（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十三 圓錐曲線的綜合問題講義 理（重點(diǎn)生含解析）.doc

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專題十三 圓錐曲線的綜合問題 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、證明問題T19 直線與拋物線的位置關(guān)系、弦長問題、拋物線與圓的綜合問題T19 直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的證明與平面向量綜合問題T20 2017 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線過定點(diǎn)問題T20 軌跡問題、直線過定點(diǎn)問題T20 直線與拋物線的位置關(guān)系、直線方程、圓的方程T20 2016 軌跡問題、定值問題、面積的取值范圍問題T20 直線與橢圓的位置關(guān)系、求三角形的面積、參數(shù)的取值范圍問題T20 直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問題、證明問題T20 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年3考，難度較大，涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、定點(diǎn)問題、定值問題、軌跡問題、取值范圍問題及證明問題．特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題，難度降低．這一變化，預(yù)計(jì)2019年仍會以橢圓為載體考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及定點(diǎn)或定值問題 卷Ⅱ3年3考，難度偏大，涉及軌跡問題、直線與拋物線的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系、軌跡問題、三角形面積、范圍問題以及直線過定點(diǎn)問題．特別注意2018年高考將此綜合題前移到第19題，難度降低．這一變化，預(yù)計(jì)2019年會以橢圓為載體考查弦長問題及弦長取值范圍問題 卷Ⅲ3年3考，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系、軌跡問題及證明問題．預(yù)計(jì)2019年會將拋物線與圓綜合考查，考查直線與圓或拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用問題 橫向把握重點(diǎn) 解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，是高中數(shù)學(xué)的主要知識板塊，是高考考查的重點(diǎn)知識之一，在解答題中一般會綜合考查直線、圓、圓錐曲線等．試題難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)． 解答題的熱點(diǎn)題型有： (1)直線與圓錐曲線位置關(guān)系；(2)圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、最值及范圍的求解；(3)軌跡方程及探索性問題的求解. [考法一　定點(diǎn)、定值問題] 題型策略(一) 　　　(2018南昌模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)． (1)求拋物線C的方程； (2)若直線OA，OB的斜率之積為－，求證：直線AB過x軸上一定點(diǎn)． [破題思路] 第(1)問 求什么想什么 求拋物線C的方程，想到求p的值 給什么用什么 給出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與p的關(guān)系求p 第(2)問 求什么想什么 求證：直線AB過x軸上一定點(diǎn)，想到直線AB的方程 給什么用什么 題目條件中給出“A，B是拋物線C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)”以及“直線OA，OB的斜率之積為－”，可設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也可設(shè)直線AB的方程 差什么 找什么 要求直線AB的方程，還需要知道直線AB的斜率是否存在，可分類討論解決 [規(guī)范解答] (1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，所以＝1，所以p＝2. 所以拋物線C的方程為y2＝4x. (2)證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)， 設(shè)A，B. 因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為－， 所以＝－，化簡得t2＝32. 所以A(8，t)，B(8，－t)，此時(shí)直線AB的方程為x＝8. ②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立消去x，化簡得ky2－4y＋4b＝0. 所以yAyB＝， 因?yàn)橹本€OA，OB的斜率之積為－， 所以＝－， 整理得xAxB＋2yAyB＝0. 即＋2yAyB＝0， 解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32. 所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k， 所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)． 綜上所述，直線AB過定點(diǎn)(8,0)． [題后悟通] 思路 受阻 分析 不能正確應(yīng)用條件“直線OA，OB的斜率之積為－”是造成不能解決本題的關(guān)鍵 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 定點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)及求解步驟 解析幾何中的定點(diǎn)問題實(shí)質(zhì)是：當(dāng)動直線或動圓變化時(shí)，這些直線或圓相交于一點(diǎn)，即這些直線或圓繞著定點(diǎn)在轉(zhuǎn)動．