1．下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的為(　　) A．在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎 B．某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格 C．某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見 D．用抽簽方法從10件產品中選取3件進行質量檢驗 【答案】D　 【解析】：A，B選項中為系統(tǒng)抽樣，C為分層抽樣． 2．重慶市2016年各月的平均氣溫(℃)數據的莖葉圖如圖，則這組數據的中位數是(　　) A．19　　　　　 B．20 C．21.5 D．23 【答案】B 3．下列說法錯誤的是(　　) A．回歸直線過樣本點的中心(，) B．兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數的絕對值就越接近于1 C．對分類變量X與Y，隨機變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越小 D．在回歸直線方程＝0.2x＋0.8中，當解釋變量x每增加1個單位時，預報變量平均增加0.2個單位 【答案】C　 【解析】：根據相關定義分析知A，B，D正確；C中對分類變量X與Y的隨機變量K2的觀測值k來說，k越大，判斷“X與Y有關系”的把握程度越大，故C錯誤，故選C． 4．福利彩票“雙色球”中紅色球的編號有33個，分別為01,02，…，33，某彩民利用下面的隨機數表選取6組數作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數表第1行的第6列和第7列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6個紅色球的編號為(　　) 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 　A．23 B．09 C．02 D．17 【答案】C　 【解析】：從隨機數表第1行的第6列和第7列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出的6個紅色球的編號依次為21,32,09,16,17,02，故選出的第6個紅色球的編號為02. 5．某班一次測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖可見部分(如圖)，根據圖中的信息可確定被抽測的人數及分數在[90,100]內的人數分別為(　　) A．20,2 B．24,4 C．25,2 D．25,4 【答案】C 6.某公司在2017年上半年的月收入x(單位：萬元)與月支出y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如表所示： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 收入x 12.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根據統(tǒng)計資料，則(　　) A．月收入的中位數是15，x與y有正線性相關關系 B．月收入的中位數是17，x與y有負線性相關關系 C．月收入的中位數是16，x與y有正線性相關關系 D．月收入的中位數是16，x與y有負線性相關關系 【答案】C　 【解析】：月收入的中位數是＝16，收入增加，支出增加，故x與y有正線性相關關系． 7．從編號為001,002，…，500的500個產品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007,032，則樣本中最大的編號應該為(　　) A．480 B．481 C．482 D．483 【答案】C　 8．下列說法錯誤的是(　　) A．自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系 B．在線性回歸分析中，相關系數r的值越大，變量間的相關性越強 C．在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高 D．在回歸分析中，R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好 【答案】B　 【解析】：根據相關關系的概念知A正確；當r＞0時，r越大，相關性越強，當r＜0時，r越大，相關性越弱，故B不正確；對于一組數據擬合程度好壞的評價，一是殘差點分布的帶狀區(qū)域越窄，擬合效果越好；二是R2越大，擬合效果越好，所以R2為0.98的模型比R2為0.80的模型擬合的效果好，C，D正確，故選B． 9． 2017年2月20日，摩拜單車在濟南推出“做文明騎士，周一摩拜單車免費騎”活動．為了解單車使用情況，記者隨機抽取了五個投放區(qū)域，統(tǒng)計了半小時內被騎走的單車數量，繪制了如圖所示的莖葉圖，則該組數據的方差為(　　) A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】：　由莖葉圖得該組數據的平均值為(87＋89＋90＋91＋93)＝90，所以該組數據的方差為[(87－90)2＋(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4，故選B． 10．某工廠的三個車間在12月份共生產了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產品數分別為a，b，c，且a，b，c構成等差數列，則第二車間生產的產品數為(　　) A．800 B．1 000 C．1 200 D．1 500 【答案】C　 11．若樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為8，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為(　　) A．8　 B．15 C．16　　　 D．32 【答案】C　 【解析】：已知樣本數據x1，x2，…，x10的標準差為s＝8，則s2＝64，數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝2264，所以其標準差為＝28＝16. 12．