2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.5.1 二項(xiàng)式定理學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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1．5.1　二項(xiàng)式定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理的特征及其展開式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題． 知識(shí)點(diǎn)　二項(xiàng)式定理 思考1　我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)(a＋b)3，(a＋b)4的展開式． 　 　 　 思考2　上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)？ 　 　 　 思考3　能用類比方法寫出(a＋b)n(n∈N*)的展開式嗎？ 　 　 梳理　二項(xiàng)式定理及其概念 (1)二項(xiàng)式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二項(xiàng)式定理，________________叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，它一共有________項(xiàng)． (2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) ____________叫做二項(xiàng)展開式的第r＋1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用Tr＋1表示，即Tr＋1＝____________. (3)二項(xiàng)式系數(shù) ________________________________________________________________________叫做第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)． 類型一　二項(xiàng)式定理的正用、逆用 引申探究 將本例(1)改為求(2x－)5的展開式．例1　(1)求(3＋)4的展開式． 　 　 　 　 (2)化簡(jiǎn)：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC. 　 　 　 　 反思與感悟　(1)(a＋b)n的二項(xiàng)展開式有n＋1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：①各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.②字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n. (2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想．注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開式的形式靠攏． 跟蹤訓(xùn)練1　化簡(jiǎn)(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1. 　 　 類型二　二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) 例2　已知二項(xiàng)式(3－)10. (1)求展開式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)； (2)求展開式第4項(xiàng)的系數(shù)； (3)求第4項(xiàng)． 　 　 　 反思與感悟　(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)C(r∈{0,1,2，…，n})，它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念． (2)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如，在(1＋2x)7的展開式中，第四項(xiàng)是T4＝C17－3(2x)3，其二項(xiàng)式系數(shù)是C＝35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23＝280. 跟蹤訓(xùn)練2　已知n展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162. (1)求n的值； (2)求展開式中含x3的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)． 　 　 　 　 　 例3　已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)． (1)求n； (2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)； (3)求展開式中所有的有理項(xiàng)． 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常見題型 ①求第r項(xiàng)，Tr＝Can－r＋1br－1；②求含xr的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng)． (2)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法 ①對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))． ②對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解． ③對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)若9的展開式中x3的系數(shù)是－84，則a＝________. (2)已知n為等差數(shù)列－4，－2,0，…的第六項(xiàng)，則(x＋)n的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)是________． 1．(x＋2)8的展開式中x6的系數(shù)是________． 2．二項(xiàng)式(x＋)12的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第________項(xiàng)． 3．已知5的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a＝________. 4．化簡(jiǎn)：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＋1＝________. 5．求(＋)4的展開式． 　 　 　 　 1．求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)應(yīng)注意的問題 通項(xiàng)公式的主要作用是求展開式中的特殊項(xiàng)，常見的題型有：①求第r項(xiàng)；②求含xr(或xpyq)的項(xiàng)；③求常數(shù)項(xiàng)；④求有理項(xiàng)．其中求有理項(xiàng)時(shí)一般根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性來求解．另外，若通項(xiàng)中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以減少計(jì)算中的錯(cuò)誤． 2．二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別 二項(xiàng)式系數(shù)C與展開式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可以為負(fù)． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 思考1　(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4. 思考2　(a＋b)3的展開式有4項(xiàng)，每項(xiàng)的次數(shù)是3；(a＋b)4的展開式有5項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù)為4. 思考3　能，(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn (n∈N*)． 梳理　(1)右邊的多項(xiàng)式　n＋1 (2)Can－rbr　Can－rbr　(3)C(r＝0,1,2，…，n) 題型探究 例1　(1)解　方法一　(3＋)4＝ (3)4＋C(3)3()＋C(3)2()2＋C(3)()3＋C()4 ＝81x2＋108x＋54＋＋. 方法二　(3＋)4＝()4＝(1＋3x)4＝[1＋C3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2. (2)解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 引申探究 解　方法一　(2x－)5＝C(2x)5－ C(2x)4＋C(2x)3()2－ C(2x)2()3＋C(2x)()4－ C()5＝32x5－80x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝[(2x3－1)]5＝－(1－2x3)5＝－[1－C(2x3)＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－ C(2x3)5]＝－＋－＋－80x2＋32x5. 跟蹤訓(xùn)練1　解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 例2　解　(3－)10的展開式的通項(xiàng)是 Tr＋1＝C(3)10－r(－)r ＝C310－r(－)r(r＝0,1,2，…，10)． (1)展開式的第4項(xiàng)(r＝3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C＝120. (2)展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為 C37(－)3＝－77 760. (3)展開式的第4項(xiàng)為T4＝T3＋1 ＝－77 760. 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)因?yàn)門3＝C()n－22＝4C， T2＝C()n－1＝－2C， 依題意，得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)設(shè)第r＋1項(xiàng)含x3項(xiàng)，則Tr＋1＝C()9－rr＝(－2)rC，所以＝3，r＝1， 所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)，T2＝－2Cx3＝－18x3. 二項(xiàng)式系數(shù)為C＝9. 例3　解　通項(xiàng)公式為 Tr＋1＝C (－3)r＝C(－3)r. (1)∵第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， ∴當(dāng)r＝5時(shí)，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得r＝(n－6)＝2， ∴所求的系數(shù)為C(－3)2＝405. (3)由題意，得令 ＝t(t∈Z)， 則10－2r＝3t，即r＝5－t. ∵r∈Z， ∴t應(yīng)為偶數(shù)． 令t＝2,0，－2，即r＝2,5,8. ∴第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，－61 236,295 245x－2. 跟蹤訓(xùn)練3　(1)1 解析　展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx9－r(－a)rr＝C(－a)rx9－2r(0≤r≤9，r∈N)．當(dāng)9－2r＝3時(shí)，解得r＝3，代入得x3的系數(shù)，根據(jù)題意得C(－a)3＝－84，解得a＝1. (2)160 解析　由題意得n＝6，∴Tr＋1＝2rCx6－2r，令6－2r＝0得r＝3，∴常數(shù)項(xiàng)為C23＝160. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．112　2.9　3.－6　4.x5 5．解　(＋)4＝C()4＋C()3＋C()2()2＋C()3＋ C()4＝x2＋4x＋6＋＋.