2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1（第二課時(shí)）類比推理講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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第二課時(shí)　類比推理 為了回答“火星上是否有生命”這個(gè)問題，科學(xué)家們把火星與地球作為類比，發(fā)現(xiàn)火星具有一些與地球類似的特征，如火星也是圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星，也有大氣層，在一年中也有季節(jié)的變更，而且火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在． 問題：科學(xué)家做出上述猜想的推理過程是怎樣的？ 提示：在提出上述猜想的過程中，科學(xué)家對(duì)比了火星與地球之間的某些相似特征，然后從地球的一個(gè)已知特征(有生命存在)出發(fā)，猜測(cè)火星也可能具有這個(gè)特征． 1．類比推理 根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡(jiǎn)稱類比法．其思維過程為： →→ 2．合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐結(jié)果_，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程．歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理． 類比推理的特點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： (1)類比推理是從特殊到特殊的推理． (2)類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征．所以，類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠． (3)由于類比推理的前提是兩類對(duì)象之間具有某些可以清楚定義的類似特征．所以，進(jìn)行類比推理的關(guān)鍵是明確地指出兩類對(duì)象在某些方面的類似特征． 類比推理在數(shù)列中的應(yīng)用 [例1]　在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有什么樣的等式成立？ [思路點(diǎn)撥]　在等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比中，等差數(shù)列中的和類比等比數(shù)列中的積，差類比商，積類比冪． [精解詳析]　在等差數(shù)列{an}中，a10＝0， ∴a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1. 又由a10＝0，得a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋a20－n ＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n， 若a9＝0，同理可得a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a17－n， 相應(yīng)的，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1， 則可得b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)． [一點(diǎn)通]　類比推理的一般模式為：A類事物具有性質(zhì)a，b，c，d，B類事物具有性質(zhì)a′，b′，c′，d′(a，b，c分別與a′，b′，c′相似或相同)，所以B類事物可能具有性質(zhì)d′(d與d′相似或相同)． 1． 若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，則有數(shù)列bn＝(n∈N*)也是等差 數(shù)列． 類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地： 若數(shù)列{cn}(n∈N*)是等比數(shù)列，且cn>0，則數(shù)列dn＝________(n∈N*)也是等比數(shù)列． 答案： 2．已知命題：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m≠n，m，n∈N*)，則am＋n＝.現(xiàn)已知等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，且bm＝a，bn＝b(m≠n，m，n∈N*)，類比上述結(jié)論，求bm＋n. 解：等差數(shù)列通項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n是一次函數(shù)關(guān)系，等比數(shù)列通項(xiàng)bn與項(xiàng)數(shù)n是指數(shù)型函數(shù)關(guān)系．利用類比可得bm＋n＝＝. 類比推理在幾何中的應(yīng)用 [例2]　 如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分別為α1、α2、α3，三側(cè)面△SBC，△SAC，△SAB的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的正弦定理，給出空間情形的一個(gè)猜想． [思路點(diǎn)撥]　在△DEF中，有三條邊，三個(gè)角，與△DEF相對(duì)應(yīng)的是四面體S－ABC，與三角形三條邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的是四面體三個(gè)側(cè)面的面積，三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)的是SA，SB，SC與底面ABC所成的三個(gè)線面角α1，α2，α3.在平面幾何中三角形的有關(guān)性質(zhì)，我們可以用類比的方法，推廣到四面體、三棱柱等幾何體中． [精解詳析]　在△DEF中，由正弦定理，得＝＝.于是，類比三角形中的正弦定理，在四面體S－ABC中，我們猜想＝＝成立． [一點(diǎn)通]　(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，可以從幾何元素的數(shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手．由平面中相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論． (2)平面圖形與空間圖形類比 平面圖形 空間圖形 點(diǎn) 線 線 面 邊長(zhǎng) 面積 面積 體積 線線角 二面角 三角形 四面體 3．在平面中△ABC的角C的內(nèi)角平分線CE分△ABC面積所成的比＝，將這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為________． 　　　 圖(1)　　　　　　　　　(2) 解析：平面中的面積類比到空間為體積， 故類比成. 平面中的線段長(zhǎng)類比到空間為面積， 故類比成. 故有＝. 答案：＝ 4.如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想． 解：如圖所示，在四面體P—ABC中，S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。? 我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. 合情推理的應(yīng)用 [例3]　我們已經(jīng)學(xué)過了等差數(shù)列，你是否想過有沒有等和數(shù)列呢？ (1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義； (2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)，并加以說明； (3)在等和數(shù)列{an}中，如果a1＝a，a2＝b，求它的前n項(xiàng)和Sn. [思路點(diǎn)撥]　可先根據(jù)等差數(shù)列的定義類比出“等和數(shù)列”的定義，然后再據(jù)此定義探索等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)及其前n項(xiàng)和． [精解詳析]　(1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等和數(shù)列． (2)由(1)知an＋an＋1＝an＋1＋an＋2， 所以an＋2＝an. 