（通用版）2019版高考數學二輪復習 第一部分 第一層級 基礎送分 專題二 平面向量講義 理（普通生含解析）.doc
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基礎送分專題二 平面向量 平面向量的基本運算 [題組練透] 1．(2018全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝( ) A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：選A 法一：作出示意圖如圖所示． ＝＋＝ ＋ ＝(＋)＋(－) ＝－.故選A. 法二：不妨設△ABC為等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如圖所示的平面直角坐標系， 則A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)， D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)， ＝(1,0)－＝， 即＝－. 2．已知平面內不共線的四點O，A，B，C滿足＝＋，則||∶||＝( ) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶2 D．2∶1 解析：選D 由＝＋，得－＝2(－)，即＝2，所以||∶||＝2∶1，故選D. 3．(2018全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則 λ＝________. 解析：2a＋b＝(4,2)，因為c∥(2a＋b)， 所以4λ＝2，解得λ＝. 答案： 4．(2018太原模擬)在正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若＝λ＋μ，則實數λ＋μ＝________. 解析：如圖，∵＝＋＝＋＝＋，① ＝＋＝＋， ② 由①②得＝－，＝－， ∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋， ∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝. 答案： [題后悟通] 快審題 1.看到向量的線性運算，想到三角形和平行四邊形法則． 2.看到向量平行，想到向量平行的條件． 準 解 題 記牢向量共線問題的4個結論 (1)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0. (2)直線的向量式參數方程：A，P，B三點共線?＝(1－t) ＋t (O為平面內任一點，t∈R). (3) ＝λ＋μ (λ，μ為實數)，若A，B，C三點共線，則λ＋μ＝1. (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1，當且僅當x2y2≠0時，a∥b?＝. 平面向量的數量積 [題組練透] 1．(2018全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，ab＝－1，則a(2a－b)＝( ) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：選B a(2a－b)＝2a2－ab＝2|a|2－ab. ∵|a|＝1，ab＝－1，∴原式＝212＋1＝3. 2．已知向量m＝(t＋1,1)，n＝(t＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，則t＝( ) A．0 B．－3 C．3 D．－1 解析：選B 法一：由(m＋n)⊥(m－n)可得(m＋n)(m－n)＝0， 即m2＝n2，故(t＋1)2＋1＝(t＋2)2＋4，解得t＝－3. 法二：m＋n＝(2t＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， ∵(m＋n)⊥(m－n)，∴－(2t＋3)－3＝0，解得t＝－3. 3．在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝6，點D在邊AC上，且2＝，則的值是( ) A．48 B．24 C．12 D．6 解析：選B 法一：由題意得，＝0，＝(－)＝||2＝36，∴＝(＋)＝＝0＋36＝24. 法二：(特例法)若△ABC為等腰直角三角形，建立如圖所示的平面直角坐標系， 則A(6,0)，C(0,6)． 由2＝，得D(4,2)． ∴＝(6,0)(4,2)＝24. 4.(2018貴陽摸底考試)如圖，在邊長為1的正方形組成的網格中，平行四邊形ABCD的頂點D被陰影遮住，找出D點的位置，則的值為( ) A．10 B．11 C．12 D．13 解析：選B 以點A為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，根據四邊形ABCD為平行四邊形，可以得到D(2,3)，所以＝(4,1)(2,3)＝8＋3＝11.故選B. 5．(2019屆高三益陽、湘潭調研)已知非零向量a，b滿足ab＝0，|a＋b|＝t|a|，若a＋b與a－b的夾角為，則t的值為________． 解析：因為ab＝0，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.又|a＋b|＝t|a|，所以|a－b|＝|a＋b|＝t|a|.因為a＋b與a－b的夾角為，所以＝cos，整理得＝，即(2－t2)|a|2＝2|b|2.又|a＋b|＝t|a|，平方得|a|2＋|b|2＝t2|a|2，所以|a|2＋＝t2|a|2，解得t2＝.因為t>0，所以t＝. 答案： 6．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.邊DC上的動點P(包含點D，C)與CB延長線上的動點Q(包含點B)滿足||＝||，則的最小值為________． 解析：以點A為坐標原點，分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系， 設P(x,1)，Q(2，y)， 由題意知0≤x≤2，－2≤y≤0. ∵||＝||， ∴|x|＝|y|，∴x＝－y. ∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)， ∴＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋， ∴當x＝時，取得最小值，為. 答案： [題后悟通] 快審題 1.看到向量垂直，想到其數量積為零． 2.看到向量的模與夾角，想到向量數量積的有關性質和公式． 3.看到向量中的最值問題時，想到向量不等式、幾何意義，甚至建立坐標系構造函數關系求最值． 用妙法 特例法妙解圖形中平面向量數量積問題 解答有關圖形中的平面向量數量積問題，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐標系，求得相關點坐標計算求解(如第3題可取△ABC為等腰直角三角形建系)． 避誤區(qū) 兩個向量夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問題時要特別注意兩個向量夾角可能是0或π的情況，如已知兩個向量的夾角為鈍角時，不僅要求其數量積小于零，還要求不能反向共線. 一、選擇題 1．設a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，則實數k的值等于( ) A．－ B．－ C. D. 