這類問題的求解一般可分為以下三步： [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1．(2018成都一診)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F(，0)，長半軸長與短半軸長的比值為2. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)B(0,1)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，若點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上，證明直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：(1)由題意得，c＝，＝2，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1， ∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(m≠1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 聯(lián)立消去y， 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. ∴Δ＝16(4k2＋1－m2)>0， x1＋x2＝，x1x2＝. ∵點(diǎn)B在以線段MN為直徑的圓上， ∴＝0. 則＝(x1，kx1＋m－1)(x2，kx2＋m－1)＝(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0， ∴(k2＋1)＋k(m－1)＋(m－1)2＝0， 整理，得5m2－2m－3＝0， 解得m＝－或m＝1(舍去)． ∴直線l的方程為y＝kx－. 易知當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，不符合題意． 故直線l過定點(diǎn)，且該定點(diǎn)的坐標(biāo)為. 題型策略(二) 　　　(2018沈陽質(zhì)監(jiān))設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓＋＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足＝ . (1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程； (2)過F(1,0)的直線l1與點(diǎn)P的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，過F(1,0)作與l1垂直的直線l2與點(diǎn)P的軌跡交于C，D兩點(diǎn)，求證：＋為定值． [破題思路] 第(1)問 求什么 想什么 求點(diǎn)P的軌跡E的方程，想到建立點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的關(guān)系式 給什么 用什么 題目條件中給出＝ ，利用此條件建立點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系式 差什么 找什么 要求點(diǎn)P的軌跡方程，還缺少點(diǎn)P，M，N的坐標(biāo)，可設(shè)點(diǎn)P(x，y)，M(x0，y0)，N(x,0)，然后用x，y表示x0，y0 第(2)問 求什么 想什么 要證明＋為定值，想到利用合適的參數(shù)表示|AB|和|CD| 給什么 用什么 題目條件給出過F(1,0)互相垂直的兩條直線分別與軌跡E分別交于A，B和C，D兩點(diǎn)，用弦長公式可求|AB|和|CD| 差什么 找什么 要求|AB|和|CD|，還缺少直線l1和l2的方程，可設(shè)出直線斜率，利用點(diǎn)斜式表示直線方程．但要注意直線斜率不存在的情況 [規(guī)范解答] (1)設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x,0)． ∵＝ ，∴(0，y)＝(x0－x，y0)， ∴x0＝x，y0＝. 又點(diǎn)M在橢圓上，∴＋＝1， 即＋＝1. ∴點(diǎn)P的軌跡E的方程為＋＝1. (2)證明：由(1)知F為橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)， 當(dāng)直線l1與x軸重合時(shí)， |AB|＝6，|CD|＝＝， ∴＋＝. 當(dāng)直線l1與x軸垂直時(shí)，|AB|＝，|CD|＝6， ∴＋＝. 當(dāng)直線l1與x軸不垂直也不重合時(shí)，可設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－1)(k≠0)， 則直線l2的方程為y＝－(x－1)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去y，得(8＋9k2)x2－18k2x＋9k2－72＝0， 則Δ＝(－18k2)2－4(8＋9k2)(9k2－72)＝2 304(k2＋1)>0， x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝ ＝. 同理可得|CD|＝. ∴＋＝＋＝. 綜上可得＋為定值． [題后悟通] 思路 受阻 分析 在解決本題第(1)問時(shí)，不能正確應(yīng)用＝ 求得點(diǎn)P的軌跡E的方程，導(dǎo)致第(2)問也無法求解，是解決本題易發(fā)生的錯(cuò)誤之一；在解決第(2)問時(shí)，忽視直線斜率的不存在性或不能正確求解|AB|，|CD|都是常見解題失誤的原因. 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 定值問題實(shí)質(zhì)及求解步驟 定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探究某些幾何量(斜率、距離、面積、比值等)與變量(斜率、點(diǎn)的坐標(biāo)等)無關(guān)的問題．其求解步驟一般為： [對點(diǎn)訓(xùn)練] 2．