高中數(shù)學講義微專題17函數(shù)的極值

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1、微專題17 函數(shù)的極值 一、基礎知識： 1、函數(shù)極值的概念： （1）極大值：一般地，設函數(shù)在點及其附近有定義，如果對附近的所有的點都有，就說是函數(shù)的一個極大值，記作，其中是極大值點 （2）極小值：一般地，設函數(shù)在點及其附近有定義，如果對附近的所有的點都有，就說是函數(shù)的一個極小值，記作，其中是極小值點 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 2、在定義中，取得極值的點稱為極值點，極值點是自變量的值，極值指的是函數(shù)值。請注意以下幾點： （1）極值是一個局部概念：由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內最大或最小 （2）函數(shù)的極值

2、不是唯一的即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內極大值或極小值可以不止一個 （3）極大值與極小值之間無確定的大小關系即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值 （4）函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內部，區(qū)間的端點不能成為極值點 3、極值點的作用： （1）極值點為單調區(qū)間的分界點 （2）極值點是函數(shù)最值點的候選點 4、費馬引理：在處可導，那么為的一個極值點 說明：①前提條件：在處可導 ②單向箭頭：在可導的前提下，極值點導數(shù)，但是導數(shù)不能推出為的一個極值點，例如：在處導數(shù)值為0，但不是極值點 ③費馬引理告訴我們，判斷極值點可以通過導數(shù)來進行，但是極值點的定義與

3、導數(shù)無關（例如：在處不可導，但是為函數(shù)的極小值點） 5、求極值點的步驟： （1）篩選： 令求出的零點（此時求出的點有可能是極值點） （2）精選：判斷函數(shù)通過的零點時，其單調性是否發(fā)生變化，若發(fā)生變化，則該點為極值點，否則不是極值點 （3）定性： 通過函數(shù)單調性判斷出是極大值點還是極小值點：先增后減→極大值點，先減后增→極小值點 6、在綜合題分析一個函數(shù)時，可致力于求出函數(shù)的單調區(qū)間，當求出單調區(qū)間時，極值點作為單調區(qū)間的分界點也自然體現(xiàn)出來，并且可根據單調性判斷是極大值點還是極小指點，換言之，求極值的過程實質就是求函數(shù)單調區(qū)間的過程。 7、對于在定義域中處處可導的函數(shù)，極值點是導

4、函數(shù)的一些零點，所以涉及到極值點個數(shù)或所在區(qū)間的問題可轉化成導函數(shù)的零點問題。但要注意檢驗零點能否成為極值點。 8、極值點與函數(shù)奇偶性的聯(lián)系： （1）若為奇函數(shù)，則當是的極大（極?。┲迭c時，為的極?。O大）值點 （2）若為偶函數(shù)，則當是的極大（極?。┲迭c時，為的極大（極?。┲迭c 二、典型例題： 例1：求函數(shù)的極值. 解： 令解得： 的單調區(qū)間為： 極大值 的極大值為，無極小值 小煉有話說：（1）求極值時由于要判定是否為極值點以及極大值或極小值，所以可考慮求函數(shù)的單調區(qū)間，進而在表格中加入一列極值點，根據單調性即可進行判斷 （2

5、）在格式上有兩點要求：第一推薦用表格的形式將單調區(qū)間與極值點清晰地表示出來，第二在求極值點時如果只有一個極大（或極?。┲迭c，則需說明另一類極值點不存在 例2：求函數(shù)的極值。 解：，令解得： 的單調區(qū)間為： 極小值 的極小值為，無極大值 小煉有話說：本題若使用解極值點，則也滿足，但由于函數(shù)通過這兩個點時單調性沒有發(fā)生變化，故均不是極值點。對比兩個方法可以體會到求極值點歸根結底還是要分析函數(shù)的單調區(qū)間 例3：求函數(shù)在上的極值 思路：利用求出的單調區(qū)間，進而判斷極值情況 解： 令解得： 的單調區(qū)間為：

6、 的極小值為，極大值為 小煉有話說：在本題中如果僅令，則僅能解得這一個極值點，進而丟解。對于與，實質上在這兩點處沒有導數(shù)，所以在中才無法體現(xiàn)出來，由此我們可以得到以下幾點經驗 （1）利用來篩選極值點的方法在有些特殊函數(shù)中會丟解，此類點往往是不存在導函數(shù)的點。例如：中的，是極值點卻不存在導數(shù) （2）在尋找極值點時，若能求出的單調區(qū)間，則利用單調區(qū)間求極值點是可靠的 例4：已知函數(shù)，在點處有極小值，試確定的值，并求出的單調區(qū)間。 思路：，由極值點條件可得：，兩個條件可解出，進而求出單調區(qū)間 解： 在點取得極小值 ，令，解得或 的單調區(qū)間為：

