新編一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第5章 第4節(jié)　數(shù)列求和 Word版含解析

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1、 第四節(jié)　數(shù)列求和 [考綱傳真]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法． 1．公式法 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解． 3．裂項相消法 (1)把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． (2)裂項時常用的三種變形： ①＝－； ②＝； ③＝－. 4．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，

2、這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解． 5．倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解． 6．并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn

3、＝.(　　) (2)當n≥2時，＝.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk.(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　) A．1 B. C. D． B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…－＝.] 3．(20xx·廣東中山華僑中學(xué)3月模擬)已知等比數(shù)列{an}中，a2·a8＝4a5，等差數(shù)列{bn

4、}中，b4＋b6＝a5，則數(shù)列{bn}的前9項和S9等于(　　) A．9 B．18 C．36 D．72 B　[∵a2·a8＝4a5，即a＝4a5，∴a5＝4， ∴a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2， ∴S9＝9b5＝18，故選B.] 4．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝__________. 【導(dǎo)學(xué)號：57962259】 2n＋1－2＋n2　[Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.] 5．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________. 4－　[設(shè)S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×， 則S＝

5、3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×. 兩式相減得S＝3×＋－. ∴S＝3＋－ ＝3＋－＝4－.] 分組轉(zhuǎn)化求和 　(20xx·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項和． [解]　(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1,2,3，…). 2分 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2. 所

6、以an＝2n－1(n＝1,2,3，…). 5分 (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 7分 從而數(shù)列{cn}的前n項和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝＋＝n2＋. 12分 [規(guī)律方法]　分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型 (1)若an ＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，則可采用分組求和法求{an}的前n項和． (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和． 易錯警示：注意在含有字母的數(shù)列中對字母的分類討論． [變式訓(xùn)練1]　(20x

7、x·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*. (1)求通項公式an； (2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項和． [解]　(1)由題意得則 2分 又當n≥2時，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an， 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1，n∈N*. 5分 (2)設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，則b1＝2，b2＝1. 當n≥3時，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3. 8分 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則T1＝2，T2＝3， 當n≥3時，Tn＝3＋

8、－＝， 所以Tn＝ 12分 裂項相消法求和 　 (20xx·全國卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和． [解]　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an). 3分 由an>0，得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以{an}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列

9、，通項公式為an＝2n＋1. 5分 (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝. 8分 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝. 12分 [規(guī)律方法]　1.裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵捎，要注意消去了哪些項，保留了哪些項，從而達到求和的目的． 2．消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項． [變式訓(xùn)練2]　(20xx·石家莊一模)已知等差數(shù)列{an}中，2a2＋a3＋a5＝20，且前10項和S10＝100. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求

10、數(shù)列{bn}的前n項和． 【導(dǎo)學(xué)號：57962260】 [解]　(1)由已知得 解得 3分 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 5分 (2)bn＝＝， 8分 所以Tn＝ ＝＝. 12分 錯位相減法求和 　(20xx·山東高考)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1. (1)求數(shù)列{bn}的通項公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解]　(1)由題意知當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5. 當n＝1時，a1＝S1＝11，符合上式． 所以an＝6n＋5. 2分

11、 設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d. 由即 解得所以bn＝3n＋1. 5分 (2)由(1)知cn＝＝3(n＋1)·2n＋1. 7分 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn， 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]， 2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]， 9分 兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2] ＝3× ＝－3n·2n＋2， 所以Tn＝3n·2n＋2. 12分 [規(guī)律方法]　1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩

12、邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，若{bn}的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論． 2．在書寫“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”，即公比q的同次冪項相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和． [變式訓(xùn)練3]　(20xx·廣東肇慶第三次模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3＝6，S5＝15. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，首項為a1. ∵S3＝6，S5＝15， ∴即 解得 3分 ∴{an}的通項公式為an ＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×1＝n. 5分

13、 (2)由(1)得bn＝＝， 6分 ∴Tn＝＋＋＋…＋＋， ① ①式兩邊同乘， 得Tn＝＋＋＋…＋＋， ② ①－②得Tn＝＋＋＋…＋－ ＝－＝1－－， 10分 ∴Tn＝2－－. 12分 [思想與方法] 解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路： (1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項分解或錯位相減來完成． (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項相消法、倒序相加法等來求和． [易錯與防范] 1．直接應(yīng)用公式求和時，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時，應(yīng)對其公比是否為1進行討論． 2．利用裂項相消法求和的注意事項： (1)抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項． (2)將通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差與系數(shù)之積與原通項相等．如：若{an}是等差數(shù)列， 則＝，＝.