已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－2，0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)如圖所示，點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過點(diǎn)D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為定值，并求出該定值． 解：(1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由題意得解得 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明：法一：設(shè)D(x0,0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－23)的左頂點(diǎn)，斜率為k(k>0)的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA. (1)當(dāng)t＝4，|AM|＝|AN|時(shí)，求△AMN的面積； (2)當(dāng)2|AM|＝|AN|時(shí)，求k的取值范圍． [破題思路] 第(1)問 求什么 想什么 求△AMN的面積，想到三角形的面積公式S＝底高或S＝absin C 給什么 用什么 題目條件中給出“MA⊥NA，|AM|＝|AN|”，得△AMN為等腰直角三角形，故可利用面積S＝|AM||AN|求解 差什么 找什么 到此就缺少|(zhì)AM|，|AN|的值，由于A點(diǎn)已知，故想法求M，N的坐標(biāo) 第(2)問 求什么 想什么 求k的取值范圍，想到建立關(guān)于k的不等式 給什么 用什么 題目條件中給出2|AM|＝|AN|，可利用此條件建立t與k的關(guān)系式 差什么 找什么 缺少關(guān)于k的不等式，想到t>3即可建立k的不等式 [規(guī)范解答] (1)由|AM|＝|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對稱，由MA⊥NA，可得直線AM的斜率k為1. 因?yàn)閠＝4，所以A(－2,0)， 所以直線AM的方程為y＝x＋2， 代入橢圓方程＋＝1，可得7x2＋16x＋4＝0， 解得x＝－2或x＝－， 所以M，N， 則△AMN的面積為＝. (2)由題意知t>3，k>0，A(－，0)， 將直線AM的方程y＝k(x＋)代入＋＝1得(3＋tk2)x2＋2tk2x＋t2k2－3t＝0， 設(shè)M(x1，y1)， 則x1(－)＝，即x1＝， 故|AM|＝|x1＋|＝. 由題設(shè)知，直線AN的方程為y＝－(x＋)， 故同理可得|AN|＝. 由2|AM|＝|AN|，得＝， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)． 當(dāng)k＝時(shí)上式不成立，因此t＝. 由t>3，得>3， 所以＝<0，即<0. 由此得或 解得3，不能建立關(guān)于k的不等式，從而導(dǎo)致問題無法求解. 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新參數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為已知參數(shù)的范圍問題. 　　　設(shè)橢圓＋＝1(a>)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A.已知|OA|－|OF|＝1，其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率． (1)求橢圓的方程及離心率e的值； (2)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于點(diǎn)B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直線l的斜率的取值范圍． [破題思路] 第(1)問 求什么 想什么 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率e的值，想到利用a，b，c的關(guān)系求參數(shù)a及離心率e的值 給什么 用什么 題目條件中給出|OA|－|OF|＝1，則a－c＝1 差什么 找什么 還缺少一個(gè)關(guān)于a和c的關(guān)系式，可利用a2＝b2＋c2 第(2)問 求什么 想什么 求直線l的斜率k的取值范圍，想到建立關(guān)于斜率k的不等式 給什么 用什么 由題目條件垂直于直線l的直線與l交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)H，利用kkMH＝－1，建立關(guān)于k的兩條直線方程，由題目條件∠MOA≤∠MAO，利用三角形的大角對大邊，建立關(guān)于xM的不等式，利用題目條件BF⊥HF，即＝0建立關(guān)系式 差什么 找什么 還缺少關(guān)于k的不等式，應(yīng)找到xM與k的關(guān)系構(gòu)建關(guān)于k的不等式 [規(guī)范解答] (1)由題意可知|OF|＝c＝， 又|OA|－|OF|＝1，所以a－＝1，解得a＝2， 所以橢圓的方程為＋＝1， 離心率e＝＝. (2)設(shè)M(xM，yM)，易知A(2,0)， 在△MAO中，∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|， 即(xM－2)2＋y≤x＋y，化簡得xM≥1. 設(shè)直線l的斜率為k(k≠0)， 則直線l的方程為y＝k(x－2)． 設(shè)B(xB，yB)，聯(lián)立消去y， 整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0， 解得x＝2或x＝. 由題意得xB＝，從而yB＝. 由(1)知F(1,0)，設(shè)H(0，yH)， 則＝(－1，yH)，＝. 由BF⊥HF，得＝0， 即＋＝0，解得yH＝， 所以直線MH的方程為y＝－x＋. 由消去y，得xM＝. 由xM≥1，得≥1，解得k≤－或k≥， 所以直線l的斜率的取值范圍為 ∪. [題后悟通] 思路 受阻 分析 不能將條件中的幾何信息∠MOA≤∠MAO準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式xM≥1，并將其用直線l的斜率表示出來，得到目標(biāo)不等式，是不能正確求解此題的常見原因. 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 利用已知條件中的幾何關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，從而構(gòu)建出目標(biāo)不等式. 　