為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數據(單位：℃)制成如圖9317所示的莖葉圖． 考慮以下結論： ①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫； ②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫； ③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差； ④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差． 其中根據莖葉圖能得到的統(tǒng)計結論的編號為(　　) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【解析】：　由莖葉圖中的數據通過計算求得甲＝29，乙＝30，s甲＝，s乙＝，∴甲＜乙，s甲＞s乙，故①④正確．故選B． 絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3,0.9]內，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝________； (2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內的購物者的人數為________. 【答案】 (1)3　(2)6 000　 三、解答題 17．某車間將10名技工平均分成甲、乙兩組加工某種零件，在單位時間內每個技工加工的合格零件數的統(tǒng)計數據的莖葉圖如圖所示，已知兩組技工在單位時間內加工的合格零件的平均數都為10. (1)求出m，n的值； (2)求出甲、乙兩組技工在單位時間內加工的合格零件的方差s和s，并由此分析兩組技工的加工水平． 【答案】(1) m＝3，n＝8)； (2)見解析 【解析】：　(1)根據題意可知：甲＝(7＋8＋10＋12＋10＋m)＝10，乙＝(9＋n＋10＋11＋12)＝10， ∴m＝3，n＝8. (2)s＝[(7－10)2＋(8－10)2＋(10－10)2＋(12－10)2＋(13－10)2]＝5.2， s＝[(8－10)2＋(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝2， ∵甲＝乙，s＞s， ∴甲、乙兩組的平均水平相當，乙組更穩(wěn)定一些． 18．一企業(yè)從某條生產線上隨機抽取100件產品，測量這些產品的某項技術指標值x，得到如下的頻率分布表： x [11,13) [13,15) [15,17) [17,19) [19,21) [21,23] 頻數 2 12 34 38 10 4 (1)作出樣本的頻率分布直方圖，并估計該技術指標值x的平均數和眾數； (2)若x＜13或x≥21，則該產品不合格．現從不合格的產品中隨機抽取2件，求抽取的2件產品中技術指標值小于13的產品恰有一件的概率． 【答案】見解析 【解析】：　(1)頻率分布直方圖為 19．某醫(yī)院對治療支氣管肺炎的兩種方案A，B進行比較研究，將志愿者分為兩組，分別采用方案A和方案B進行治療，統(tǒng)計結果如下： 有效 無效 總計 使用方案A組 96 120 使用方案B組 72 總計 32 (1)完成上述列聯表，并比較兩種治療方案有效的頻率； (2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為治療是否有效與方案選擇有關？ 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 【答案】見解析 20．下表數據為某地區(qū)某種農產品的年產量x(單位：噸)及對應銷售價格y(單位：千元/噸)． x 1 2 3 4 5 y 70 65 55 38 22 (1)若y與x有較強的線性相關關系，根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (2)若每噸該農產品的成本為13.1千元，假設該農產品可全部賣出，預測當年產量為多少噸時，年利潤Z最大？參考公式： 【答案】見解析 【解析】：　(1)∵＝＝3， ＝＝50， 21．某校在高一年級學生中，對自然科學類、社會科學類校本選修課程的選課意向進行調查．現從高一年級學生中隨機抽取180名學生，其中男生105名；在這180名學生中選擇社會科學類的男生、女生均為45名. (1)試問：從高一年級學生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為多少？ (2)根據抽取的180名學生的調查結果，完成下面的22列聯表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關？ 選擇自然科學類 選擇社會科學類 合計 男生 女生 合計 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】見解析 【解析】：(1)從高一年級學生中隨機抽取1人，抽到男生的概率約為＝. (2)根據統(tǒng)計數據，可得22列聯表如下： 選擇自然科學類 選擇社會科學類 合計 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計 90 90 180 則K2＝＝≈5.142 9＞5.024， 所以能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為科類的選擇與性別有關． 22．經國務院批復同意，鄭州成功入圍國家中心城市．某校學生社團針對“鄭州的發(fā)展環(huán)境”對20名學生進行問卷調查打分(滿分100分)，得到莖葉圖，如圖 ①　　　　　　　　　?、? (1)分別計算男生、女生打分的平均分，并用數字特征評價男、女生打分的數據分布情況； (2)如圖9319②是按照打分區(qū)間[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]繪制的頻率分布直方圖，求最高矩形的高； (3)從打分在70分以下(不含70分)的學生中抽取3人，求有女生被抽中的概率． 【答案】見解析 (2)h＝10＝0.045. (3)設“有女生被抽中”為事件A，打分在70分以下(不含70分)的學生中女生有2人，設為a，b，男生4人，設為c，d，e，f. 基本事件有abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20種，其中有女生的有16種，所以P(A)＝＝.