7、 小煉有話說：關注“在點處有極小值”，一句話表達了兩個條件，作為極值點導數(shù)等于零，作為曲線上的點，函數(shù)值為1，進而一句話兩用，得到關于的兩個方程。 例5：若函數(shù)在時有極值，則_________ 思路：，依題意可得：，可解得： 或，但是當時， 所以盡管但不是極值點，所以舍去。經檢驗：符合， 答案： 小煉有話說：對于使用極值點條件求參數(shù)值時，求得結果一定要代回導函數(shù)進行檢驗，看導數(shù)值為0的點是否是極值點 例6：在處有極小值，則實數(shù)為 . 思路：,為極小值點，，解得：或，考慮代入結果進行檢驗：時，，可得在單調遞增，在單調遞減。進而為極小值

8、點符合題意，而當時，，可得在單調遞增，在單調遞減。進而為極大值點，故不符合題意舍去 答案： 小煉有話說：在已知極值點求參數(shù)范圍時，考慮利用極值點導數(shù)值等于零的條件，但在解完參數(shù)的值后要進行檢驗，主要檢驗兩個地方：① 已知極值點是否仍為函數(shù)的極值點 ② 參數(shù)的值能否保證極大值或極小值點滿足題意。 例7： （1）已知函數(shù)有兩個極值點，則的取值范圍是___________ （2）已知函數(shù)存在極值點，則的取值范圍是_________ （1）思路：，若有兩個極值點，則方程有兩個不等實根，從而只需，即或 答案：或 （2）思路：存在極值點即有實數(shù)根，，但是當即時, ，不存在極值點，所以方程

9、依然要有兩個不等實數(shù)根，的范圍為或 答案：或 小煉有話說：本題有以下幾個亮點 （1）在考慮存在極值點和極值點個數(shù)時，可通過導數(shù)轉化成為方程的根的問題，使得解決方法多樣化，可與函數(shù)零點和兩圖象的交點找到關系 （2）方程根的個數(shù)并不一定等于極值點的個數(shù)，所以要判斷函數(shù)在通過該點時單調性是否發(fā)生了變化 （3）本題兩問結果相同，是由導函數(shù)方程為二次方程，其時，其根不能作為極值點所致。 例8：設函數(shù)，其中為常數(shù)．若函數(shù)的有極值點，求的取值范圍及的極值點； 思路：，定義域為，若函數(shù)的有極值點，則有正根且無重根，進而轉化為二次方程根分布問題，通過韋達定理刻畫根的符號，進而確定的范圍 解：（1

10、），令即 有極值點 有正的實數(shù)根，設方程的根為 ① 有兩個極值點，即, ② 有一個極值點，即 綜上所述： （2）思路：利用第（1）問的結論根據極值點的個數(shù)進行分類討論 方程的兩根為： ① 當時， 的單調區(qū)間為： 的極大值點為，極小值點為 ② 當時， 的單調區(qū)間為： 的極小值點為，無極大值點 綜上所述： 當時，的極大值點為，極小值點為 當時，的極小值點為，無極大值點 小煉有話說： （1）導函數(shù)含有參數(shù)時，其極值點的個數(shù)與參數(shù)的取值有關，一方面體現(xiàn)在參數(shù)的取值能否保證導函數(shù)等于0時

11、存在方程的解，另一方面體現(xiàn)在當方程的解與參數(shù)有關時，參數(shù)會影響到解是否在定義域內。只有符合這兩個條件的解才有可能成為極值點。這兩點也是含參函數(shù)中對參數(shù)分類討論的入手點 （2）對于二次方程而言，可利用韋達定理或者實根分布來處理極值存在問題。韋達定理主要應用于判定極值點的符號，而根分布的用途更為廣泛，能夠將實根分布區(qū)間與二次函數(shù)的判別式，對稱軸，端點值符號聯(lián)系起來。在本題中由于只需要判定根是否為正，從而使用韋達定理即可 例9：若函數(shù)在其定義域內的一個子區(qū)間內不是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍_______________ 思路：,令.函數(shù)在內不是單調函數(shù)，所以，又因為是定義域的子區(qū)間，所以，綜上可得： 答案： 小煉有話說：本題雖然沒有提到極值點，但是卻體現(xiàn)了極值點的作用：連續(xù)函數(shù)單調區(qū)間的分界點。所以在連續(xù)函數(shù)中，“不單調”意味著極值點位于所給區(qū)間內。 例10：設，若函數(shù)有大于零的極值點，則（ ） A. B. C. D. 思路：，,， 由此可得： ，所解不等式化為： 所以 答案：C - 9 -