2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)分析與突破性講練 專(zhuān)題42 不等式選講 理.doc

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專(zhuān)題42 不等式選講 一、考綱要求： 1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R). 2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c. 3.通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． 二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)： 1.解絕對(duì)值不等式的基本方法 (1)利用絕對(duì)值的定義，通過(guò)分類(lèi)討論，用零點(diǎn)分段法轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式，零點(diǎn)分段法的操作程序是：找零點(diǎn)，分區(qū)間，分段討論； (2)當(dāng)不等式兩端均非負(fù)時(shí)，可通過(guò)兩邊平方的方法轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式； (3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解． 2.作差比較法證明不等式的步驟：(1）作差；(2）變形；(3）判斷差的符號(hào)；(4）下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù). 3.綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵. 4.分析法證明不等式的注意事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤地作為“逆推”，分析法的過(guò)程僅需要尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”“只需證”這樣的連接“關(guān)鍵詞”. 三、高考考題題例分析 例1.（2018全國(guó)卷I）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）＞x成立，求a的取值范圍． 【答案】（1）（，+∞）；（2）0，2] 【解析】：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=， 由f（x）＞1， ∴或， 解得x＞， 故不等式f（x）＞1的解集為（，+∞）， 例2.（2018全國(guó)卷II）設(shè)函數(shù)f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范圍． 【答案】（1）[﹣2，3]；（2）[﹣6，2] 【解析】：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=． 當(dāng)x≤﹣1時(shí)，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1， 當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2， 當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3， 綜上所述不等式f（x）≥0的解集為[﹣2，3]， 例3.（2018全國(guó)卷III）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x﹣1|． （1）畫(huà)出y=f（x）的圖象； （2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】：（1）當(dāng)x≤﹣時(shí)，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x， 當(dāng)﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2， 當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x， 則f（x）=對(duì)應(yīng)的圖象為： 畫(huà)出y=f（x）的圖象； 例10.(2016全國(guó)卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝＋，M為不等式f(x)＜2的解集． (1)求M； (2)證明：當(dāng)a，b∈M時(shí)，|a＋b|＜|1＋ab|. 【答案】(1) M＝{x|－1＜x＜1}；(2)見(jiàn)解析 不等式選講練習(xí)題 1．已知|2x－3|≤1的解集為[m，n]． (1)求m＋n的值； (2)若|x－a|＜m，求證：|x|＜|a|＋1. 【答案】(1) m＋n＝3；(2)見(jiàn)解析 2．已知函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值為a. (1)求實(shí)數(shù)a的值； (2)解不等式f(x)≤5. 【答案】(1) a＝2；(2) 【解析】：　(1)f(x)＝|x－4|＋|x－a|≥|a－4|＝a，從而解得a＝2. (2)由(1)知，f(x)＝|x－4|＋|x－2| ＝ 故當(dāng)x≤2時(shí)，令－2x＋6≤5，得≤x≤2， 當(dāng)24時(shí)，令2x－6≤5，得40)． (1)證明：f(x)≥2； (2)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥5的解集． 【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－1|－|2x＋1|的最大值為m. (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)若a2＋2c2＋3b2＝m，求ab＋2bc的最大值． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】：　(1)f(x)＝ 畫(huà)出圖象如圖， 6．已知函數(shù)f(x)＝(a≠0)． (1)求函數(shù)f(x)的定義域； (2)若當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，不等式f(x)≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【答案】(1) ；(2) －1≤a≤5且a≠0. 【解析】：　(1)|ax－2|≤4?－4≤ax－2≤4?－2≤ax≤6， 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? (2)f(x)≥1?|ax－2|≤3，記g(x)＝|ax－2|， 因?yàn)閤∈[0,1]， 所以只需??－1≤a≤5， 又a≠0，所以－1≤a≤5且a≠0. 7.已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集； (2)設(shè)g(x)＝－|x＋7|＋3m，若關(guān)于x的不等式f(x)2或x<－1}；(2) (3，＋∞) 8.已知函數(shù)f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1|. (1)證明：f(x)≥； (2)若f(4)<13，求a的取值范圍． 【答案】(1)見(jiàn)解析 ；(2) (－2,3)． 【解析】：　(1)證明：f(x)＝|x＋a2|＋|x－a－1| ≥|(x＋a2)－(x－a－1)| ＝|a2＋a＋1| ＝＋≥. (2)因?yàn)閒(4)＝|a2＋4|＋|a－3|＝ 所以f(4)<13?或 解得－2a＋b 【解析】：　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1， 解得00. 故ab＋1>a＋b. 12．已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x－1|. (1)若f(x)≥|m－1|恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值M； (2)在(1)成立的條件下，正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a2＋b2＝M，證明：a＋b≥2ab. 【答案】(1) m的最大值M＝2.；(2)見(jiàn)解析 13．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值． 【答案】 【解析】：　由柯西不等式得 (4＋4＋1)[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， ∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2] ≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥， 當(dāng)且僅當(dāng)＝＝c－3時(shí)等號(hào)成立， ∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是. 14．已知函數(shù)f(x)＝k－|x－3|，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集為[－1,1]． (1)求k的值； (2)若a，b，c是正實(shí)數(shù)，且＋＋＝1. 求證：a＋2b＋3c≥9. 【答案】(1) k＝1；(2)見(jiàn)解析 15．已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|. (1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M； (2)設(shè)a，b∈M，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b). 【答案】(1) M＝{x|x＜－1或x＞1}； (2)見(jiàn)解析 【解析】：　(1)①當(dāng)x≤－1時(shí)，原不等式可化為－x－1＜－2x－2，解得x＜－1； ②當(dāng)－1＜x＜－時(shí)，原不等式可化為x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此時(shí)原不等式無(wú)解； ③當(dāng)x≥－時(shí)，原不等式可化為x＋1＜2x，解得x＞1. 綜上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．