已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C，其上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為4，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x＝－平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍． [破題思路] 第(1)問 求什么 想什么 求橢圓C的方程，想到求橢圓的長半軸a和短半軸b的值 給什么 用什么 題目條件中給出橢圓焦點(diǎn)的位置，以及橢圓上一點(diǎn)Q到兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和及離心率，用橢圓的定義和離心率公式即可求a，b的值 第(2)問 求什么 想什么 求m的取值范圍，想到建立關(guān)于m的不等式 給什么 用什么 題目條件給出線段MN恰被直線x＝－平分，弦MN的垂直平分線方程為y＝kx＋m，用y＝kx＋m是弦MN的中垂線及MN的中點(diǎn)在直線x＝－上，可設(shè)出中點(diǎn)坐標(biāo)P，建立y0與m的關(guān)系，通過y0范圍求m范圍或建立m與k的關(guān)系式 差什么 找什么 還缺少建立不等式的條件，注意到MN的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部及直線x＝－上，其隱含條件為線段MN的中點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍可確定或聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用判別式Δ>0求解 [規(guī)范解答] (1)由題意可設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 由條件可得a＝2，c＝，則b＝1. 故橢圓C的方程為＋x2＝1. (2)法一：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，則由點(diǎn)M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知4x＋y＝4,4x＋y＝4，兩式相減， 得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0， 將xM＋xN＝2＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得k＝－. 又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上， 所以y0＝－k＋m，所以m＝y(tǒng)0＋k＝y(tǒng)0. 由點(diǎn)P在線段BB′上B′(xB′，yB′)，B(xB，yB)為直線x＝－與橢圓的交點(diǎn)，如圖所示， 所以yB′0，得k∈∪， 所以m＝－k∈∪， 即m的取值范圍為∪. [題后悟通] 思路 受阻 分析 利用點(diǎn)差法求解第(2)問時(shí)，關(guān)鍵是利用點(diǎn)差法得到目標(biāo)參數(shù)m與y0的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)P與橢圓的位置關(guān)系得到y(tǒng)0的取值范圍，從而求得目標(biāo)參數(shù)m的取值范圍．很多同學(xué)在解決本題時(shí)往往出現(xiàn)如下失誤：(1)忽視y0的取值范圍而造成思路受阻無法正確求解．(2)利用判別式法求解此題時(shí)，抓住直線與圓錐曲線相交這一條件，利用判別式Δ>0構(gòu)建m與k的關(guān)系式，從而得所求，但部分考生忽視Δ>0，導(dǎo)致思路受阻而無法求解 技法 關(guān)鍵 點(diǎn)撥 (1)利用點(diǎn)在曲線內(nèi)(外)的充要條件構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住目標(biāo)參數(shù)和某點(diǎn)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式． (2)利用判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判別式Δ的關(guān)系建立目標(biāo)不等式 [對點(diǎn)訓(xùn)練] 1．已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓E的中心是原點(diǎn)O，離心率等于，以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4.直線l：y＝kx＋m與y軸交于點(diǎn)P，與橢圓E相交于A，B兩個(gè)點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)若＝3，求m2的取值范圍． 解：(1)根據(jù)已知設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c， 由已知得＝，∴c＝a，b2＝a2－c2＝. ∵以橢圓E的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為4， ∴4＝2a＝4，∴a＝2，b＝1. ∴橢圓E的方程為x2＋＝1. (2)根據(jù)已知得P(0，m)，設(shè)A(x1，kx1＋m)，B(x2，kx2＋m)， 由消去y， 得(k2＋4)x2＋2mkx＋m2－4＝0. 由已知得Δ＝4m2k2－4(k2＋4)(m2－4)>0， 即k2－m2＋4>0， 且x1＋x2＝，x1x2＝. 由＝3，得x1＝－3x2. ∴3(x1＋x2)2＋4x1x2＝12x－12x＝0. ∴＋＝0， 即m2k2＋m2－k2－4＝0. 當(dāng)m2＝1時(shí)，m2k2＋m2－k2－4＝0不成立， ∴k2＝. ∵k2－m2＋4>0， ∴－m2＋4>0，即>0. 解得1b>0)，焦距為2c，則b＝c， ∴a2＝b2＋c2＝2b2， ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 又橢圓E過點(diǎn)，∴＋＝1，解得b2＝1. ∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)由于點(diǎn)(－2,0)在橢圓E外，∴直線l的斜率存在． 