高考數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)練系列 推理與證明教案 蘇教版

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1、考綱導(dǎo)讀 推理與證明 （一）合情推理與演繹推理 1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。 2．了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理。 3．了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。 （二）直接證明與間接證明 1．了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。 2．了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)。 （三）數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. 高考導(dǎo)航 1．推理與證明的內(nèi)容是

2、高考的新增內(nèi)容，主要以選擇填空的形式出現(xiàn)。 2．推理與證明與數(shù)列、幾何、等有關(guān)內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多。 第1課時(shí) 合情推理與演繹推理 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 1. 推理一般包括合情推理和演繹推理； 2.合情推理包括 和 ； 歸納推理：從個(gè)別事實(shí)中推演出 ，這樣的推理通常稱為歸納推理；歸納推理的思維過(guò)程是： 、 、 . 類比推理：根據(jù)兩個(gè)（或兩類）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉? 或 ，這樣的

3、推理稱為類比推理，類比推理的思維過(guò)程是： 、 、 . 3.演繹推理：演繹推理是 ，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的 推理過(guò)程；三段論常用格式為：①M(fèi)是P，② ，③S是P；其中①是 ，它提供了一個(gè)個(gè)一般性原理；②是 ，它指出了一個(gè)個(gè)特殊對(duì)象；③是 ，它根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷. 4.合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推

4、理過(guò)程，歸納和類比是合情推理常用的思維方法；在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有得于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到的新結(jié)論的推理過(guò)程． 典型例題 例1. 已知：； 通過(guò)觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題： ________________________________________=（ * ）并給出（ * ）式的證明. 解：一般形式: 證明：左邊 = = = = = （將一般形式寫成 等均正確。） 變式訓(xùn)練1：設(shè)，，n∈N，則 解：

5、，由歸納推理可知其周期是4 例2. 在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下的一個(gè)直角三角形， 按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有： 設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O—LMN，如果用表示三個(gè)側(cè)面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結(jié)論是 . 解：。 變式訓(xùn)練2：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，則△ABC的外接圓的半徑，把上面的結(jié)論推廣到空間，寫出相類似的結(jié)論。 答案：本題是“由平面向空間類比”?？紤]到平面中的圖形是一個(gè)直角三角形，

6、所以在空間中我們可以選取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體來(lái)考慮。 取空間中有三條側(cè)棱兩兩垂直的四面體A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c， 則此三棱錐的外接球的半徑是。 例3. 請(qǐng)你把不等式“若是正實(shí)數(shù)，則有”推廣到一般情形，并證明你的結(jié)論。 答案： 推廣的結(jié)論：若 都是正數(shù)， 證明： ∵都是正數(shù) ∴ ， ………，， 變式訓(xùn)練3：觀察式子：，…，則可歸納出式子為（ ） A、 B、 C、 D、 答案：C。解析：用n=2代入選項(xiàng)判斷。 例4. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線 平面，直

7、線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)? （ ） 答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內(nèi)所有直線。 變式訓(xùn)練4：“AC,BD是菱形ABCD的對(duì)角線，AC,BD互相垂直且平分?！毖a(bǔ)充以上推理的大前提是 。 答案：菱形對(duì)角線互相垂直且平分 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 第2課時(shí) 直接證明與間接證明⑴ 1.直接證明：直接從原命題的條件逐步推得結(jié)論成立,這種證明方法叫直接證明； 直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法 ⑴ 綜合法 —— ；⑵分析法 ——

8、 ；T 2. 間接證明：間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法；反證法即從 開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正確的推理，說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）. 典型例題 例1．若均為實(shí)數(shù)，且。 求證：中至少有一個(gè)大于0。 答案：（用反證法） 假設(shè)都不大于0，即，則有， 而 = ∴均大于或等于0，，∴，這與假設(shè)矛盾，故中至少有一個(gè)大于0。 變式訓(xùn)練1：用反證法證明命題“可以被5整除，那么中至少有一個(gè)能被5整除。”那么假設(shè)的內(nèi)容是 答案：a,b中沒(méi)有一個(gè)能被5整

9、除。解析：“至少有n個(gè)”的否定是“最多有n-1個(gè)”。 例2. △ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列， 求證：。 答案：證明：要證，即需證。 即證。 又需證，需證 ∵△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列?！郆=60°。 由余弦定理，有，即。 ∴成立，命題得證。 變式訓(xùn)練2：用分析法證明：若a>0，則。 答案：證明：要證， 只需證。 ∵a>0，∴兩邊均大于零，因此只需證 只需證， 只需證，只需證， 即證，它顯然成立?！嘣坏仁匠闪ⅰ? 例3．已知數(shù)列，，，． 記．． 求證：當(dāng)時(shí)， （1）； （2）； （3）。 解：（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明． ①當(dāng)時(shí)

10、，因?yàn)槭欠匠痰恼?，所以? ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)? ， 所以． 即當(dāng)時(shí)，也成立． 根據(jù)①和②，可知對(duì)任何都成立． （2）證明：由，（）， 得． 因?yàn)?，所以? 由及得， 所以． （3）證明：由，得 所以， 于是， 故當(dāng)時(shí)，， 又因?yàn)椋? 所以． 推理與證明章節(jié)測(cè)試題 1.考察下列一組不等式： .將上述不等式在左右兩端仍為兩項(xiàng)和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是 . 2． 已知數(shù)列滿足，（），則的值為 ， 的值為

