新編高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第3篇 第5節(jié) 三角恒等變換

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1、 第三篇　第5節(jié) 一、選擇題 1．計(jì)算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值為(　　) A．－　　　　　　　　 B. C. D．1 解析：sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68° ＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23° ＝sin(68°－23°)＝sin 45° ＝. 故選B. 答案：B 2．(20xx淄博模擬)已知cos(α－)＝，則sin 2α等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：法一　∵cos(α－)＝， ∴cos α＋sin α＝， ∴cos α＋si

2、n α＝， ∴1＋sin 2α＝， ∴sin 2α＝－. 故選D. 法二　sin 2α＝cos(2α－) ＝2cos2(α－)－1 ＝2×()2－1 ＝－. 故選D. 答案：D 3．化簡(jiǎn)等于(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．1 解析：＝＝＝－1. 故選C. 答案：C 4．當(dāng)－≤x≤時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin x＋cos x的(　　) A．最大值是1，最小值是－1 B．最大值是1，最小值是－ C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1 解析：f(x)＝2sin(x＋)， ∵－≤x≤， ∴－≤x＋≤， ∴－1≤2sin(x＋

3、)≤2.故選D. 答案：D 5．(20xx黃岡中學(xué)模擬)已知cos(α＋)＝，則sin(2α－)的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：由cos(α＋)＝， 得cos(2α＋)＝2×()2－1＝－. 所以sin(2α－)＝sin(2α＋－) ＝－cos(2α＋) ＝. 故選A. 答案：A 6．(20xx東北三校聯(lián)考)設(shè)α、β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β等于(　　) A. B. C.或 D.或 解析：因α、β為銳角，cos α＝，sin(α＋β)＝， 所以sin α＝，cos(α＋β)＝±. 又因?yàn)閏os α＝<，

4、α∈0，， 所以α∈，，從而α＋β>. 于是cos(α＋β)<， 故cos(α＋β)＝－. cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋× ＝. 故選A. 答案：A 二、填空題 7．(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan(θ＋)＝，則sin θ＋cos θ＝________. 解析：因?yàn)棣葹榈诙笙藿牵? 所以＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z， 因此π＋2kπ＜θ＋＜π＋2kπ，k∈Z， 又tan(θ＋)＝， 從而sin(θ＋)＜0. 所以sin(θ＋)＝－， 所以sin θ＋cos θ＝s

5、in(θ＋)＝－. 答案：－ 8．設(shè)α為銳角，若cos＝， 則sin的值為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)閏os＝，且α為銳角， 所以α＋∈，所以sin＝， 所以sin＝2sincos＝ 2××＝， cos＝2cos2－1＝， 所以sin＝sin＝ sincos－cossin＝. 答案： 9．(高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________. 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝sin x－cos x ＝sin(x－φ)， 其中sin φ＝，cos φ＝， 當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)， 即

6、x＝2kπ＋＋φ時(shí)，函數(shù)f(x)取到最大值， 即θ＝2kπ＋＋φ， 所以cos θ＝－sin φ＝－. 答案：－ 10．已知角α、β的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，α、β∈(0，π)，角β的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－，角α＋β的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，則cos α＝________. 解析：依題設(shè)得，cos β＝－， ∵0<β<π， ∴<β<π，sin β＝. 又∵sin(α＋β)＝>0,0<α<π， ∴<α＋β<π， cos(α＋β)＝－. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝ cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝ －×＋×＝

7、 . 答案： 三、解答題 11．(20xx洛陽(yáng)模擬)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<. (1)求tan 2α的值； (2)求β. 解：(1)由cos α＝，0<α<，得 sin α＝＝＝. ∴tan α＝＝×＝4， 于是tan 2α＝＝ ＝－. (2)由0<β<α<，得0<α－β<， ∵cos(α－β)＝， ∴sin(α－β)＝＝＝. 由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝ cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝ ×＋×＝， 所以β＝. 12．(高考湖南卷)已知函數(shù)f(x)＝sin(x－)＋

8、cos(x－)，g(x)＝2sin2. (1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值； (2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合． 解：f(x)＝sin(x－)＋cos(x－) ＝sin x－cos x＋cos x＋sin x ＝sin x， g(x)＝2sin2＝1－cos x. (1)由f(α)＝， 得sin α＝. 又α是第一象限角， 所以cos α>0. 從而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝. (2)f(x)≥g(x)等價(jià)于sin x≥1－cos x， 即sin x＋cos x≥1， 于是sin(x＋)≥， 從而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z. 故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合為 .