設(shè)直線l的斜率為k，則直線l：y＝k(x＋2)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0. 由Δ>0，得0≤k2<， 從而x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|MN|＝ |x1－x2|＝2. ∵點(diǎn)F2(1,0)到直線l的距離d＝， ∴△F2MN的面積S＝|MN|d＝3. 令1＋2k2＝t，則t∈[1,2)， ∴S＝3＝3 ＝3＝3， 當(dāng)＝，即t＝時(shí)，S有最大值， Smax＝，此時(shí)k＝. ∴當(dāng)直線l的斜率為時(shí)，可使△F2MN的面積最大，其最大值為. [題后悟通] (一)思路受阻分析 解決本例(2)的關(guān)鍵是建立△F2MN的面積S關(guān)于斜率k的關(guān)系式，然后通過換元構(gòu)造一元二次函數(shù)求解，而很多同學(xué)因不會構(gòu)造函數(shù)造成思路受阻無法繼續(xù)求解． (二)技法關(guān)鍵點(diǎn)撥 求圓錐曲線中范圍、最值的2種方法 幾何法 若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來求解 代數(shù)法 若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值、范圍．常用的方法有基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、判別式法等 [對點(diǎn)訓(xùn)練] 3．(2019屆高三武漢調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P，且離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過F1的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A， B.如果直線AF1，l，BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍． 解：(1)由題意，知解得 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)易知直線l的斜率存在且不為零．設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，代入橢圓方程＋y2＝1， 整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0. 由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－1)>0， 得2k2>m2－1.① 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 因?yàn)镕1(－1,0)，所以kAF1＝，kBF1＝. 由題可得2k＝＋，且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， 所以(m－k)(x1＋x2＋2)＝0. 因?yàn)橹本€l：y＝kx＋m不過焦點(diǎn)F1(－1,0)，所以m－k≠0， 所以x1＋x2＋2＝0，從而－＋2＝0， 即m＝k＋.② 由①②得2k2>2－1，化簡得|k|>.③ 焦點(diǎn)F2(1,0)到直線l：y＝kx＋m的距離 d＝＝＝， 令t＝，由|k|>知t∈(1，)． 于是d＝＝， 因?yàn)楹瘮?shù)f (t)＝在[1，]上單調(diào)遞減， 所以f ()0， 則 ① 所以x1＋x2＝(my1＋6)＋(my2＋6)＝4m2＋12， ② 因?yàn)閤1x2＝，所以x1x2＝36， ③ 假設(shè)存在N(x0，y0)，使得`＝0， 由題意可知y0＝，所以y0＝2m， ④ 由N點(diǎn)在拋物線上可知x0＝，即x0＝m2， ⑤ 又＝(x1－x0，y1－y0)，＝(x2－x0，y2－y0)， 若＝0， 則x1x2－x0(x1＋x2)＋x＋y1y2－y0(y1＋y2)＋y＝0， 由①②③④⑤代入上式化簡可得：3m4＋16m2－12＝0， 即(m2＋6)(3m2－2)＝0， 所以m2＝，故m＝， 所以存在直線3x＋y－18＝0或3x－y－18＝0，使得NA⊥N B. [題后悟通] 思路受阻分析 本題(2)中條件的關(guān)系較多且層層遞進(jìn)又相互關(guān)聯(lián)．先是過定點(diǎn)的直線l與曲線T相交于A，B，再是過A，B中點(diǎn)與x軸平行的直線交曲線T于點(diǎn)N，再是NA⊥NB，能否合理轉(zhuǎn)化這些條件及條件中的關(guān)系是正確解決此題的關(guān)鍵．常因不會轉(zhuǎn)化或轉(zhuǎn)化過程中計(jì)算失誤導(dǎo)致無法繼續(xù)解題或解題失誤 技法關(guān)鍵點(diǎn)撥 存在性問題的求解方法 (1)解決存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．一般步驟： ①假設(shè)滿足條件的曲線(或直線、點(diǎn))等存在，用待定系數(shù)法設(shè)出； ②列出關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)； ③若方程(組)有實(shí)數(shù)解，則曲線(或直線、點(diǎn)等)存在，否則不存在． (2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問題常用的方法 題型策略(二)含字母參數(shù)的存在性問題 　　　如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)P，離心率e＝，直線l的方程為x＝4. (1)求橢圓C的方程； (2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與直線l相交于點(diǎn)M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由． [破題思路] 第(1)問 求什么想什么 求橢圓C的方程，想到求a，b的值 給什么用什么 題目條件中給出橢圓過點(diǎn)P，離心率e＝.