11、 ． 3. 已知 ，猜想的表達(dá)式為（ ） A.； B.； C.； D.. 4. 某紡織廠的一個(gè)車間有技術(shù)工人名（），編號(hào)分別為1、2、3、……、，有臺(tái)（）織布機(jī)，編號(hào)分別為1、2、3、……、，定義記號(hào)：若第名工人操作了第號(hào)織布機(jī)，規(guī)定，否則，則等式的實(shí)際意義是（ ） A、第4名工人操作了3臺(tái)織布機(jī)； B、第4名工人操作了臺(tái)織布機(jī)； C、第3名工人操作了4臺(tái)織布機(jī)； D、第3名工人操作了臺(tái)織布機(jī). 5. 已知，計(jì)算得，，，，，由此推測(cè)：當(dāng)時(shí)，有 …… 6. 觀察下

12、圖中各正方形圖案，每條邊上有個(gè)圓圈，每個(gè)圖案中圓圈的總數(shù)是，按此規(guī)律推出：當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系式 7. 觀察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，則可得出一般結(jié)論： . 由下表定義： 若，，，則 ． 9.在一次珠寶展覽會(huì)上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構(gòu)成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構(gòu)成如圖2所

13、示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構(gòu)成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構(gòu)成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構(gòu)成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應(yīng)有_______顆珠寶;則前件首飾所用珠寶總數(shù)為_(kāi) 顆.(結(jié)果用表示) 圖1 圖2 圖3 圖4 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 3 5 7 第2行 15 13 11 9 第3行 17 19 21 23 …… …… 27 25 那

14、么2003應(yīng)該在第 行，第 列。 11． 如右上圖，一個(gè)小朋友按如圖所示的規(guī)則練習(xí)數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，3中指，4無(wú)名指，5小指，6無(wú)名指，，一直數(shù)到2008時(shí)，對(duì)應(yīng)的指頭是 (填指頭的名稱). 12.在數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25項(xiàng)為_(kāi)____． 13．觀察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第n個(gè)圖中有 個(gè)小正方形. 14．同樣規(guī)格的黑、白兩色正方形瓷磚鋪設(shè)的若干圖案，則按此規(guī)律第n個(gè)圖案中需用黑色瓷磚___________塊．（用含n

15、的代數(shù)式表示） 15.如圖所示，面積為的平面凸四邊形的第條邊的邊長(zhǎng)記為，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)到第條邊的距離記為，若，則.類比以上性質(zhì),體積為的三棱錐的第個(gè)面的面積記為, 此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到第個(gè)面的距離記為,若, 則 ( B ) A. B. C. D. 內(nèi)一點(diǎn)，三邊上的高分別為，O到三邊的距離依次為，則__ _______，類比到空間，O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，四頂點(diǎn)到對(duì)面的距離分別為，O到這四個(gè)面的距離依次為，則有_ __ 17．在中，兩直角邊分別為、，設(shè)為斜邊上的高，則，由此類比：三棱錐中的三

16、條側(cè)棱、、兩兩垂直，且長(zhǎng)度分別為、、，設(shè)棱錐底面上的高為，則 ． 18、若數(shù)列是等差數(shù)列，對(duì)于，則數(shù)列也是等差數(shù)列。類比上述性質(zhì)，若數(shù)列是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于，則= 時(shí)，數(shù)列也是等比數(shù)列。 19．已知△ABC三邊a，b，c的長(zhǎng)都是整數(shù)，且，如果b＝m（mN*），則這樣的三角形共有 個(gè)（用m表示）． 20．如圖的三角形數(shù)陣中，滿足：（1）第1行的數(shù)為1；（2）第n（n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加．則第n行(n≥2)中第2個(gè)數(shù)是________（用n表示）. 21．在△ABC中，，判斷△ABC的

17、形狀并證明. 22．已知a、b、cax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根.應(yīng)假設(shè) 23.中，已知，且，求證：為等邊三角形。 24．如圖，、、…、 是曲線：上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）． （1）寫出、、； （2）求出點(diǎn)（）的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式并證明.推理與證明章節(jié)測(cè)試題答案 1. 3． 3. B. 4. A 5. 6. 7. 9. 10.251,3 12． 食指 12.在數(shù)列1，2，2

18、，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25項(xiàng)為_(kāi)_7____． 13． 14． 15、B提示:平面面積法類比到空間體積法 16． 1. 提示：平面面積法類比到空間體積法 17．． 18、提示：等差數(shù)列類比到等比數(shù)列，算術(shù)平均數(shù)類比到幾何平均數(shù) 19． 20． 21．解: 所以三角形ABC是直角三角形 22． 三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根 證明：假設(shè)三個(gè)方程中都沒(méi)有兩個(gè)相異實(shí)根， 則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0. 相加有a2－2ab+b2+b2

19、－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0， （a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ① 由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立. ∴假設(shè)不成立，即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根. 方法總結(jié)：反證法步驟—假設(shè)結(jié)論不成立→推出矛盾→假設(shè)不成立. 凡是“至少”、“唯一”或含有否定詞的命題適宜用反證法. 23.解: 分析：由 由 所以為等邊三角形 24.如圖，、、…、 是曲線：上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標(biāo)原點(diǎn)）． （1）寫出、、； （2）求出點(diǎn)（）的 橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式并證明. 解:（Ⅰ）……………….6分 （2）依題意，得，由此及得 ， 即． 由（Ⅰ）可猜想：． 下面用數(shù)學(xué)歸納法予以證明： （1）當(dāng)時(shí)，命題顯然成立； （2）假定當(dāng)時(shí)命題成立，即有，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)及 得，即 ， 解之得 （不合題意，舍去）， 即當(dāng)時(shí)，命題成立． 由（1）、（2）知：命題成立．……………….10分