解析：選A 因為c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)， 又b⊥c，所以1(1＋k)＋1(2＋k)＝0，解得k＝－. 2．已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，則向量a，b的夾角的余弦值為( ) A. B．－ C. D．－ 解析：選C 因為向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,2)，所以b＝(2,0)， 則向量a，b的夾角的余弦值為＝. 3．已知在平面直角坐標系中，點A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，則點C的坐標為( ) A．(11,8) B．(3,2) C．(－11，－6) D．(－3,0) 解析：選C 設C(x，y)，∵在平面直角坐標系中，點A(0,1)，向量＝(－4，－3)，＝(－7，－4)，∴＝＋＝(－11，－7)，∴解得x＝－11，y＝－6，故C(－11，－6)． 4．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點，則＝( ) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：選B 因為＝－2，所以＝2.又M是BC的中點，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋. 5．(2019屆高三武漢調研)設非零向量a，b滿足|2a＋b|＝|2a－b|，則( ) A．a⊥b B．|2a|＝|b| C．a∥b D．|a|<|b| 解析：選A 法一：∵|2a＋b|＝|2a－b|，∴(2a＋b)2＝(2a－b)2，化簡得ab＝0， ∴a⊥b，故選A. 法二：記c＝2a，則由|2a＋b|＝|2a－b|得|c＋b|＝|c－b|，由平行四邊形法則知，以向量c，b為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，∴該四邊形為矩形，故c⊥b，即a⊥b，故選A. 6．已知＝(2,1)，點C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為( ) A．－ B．－3 C. D．3 解析：選C 因為點C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為||cos〈，〉＝＝＝. 7．已知a和b是非零向量，m＝a＋tb(t∈R)，若|a|＝1，|b|＝2，當且僅當t＝時，|m|取得最小值，則向量a，b的夾角θ為( ) A. B. C. D. 解析：選C 由m＝a＋tb，及|a|＝1，|b|＝2，得|m|2＝(a＋tb)2＝4t2＋4tcos θ＋1＝(2t＋cos θ)2＋sin2θ，由題意得，當t＝時，cos θ＝－，則向量a，b的夾角θ為，故選C. 8．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F為BC的三等分點，則＝( ) A. B. C. D. 解析：選B 由|＋|＝|－|知⊥，以A為坐標原點，，的方向分別為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，則A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，不妨設E，F，則＝＝＋＝. 9．已知在平面直角坐標系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，P2，P3三點共線且向量與向量a＝(1，－1)共線，若＝λ＋(1－λ) ，則λ＝( ) A．－3 B．3 C．1 D．－1 解析：選D 設＝(x，y)，則由∥a，知x＋y＝0，于是＝(x，－x)． 若＝λ＋(1－λ)，則有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)， 即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1. 10．(2018蘭州診斷考試)在△ABC中，M是BC的中點，AM＝1，點P在AM上且滿足＝2，則(＋)等于( ) A．－ B．－ C. D. 解析：選A 如圖，∵＝2，∴＝＋， ∴(＋)＝－2， ∵AM＝1且＝2，∴||＝， ∴(＋)＝－. 11．(2019屆高三南寧摸底聯(lián)考)已知O是△ABC內一點，＋＋＝0，＝2且∠BAC＝60，則△OBC的面積為( ) A. B. C. D. 解析：選A ∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC. ∵＝2，∴||||cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60， ∴||||＝4.∴S△ABC＝||||sin∠BAC＝，∴△OBC的面積為. 12．(2018南昌調研)已知A，B，C是圓O：x2＋y2＝1上的動點，且AC⊥BC，若點M的坐標是(1,1)，則|＋＋|的最大值為( ) A．3 B．4 C．3－1 D．3＋1 解析：選D 法一：∵A，B，C是圓O：x2＋y2＝1上的動點，且AC⊥BC， ∴設A(cos θ，sin θ)，B(－cos θ，－sin θ)，C(cos α，sin α)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π， ∵M(1,1)，∴＋＋＝(cos θ－1，sin θ－1)＋(－cos θ－1，－sin θ－1)＋(cos α－1，sin α－1)＝(cos α－3，sin α－3)， ∴|＋＋|＝ ＝ ＝ ， 當且僅當sin＝－1時，|＋＋|取得最大值，最大值為＝3＋1. 法二：連接AB，∵AC⊥BC，∴AB為圓O的直徑， ∴＋＝2， ∴|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||， 易知點M與圓上動點C的距離的最大值為＋1， ∴||≤＋1，∴|＋＋|≤3＋1，故選D. 二、填空題 13．(2018濰坊統(tǒng)一考試)已知單位向量e1，e2，且〈e1，e2〉＝，若向量a＝e1－2e2，則|a|＝________. 解析：因為|e1|＝|e2|＝1，〈e1，e2〉＝，所以|a|2＝|e1－2e2|2＝1－4|e1||e2|cos＋4＝1－411＋4＝3，即|a|＝. 答案： 14．已知a，b是非零向量，f(x)＝(ax＋b)(bx－a)的圖象是一條直線，|a＋b|＝2，|a|＝1，則f(x)＝________. 解析：由f(x)＝abx2－(a2－b2)x－ab的圖象是一條直線，可得ab＝0.因為|a＋b|＝2，所以a2＋b2＝4. 因為|a|＝1，所以a2＝1，b2＝3，所以f(x)＝2x. 答案：2x 15．在△ABC中，N是AC邊上一點且＝，P是BN上一點，若＝m＋，則實數m的值是________． 解析：如圖，因為＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因為B，P，N三點共線，所以m＋＝1，則m＝. 答案： 16．(2019屆高三唐山五校聯(lián)考)在△ABC中，(－3)⊥，則角A的最大值為________． 解析：因為(－3)⊥，所以(－3)＝0，即(－3)(－)＝0，則2－4＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，當且僅當||＝||時等號成立．因為0
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