將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得a，b的關(guān)系式；用離心率公式可得a，c的關(guān)系式，另外，還有a2＝b2＋c2，即可求得a，b的值 第(2)問 求什么想什么 判斷是否存在常數(shù)λ，使k1＋k2＝λk3成立．想到k1＋k2＝λk3是否有解 給什么用什么 題目條件中給出直線AB過右焦點(diǎn)F，且與橢圓及直線l分別交于點(diǎn)A，B，M，直線PA，PB，PM的斜率分別為k1，k2，k3，想到用斜率公式表示k1，k2，k3 差什么找什么 需要A，B，M的坐標(biāo)，可設(shè)出A，B，M的坐標(biāo)，通過建立直線AB與橢圓方程的方程組求得各坐標(biāo)的關(guān)系 [規(guī)范解答] (1)由題意得解得 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由題意可設(shè)直線AB的斜率為k， 則直線AB的方程為y＝k(x－1)，① 代入橢圓方程，并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2≠1， 則x1＋x2＝，x1x2＝，② 在方程①中令x＝4，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4,3k)． 從而k1＝，k2＝，k3＝＝k－. 因?yàn)锳，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，所以k＝kAF＝kBF， 即＝＝k， 所以k1＋k2＝＋＝＋－＝2k－，③ 將②代入③得， k1＋k2＝2k－＝2k－1， 又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3. 故存在常數(shù)λ＝2符合題意． [題后悟通] 思路受阻分析 不會利用A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線建立各個(gè)坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，從而不能將k1＋k2進(jìn)行化簡是導(dǎo)致解題受阻、不能正確求解的主要原因 技法關(guān)鍵點(diǎn)撥 字母參數(shù)值存在性問題的求解方法 求解字母參數(shù)值的存在性問題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿足條件的參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應(yīng)的參數(shù)值，就說明滿足條件的參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說明滿足條件的參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過程就是說明理由的過程 [對點(diǎn)訓(xùn)練] 　(2019屆高三福州四校聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|RS|＝3. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì)，得2cb＝(2a＋2c)，所以＝. 將x＝c代入＋＝1， 得y＝，所以＝3. 又a2＝b2＋c2，所以a＝2，b＝， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然x軸上任意一點(diǎn)T都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱． 當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在T(t,0)滿足條件，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，R(x1，y1)，S(x2，y2)． 聯(lián)立消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得①，其中Δ>0恒成立， 由TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，得kTS＋kTR＝0(顯然TS，TR的斜率存在)， 即＋＝0.② 因?yàn)镽，S兩點(diǎn)在直線y＝k(x－1)上， 所以y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，代入②得 ＝＝0， 即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0.③ 將①代入③得 ＝＝0， 則t＝4， 綜上所述，存在T(4,0)，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱． [高考大題通法點(diǎn)撥] 圓錐曲線問題重在“設(shè)”——設(shè)點(diǎn)、設(shè)線 [思維流程]　 　　[策略指導(dǎo)] 圓錐曲線解答題的常見類型是：第1小題通常是根據(jù)已知條件，求曲線方程或離心率，一般比較簡單．第2小題往往是通過方程研究曲線的性質(zhì)——弦長問題、中點(diǎn)弦問題、動點(diǎn)軌跡問題、定點(diǎn)與定值問題、最值問題、相關(guān)量的取值范圍問題等等，這一小題綜合性較強(qiáng)，可通過巧設(shè)“點(diǎn)”“線”，設(shè)而不求．在具體求解時(shí)，可將整個(gè)解題過程分成程序化的三步： 第一步，聯(lián)立兩個(gè)方程，并將消元所得方程的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系正確寫出； 第二步，用兩個(gè)交點(diǎn)的同一類坐標(biāo)的和與積，來表示題目中涉及的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系； 第三步，求解轉(zhuǎn)化而來的代數(shù)問題，并將結(jié)果回歸到原幾何問題中． 在求解時(shí)，要根據(jù)題目特征，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)、設(shè)線，以簡化運(yùn)算．