所以等和數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)相等，偶數(shù)項(xiàng)也相等． (3)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，令n＝2k－1，k∈N*，則 Sn＝S2k－1＝S2k－2＋a2k－1＝(a＋b)＋a ＝(a＋b)＋a＝a＋b； 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令n＝2k，k∈N*，則 Sn＝S2k＝k(a＋b)＝(a＋b)． 所以它的前n項(xiàng)和Sn＝ [一點(diǎn)通]　(1)本題是一道淺顯的定義類比應(yīng)用問題，通過對(duì)等差數(shù)列定義及性質(zhì)的理解，類比出等和數(shù)列的定義和性質(zhì)，很好地考查學(xué)生類比應(yīng)用的能 力． (2)本題型是類比定義，對(duì)本類題型解決的關(guān)鍵在于弄清兩個(gè)概念的相似性和相異性． 5．類比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使得a＝λ1e1＋λ2e2.”寫出空間向量基本定理的是________． 答案：如果e1，e2，e3是空間三個(gè)不共面的向量，那么對(duì)空間內(nèi)任一向量a，有且只有一組實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 6．已知橢圓C：＋＝1具有性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線－＝1寫出類似的性質(zhì)，并加以證明． 解：類似的性質(zhì)：若M，N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為KPM，KPN時(shí)，那么KPM與KPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值． 證明如下： 設(shè)M(m，n)，則N(－m，－n)，其中－＝1. 設(shè)P(x，y)，由KPM＝，KPN＝， 得KPMKPN＝＝， 將y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得KPMKPN＝. 1．進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上思考，不要被表面現(xiàn)象所迷惑，否則，只抓住一點(diǎn)表面的相似甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤． 2．多用下列技巧會(huì)提高所得結(jié)論的準(zhǔn)確性： (1)類比對(duì)象的共同屬性或相似屬性盡可能的多些． (2)這些共同屬性或相似屬性應(yīng)是類比對(duì)象的主要屬性． (3)這些共同(相似)屬性應(yīng)包括類比對(duì)象的各個(gè)方面，并盡可能是多方面． 一、填空題 1．正方形的面積為邊長(zhǎng)的平方，則在立體幾何中，與之類比的圖形是________，結(jié)論是________． 答案：正方體　正方體的體積為棱長(zhǎng)的立方 2．給出下列推理： (1)三角形的內(nèi)角和為(3－2)180， 四邊形的內(nèi)角和為(4－2)180， 五邊形的內(nèi)角和為(5－2)180， …… 所以凸n邊形的內(nèi)角和為(n－2)180； (2)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y＝tan x是三角函數(shù)，所以y＝tan x是周期函數(shù)； (3)狗是有骨骼的；鳥是有骨骼的；魚是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鳥、魚、蛇和青蛙都是動(dòng)物，所以，所有的動(dòng)物都是有骨骼的； (4)在平面內(nèi)如果兩條直線同時(shí)垂直于第三條直線，則這兩條直線互相平行，那么在空間中如果兩個(gè)平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面互相平行． 其中屬于合情推理的是________．(填序號(hào)) 解析：根據(jù)合情推理的定義來判斷．因?yàn)?1)(3)都是歸納推理，(4)是類比推理，而(2)不符合合情推理的定義，所以(1)(3)(4)都是合情推理． 答案：(1)(3)(4) 3．三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r，a、b、c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為________． 解析：△ABC的內(nèi)心為O，連結(jié)OA，OB，OC，將△ABC分割為三個(gè)小三角形，這三個(gè)小三角形的高都是r，底邊長(zhǎng)分別為a，b，c；類比：設(shè)四面體A－BCD的內(nèi)切球球心為O，連結(jié)OA，OB，OC，OD，將四面體分割為四個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，以原來面為底面的四面體，高都為r，所以有V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. 答案：(S1＋S2＋S3＋S4)r(S1，S2，S3，S4為四個(gè)面的面積，r為內(nèi)切球的半徑) 4．在平面幾何中，有射影定理：“在△ABC中，AB⊥AC，點(diǎn)A在BC邊上的射影為D，有AB2＝BDBC.”類比平面幾何定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與射影面積、底面面積的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“在三棱錐A－BCD中，AD⊥平面ABC，點(diǎn)A在底面BCD上的射影為O，則有________．” 答案：S＝S△BOCS△BCD 5．已知結(jié)論：“在三邊長(zhǎng)都相等的△ABC中，若D是BC的中點(diǎn)，G是△ABC外接圓的圓心，則＝2”．若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在六條棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，若M是△BCD的三邊中線的交點(diǎn)，O為四面體ABCD外接球的球心，則＝________.” 解析：如圖，易知球心O在線段AM上，不妨設(shè)四面體ABCD的邊長(zhǎng)為1，外接球的半徑為R， 則BM＝＝， AM＝ ＝， R＝ ，解得R＝. 于是，＝＝3. 答案：3 二、解答題 6．已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)： (1)通項(xiàng)an＝am＋(n－m)d. (2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*，則am＋an＝ap＋aq. (3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列． 類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫出相類似的性質(zhì)． 解：設(shè)等比數(shù)列{bn}中，公比為q，前n項(xiàng)和為Sn. (1)通項(xiàng)an＝amqn－m. (2)若m＋n＝p＋q，且m，n，p，q∈N*， 則aman＝apaq. (3)若m＋n＝2p，且m，n，p∈N*，則a＝aman. (4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列． 7．類比圓的下列特征，找出球的相關(guān)特征． (1)平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓； (2)平面內(nèi)不共線的3個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓； (3)圓的周長(zhǎng)與面積可求． 解：(1)在空間中，與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球； (2)空間中不共面的4個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)球； (3)球的表面積與體積可求． 8．若記號(hào)“*”表示兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的算術(shù)平均的運(yùn)算，即a*b＝，則兩邊均含有運(yùn)算符號(hào)“*”和“＋”，寫出對(duì)于任意3個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c都能成立的一個(gè)等式． 解：由于本題是探索性和開放性的問題，問題的解決需要經(jīng)過一定的探索類比過程，并且答案不惟一．解決這道試題要把握住a*b＝，還要注意到試題的要求不僅類比推廣到三個(gè)數(shù)，而且等式兩邊均含有運(yùn)算符號(hào) “*”和“＋”，則可容易得到a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋b)． 正確的結(jié)論還有：(a*b)＋c＝(a*c)＋(b*c)，(a*b)＋c＝(b*a)＋c等．