2019年高考數(shù)學(xué) 考點分析與突破性講練 專題18 等差數(shù)列 理.doc

專題18 等差數(shù)列一、 考綱要求：1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系二、概念掌握及解題上的注意點： 1.(解決等差數(shù)列運算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”.(2)整體思想：當(dāng)所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì)：運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程. 2. 等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法：an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列.可用來判定與證明.(2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列.可用來判定與證明.(3)通項公式：anpnq(p，q為常數(shù))an是等差數(shù)列.(4)前n項和公式：SnAn2Bn(A，B為常數(shù))an是等差數(shù)列.三、高考考題題例分析： 例1.（2018課標(biāo)卷I） 記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=（）A12B10C10D12【答案】B【解析】：Sn為等差數(shù)列an的前n項和，3S3=S2+S4，a1=2，=a1+a1+d+4a1+d，把a1=2，代入得d=3a5=2+4（3）=10故選：B例2.（2018課標(biāo)卷II）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【答案】（1）an=2n9；（2）16例3.（2018北京卷）設(shè)an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則an的通項公式為【答案】an=6n3【解析】：an是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，解得a1=3，d=6，an=a1+（n1）d=3+（n1）6=6n3an的通項公式為an=6n3故答案為：an=6n3例4.（2018上海卷）記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a3=0，a6+a7=14，則S7=【答案】14【解析】解：等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a3=0，a6+a7=14，解得a1=4，d=2，S7=7a1+=28+42=14故答案為：14例5.(2017課標(biāo)I)記為等差數(shù)列的前項和若，則的公差為A1B2C4D8【答案】C例6.(2017浙江)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4 + S6>2S5”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】：由，可知當(dāng)，則，即，反之，所以為充要條件，選C例7.(2016高考新課標(biāo)1)已知等差數(shù)列前9項的和為27,則（）（A）100 （B）99 （C）98 （D）97【答案】C【解析】：由已知,所以故選C.例8.(2017天津)已知為等差數(shù)列，前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（）求和的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和.【答案】 （1）.（2）.【解析】：根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項公式及前項和公式列方程求出等差數(shù)列首項和公差及等比數(shù)列的公比，寫出等差數(shù)列和等比孰劣的通項公式，利用錯位相減法求出數(shù)列的和，要求計算要準(zhǔn)確.（II）解：設(shè)數(shù)列的前項和為，由，有，故，上述兩式相減，得 得.所以，數(shù)列的前項和為.例9.(2016高考新課標(biāo)II)為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如（）求；（）求數(shù)列的前1 000項和【答案】（）， ；（）1893.試題解析：（）設(shè)的公差為，據(jù)已知有，解得所以的通項公式為（）因為所以數(shù)列的前項和為等差數(shù)列練習(xí)一、選擇題1等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S36，a30，則公差d等于 ()A1B1C2D2【答案】D【解析】:依題意得S33a26，即a22，故da3a22，故選D2在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6等于 ()A1B0C1D6【答案】B【解析】:由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a62a4a22240，選B3已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a78，a22，則數(shù)列an的公差d等于 ()A1B2C3D4【答案】C4已知等差數(shù)列an中，a111，a51，則an的前n項和Sn的最大值是 ()A15B20C26D30【答案】C【解析】:設(shè)數(shù)列an的公差為d，則d(a5a1)3，所以an113(n1)143n，令an143n0，解得n，所以Sn的最大值為S4411(3)26，故選C5.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，S1122，a412，若am30，則m ()A9B10C11D15【答案】B【解析】:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，依題意解得ama1(m1)d7m4030，m10.6.張邱建算經(jīng)卷上第22題為：今有女善織，日益功疾(注：從第2天起每天比前一天多織相同量的布)，第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計)，共織390尺布，則第2天織布的尺數(shù)為 ()ABCD【答案】A【解析】:由條件知該女子每天織布的尺數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列an，且a15，S30390，設(shè)公差為d，則305d390，解得d，則a2a1d，故選A7.在數(shù)列an中，若a11，a2，(nN*)，則該數(shù)列的通項為 ()AanBanCanDan【答案】A8.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若a1a3a53，則S5 ()A5B7C9D11【答案】A【解析】:a1a3a53a33a31，S55a35.9.等差數(shù)列an中，a1a3a539，a5a7a927，則數(shù)列an的前9項的和S9等于()A66B99C144D297【答案】B 【解析】:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)知a1a3a53a339，可得a313.由a5a7a93a727，可得a79，故S999，故選B10.設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若，則 ()A1B1C2D【答案】A【解析】:1. 11等差數(shù)列an中，a28，前6項的和S666，設(shè)bn，Tnb1b2bn，則Tn ()A1B1CD【答案】D12設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列an為“吉祥數(shù)列”已知等差數(shù)列bn的首項為1，公差不為0，若數(shù)列bn為“吉祥數(shù)列”，則數(shù)列bn的通項公式為()Abnn1Bbn2n1Cbnn1Dbn2n1【答案】B【解析】:設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d0)，k，因為b11，則nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得(4k1)dn(2k1)(2d)0.因為對任意的正整數(shù)n上式均成立，所以(4k1)d0，(2k1)(2d)0，解得d2，k，所以數(shù)列bn的通項公式為bn2n1.二、填空題13在等差數(shù)列an中，公差d，前100項的和S10045，則a1a3a5a99_.【答案】1014九章算術(shù)是我國第一部數(shù)學(xué)專著，下面有源自其中的一個問題：“今有金箠(chu)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問金箠重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問金箠重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的，則答案是_【答案】15斤【解析】:由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列，且a14，a52，則S515，故金箠重15斤15在等差數(shù)列an中，a17，公差為d，前n項和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n8時Sn取得最大值，則d的取值范圍為_. 【答案】【解析】:由題意，當(dāng)且僅當(dāng)n8時Sn有最大值，可得即解得1d.16設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，則正整數(shù)m的值為_【答案】5【解析】:因為等差數(shù)列an的前n項和為Sn，Sm12，Sm0，Sm13，所以amSmSm12，am1Sm1Sm3，數(shù)列的公差d1，amam1Sm1Sm15，即2a12m15，所以a13m.由Sm(3m)m10，解得正整數(shù)m的值為5.三、解答題17在等差數(shù)列an中，a11，a33.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列an的前k項和Sk35，求k的值【答案】(1)an1(n1)(2)32n；(2) k7.18.已知數(shù)列an中，a1，an2(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn(nN*)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列求數(shù)列an中的通項公式an.【解析】證明：因為an2(n2，nN*)，bn.所以n2時，bnbn11.又b1，所以數(shù)列bn是以為首項，1為公差的等差數(shù)列由(1)知，bnn，則an11.19已知等差數(shù)列的前三項依次為a,4,3a，前n項和為Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)設(shè)數(shù)列bn的通項公式bn，證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.【答案】(1) a2，k10. (2) Tn(2)證明：由(1)得Snn(n1)，則bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即數(shù)列bn是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn.20已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù). (1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由【解析】(1)證明：由題設(shè)知anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由題設(shè)知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列21已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn(an1)2，且an>0.(1)求a1，a2；(2)求an的通項公式；(3)令bn20an，求數(shù)列bn的前n項和Tn的最大值【答案】1); 2); 3)n=10,為最大【解析】:1)由a1=S1a1=1,a2=S2-S1a2=3; 2)bn=21-2n,Tn最大bn0,bn+1<0 n=10,Tn=T10=100為最大。22.已知數(shù)列的前項和為，且，成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和【答案】（1）；（2）（2）由得，