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0)，且點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍； (3)過橢圓C1：＋＝1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P，作圓O：x2＋y2＝的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N(M，N不在坐標(biāo)軸上)，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，證明：＋為定值． [破題思路] 第(1)問 求什么想什么 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，想到求a和b的值 給什么用什么 題目條件中給出橢圓的右焦點(diǎn)為F(1,0)以及橢圓上的一點(diǎn)P，將點(diǎn)P代入橢圓方程中，再結(jié)合c2＝a2＋b2即可求解 第(2)問 求什么想什么 求直線l的斜率k的取值范圍，想到建立關(guān)于k的不等式 給什么用什么 題目條件中給出直線l過定點(diǎn)(0,2)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B且∠AOB為銳角，可用k表示出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程．由于直線與橢圓相交，故判別式Δ>0，由于∠AOB為銳角，故>0，從而得出關(guān)于k的不等式 第(3)問 求什么想什么 證明：＋為定值，想到尋找合適的參數(shù)表示m和n或求出m和n的值 給什么用什么 題目條件中給出M，N是過橢圓C1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P作圓O的切線所得切點(diǎn)以及m，n為直線MN在x軸、y軸上的截距．用P，M，N的坐標(biāo)表示出切線PM，PN的方程以及直線MN的方程，再用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出m和n 差什么找什么 需求出m，n，可利用P點(diǎn)坐標(biāo)表示m，n.然后借助點(diǎn)P在橢圓C1上求得定值證明問題 [規(guī)范解答] (1)由題意得c＝1，所以a2＝b2＋1.① 又點(diǎn)P在橢圓C上，所以＋＝1.② 由①②可解得a2＝4，b2＝3， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)直線l的方程為 y＝kx＋2，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由得 (4k2＋3)x2＋16kx＋4＝0， 因?yàn)棣ぃ?6(12k2－3)>0， 所以k2>， 則x1＋x2＝，x1x2＝. 因?yàn)椤螦OB為銳角， 所以>0，即x1x2＋y1y2>0， 所以x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)>0， 所以(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0， 即(1＋k2)＋2k＋4>0， 解得k2<. 又k2>，所以0)和定點(diǎn)M(0,1)，設(shè)過點(diǎn)M的動直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，拋物線C在A，B處的切線的交點(diǎn)為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若△ABN的面積的最小值為4，求拋物線C的方程． 解：設(shè)直線AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線AB的方程代入拋物線C的方程得x2－2pkx－2p＝0， 則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.① (1)由x2＝2py得y′＝，則A，B處的切線斜率的乘積為＝－， ∵點(diǎn)N在以AB為直徑的圓上， ∴AN⊥BN， ∴－＝－1，∴p＝2. (2)易得直線AN：y－y1＝(x－x1)， 直線BN：y－y2＝(x－x2)， 聯(lián)立結(jié)合①式， 解得即N(pk，－1)． 所以|AB|＝|x2－x1| ＝ ＝， 點(diǎn)N到直線AB的距離d＝， 則S△ABN＝|AB|d＝≥2， 當(dāng)k＝0時(shí)，取等號， ∵△ABN的面積的最小值為4， ∴2＝4，∴p＝2， 故拋物線C的方程為x2＝4y. 2．(2019屆高三河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋y2＝1，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個(gè)動點(diǎn)，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝，n＝，mn＝0. (1)求證：k1k2＝－； (2)試探求△POQ的面積S是否為定值，并說明理由． 解：(1)證明：∵k1，k2存在，∴x1x2≠0， ∵mn＝0，∴＋y1y2＝0， ∴k1k2＝＝－. (2)①當(dāng)直線PQ的斜率不存在， 即x1＝x2，y1＝－y2時(shí)， 由＝－，得－y＝0， 又由P(x1，y1)在橢圓上， 得＋y＝1， ∴|x1|＝，|y1|＝， ∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1. ②當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b(b≠0)． 由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0， Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∵＋y1y2＝0， ∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0， 得2b2－4k2＝1，滿足Δ>0. ∴S△POQ＝|PQ| ＝|b| ＝2|b|＝1. ∴△POQ的面積S為定值． 3.(2018長春質(zhì)檢)如圖，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O為AB的中點(diǎn)，P，Q分別是AD和CD上的點(diǎn)，且滿足①＝，②直線AQ與BP的交點(diǎn)在橢圓E：＋＝1(a>b>0)上． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn)，M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn)，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值． 解：(1)設(shè)AQ與BP的交點(diǎn)為G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)， 由題可知，＝. ∵kAG＝kAQ，kBG＝kBP， ∴＝，＝－， 從而有＝－＝－，整理得＋y2＝1， 即橢圓E的方程為＋y2＝1. (2)由(1)知R(2,0)，設(shè)M(x0，y0)，則y0＝， 從而梯形ORMN的面積S＝(2＋x0)y0＝， 令t＝2＋x0，則20，u＝4t3－t4單調(diào)遞增， 當(dāng)t∈(3,4)時(shí)，u′<0，u＝4t3－t4單調(diào)遞減， 所以當(dāng)t＝3時(shí)，u取得最大值，則S也取得最大值，最大值為. 4．已知拋物線E：y2＝2px(p>0)，直線x＝my＋3與E交于A，B兩點(diǎn)，且＝6，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求拋物線E的方程； (2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－3,0)，記直線CA，CB的斜率分別為k1，k2，證明：＋－2m2為定值． 解：(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 聯(lián)立消去x，整理得y2－2pmy－6p＝0， 則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－6p，x1x2＝＝9， 由＝x1x2＋y1y2＝9－6p＝6， 解得p＝，所以y2＝x. (2)證明：由題意得k1＝＝， k2＝＝， 所以＝m＋，＝m＋， 所以＋－2m2＝2＋2－2m2 ＝2m2＋12m＋36－2m2 ＝12m＋36. 由(1)可知：y1＋y2＝2pm＝m，y1y2＝－6p＝－3， 所以＋－2m2＝12m＋36＝24， 所以＋－2m2為定值． 5．(2018惠州調(diào)研)已知C為圓(x＋1)2＋y2＝8的圓心，P是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在圓的半徑CP上，且有點(diǎn)A(1,0)和AP上的點(diǎn)M，滿足＝0，＝2. (1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程； (2)若斜率為k的直線l與圓x2＋y2＝1相切，與(1)中所求點(diǎn)Q的軌跡交于不同的兩點(diǎn)F，H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且≤≤，求k的取值范圍． 解：(1)由題意知MQ是線段AP的垂直平分線， 所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2， 所以點(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)C，A為焦點(diǎn)，焦距為2，長軸長為2的橢圓， 所以a＝，c＝1，b＝＝1， 故點(diǎn)Q的軌跡方程是＋y2＝1. (2)設(shè)直線l：y＝kx＋t，F(xiàn)(x1，y1)，H(x2，y2)， 直線l與圓x2＋y2＝1相切?＝1?t2＝k2＋1. 聯(lián)立?(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 則Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2>0?k≠0， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以＝x1x2＋y1y2 ＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2 ＝＋kt＋t2 ＝－＋k2＋1 ＝， 所以≤≤?≤k2≤?≤|k|≤， 所以－≤k≤－或≤k≤. 故k的取值范圍是∪. 6.如圖所示，設(shè)橢圓M：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，中心為O，若橢圓M過點(diǎn)P，且AP⊥OP. (1)求橢圓M的方程； (2)若△APQ的頂點(diǎn)Q也在橢圓M上，試求△APQ面積的最大值； (3)過點(diǎn)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線交橢圓M于D，E兩點(diǎn)，且k1k2＝1，求證：直線DE過定點(diǎn)． 解：(1)由AP⊥OP，可知kAPkOP＝－1. 又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－a,0)， 所以＝－1，解得a＝1. 又因?yàn)闄E圓M過點(diǎn)P，所以＋＝1，解得b2＝， 所以橢圓M的方程為x2＋＝1. (2)由題意易求直線AP的方程為＝， 即x－y＋1＝0. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓M上，故可設(shè)Q， 又|AP|＝， 所以S△APQ＝ ＝ cos＋1 . 當(dāng)θ＋＝2kπ(k∈Z)，即θ＝2kπ－(k∈Z)時(shí)， S△APQ取得最大值＋. (3)證明：法一：由題意易得，直線AD的方程為y＝k1(x＋1)，代入x2＋3y2＝1，消去y，得(3k＋1)x2＋6kx＋3k－1＝0. 設(shè)D(xD，yD)，則(－1)xD＝， 即xD＝，yD＝k1＝. 設(shè)E(xE，yE)，同理可得xE＝，yE＝. 又k1k2＝1且k1≠k2，可得k2＝且k1≠1， 所以xE＝，yE＝， 所以kDE＝＝＝， 故直線DE的方程為y－＝. 令y＝0，可得x＝－＝－2. 故直線DE過定點(diǎn)(－2,0)． 法二：設(shè)D(xD，yD)，E(xE，yE)． 若直線DE垂直于y軸，則xE＝－xD，yE＝y(tǒng)D，此時(shí)k1k2＝＝＝＝與題設(shè)矛盾， 若DE不垂直于y軸，可設(shè)直線DE的方程為x＝ty＋s，將其代入x2＋3y2＝1，消去x，得(t2＋3)y2＋2tsy＋s2－1＝0， 則yD＋yE＝，yDyE＝. 又k1k2＝ ＝ ＝1， 可得(t2－1)yDyE＋t(s＋1)(yD＋