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專題檢測（十六） 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列
A組——“6＋3＋3”考點落實練
一、選擇題
1．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為( )
A．0.648 B．0.432
C．0.36 D．0.312
解析：選A 3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C0.62(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C0.62(1－0.6)＋0.63＝0.648.
2．小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設(shè)事件A＝“4個人去的景點不相同”，事件B＝“小趙獨自去一個景點”，則P(A|B)＝( )
A. B.
C. D.
解析：選A 小趙獨自去一個景點共有4333＝108種可能性，4個人去的景點不同的可能性有A＝4321＝24種，∴P(A|B)＝＝.
3．(2018全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)
0.5，所以p＝0.6.
4．若5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中的常數(shù)項為( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
解析：選D 令x＝1，可得a＋1＝2，a＝1，5的展開式中項的系數(shù)為(－1)3C22，x項的系數(shù)為C23，∴5的展開式中的常數(shù)項為(－1)3C22＋C23＝40.故選D.
5．(x2＋2x＋3y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為( )
A．60 B．180
C．520 D．540
解析：選D (x2＋2x＋3y)5可看作5個(x2＋2x＋3y)相乘，從中選2個y，有C種選法；再從剩余的三個括號里邊選出2個x2，最后一個括號選出x，有CC種選法，所以x5y2的系數(shù)為32CC2C＝540.
6．在平面區(qū)域{(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤4}內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足y≤x2的概率為( )
A. B.
C. D.
解析：選B 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中長方形OABC，其面積為24＝8，不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，其面積為x2dx＝x3＝，因此所求的概率P＝＝.
二、填空題
7．在(x2－4)5的展開式中，含x6的項為________．
解析：因為(x2－4)5的展開式的第r＋1項Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r，
令10－2r＝6，解得r＝2，
所以含x6的項為T3＝(－4)2Cx6＝160x6.
答案：160x6
8．已知在四棱錐PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，現(xiàn)在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則四棱錐OABCD的體積不小于的概率為________．
解析：當四棱錐OABCD的體積為時，設(shè)O到平面ABCD的距離為h，
則有22h＝，解得h＝.
如圖所示，在四棱錐PABCD內(nèi)作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH與底面ABCD的距離為.
因為PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，
又四棱錐PABCD與四棱錐PEFGH相似，
所以四棱錐OABCD的體積不小于的概率為P＝＝3＝3＝.
答案：
9．在一投擲竹圈套小玩具的游戲中，竹圈套住小玩具的全部記2分，竹圈只套在小玩具一部分上記1分，小玩具全部在竹圈外記0分．某人投擲100個竹圈，有50個竹圈套住小玩具的全部，25個竹圈只套在小玩具一部分上，其余小玩具全部在竹圈外，以頻率估計概率，則該人兩次投擲后得分ξ的數(shù)學期望是________．
解析：將“竹圈套住小玩具的全部”，“竹圈只套在小玩具一部分上”，“小玩具全部在竹圈外”分別記為事件A，B，C，則P(A)＝＝，P(B)＝P(C)＝＝.
某人兩次投擲后得分ξ的所有可能取值為0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝2＝，
P(ξ＝2)＝＋2＝，
P(ξ＝3)＝2＝，
P(ξ＝4)＝＝.
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
4
P
所以E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝.
答案：
三、解答題
10．(2019屆高三貴陽摸底考試)某高校學生社團為了解“大數(shù)據(jù)時代”下畢業(yè)生對就業(yè)情況的滿意度，對20名畢業(yè)生進行問卷計分調(diào)查(滿分100分)，得到如圖所示的莖葉圖，
(1)計算男生打分的平均分，觀察莖葉圖，評價男、女生打分的分散程度；
(2)從打分在80分以上的畢業(yè)生中隨機抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．
解：(1)男生打分的平均分為
(55＋53＋62＋65＋71＋70＋73＋74＋86＋81)＝69.
由莖葉圖知，女生打分比較集中，男生打分比較分散．
(2)∵打分在80分以上的畢業(yè)生有3女2男，
∴X的可能取值為1,2,3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
∴X的分布列為
X
1
2
3
P
E(X)＝1＋2＋3＝.
11．為調(diào)查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數(shù)量，現(xiàn)從某市大學生中隨機抽取300位同學進行調(diào)查，結(jié)果如下：
微信群數(shù)量
0至5個
6至10個
11至15個
16至20個
20個以上
合計
頻數(shù)
0
90
90
x
15
300
頻率
0
0.3
0.3
y
z
1
(1)求x，y，z的值；
(2)以這300人的樣本數(shù)據(jù)估計該市的總體數(shù)據(jù)且以頻率估計概率，若從全市大學生(數(shù)量很大)中隨機抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數(shù)超過15的人數(shù)，求X的分布列、數(shù)學期望和方差．
解：(1)由已知得0＋90＋90＋x＋15＝300，
解得x＝105，
所以y＝＝0.35，z＝＝0.05.
(2)依題意可知，微信群個數(shù)超過15的概率為P＝＝.
X的所有可能取值為0,1,2,3.依題意得，X～B.
所以P(X＝k)＝Ck3－k(k＝0,1,2,3)．
所以X的分布列為
X
0
1
2
3
P
所以E(X)＝3＝，
D(X)＝3＝.
12．在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：
(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．
(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率．
解：(1)由于從10件產(chǎn)品中任取3件的結(jié)果為C，
從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為CC，
那么從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.
所以隨機變量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
所以X的數(shù)學期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝.
(2)設(shè)“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)”為事件A，
“恰好取出1件一等品和2件三等品”為事件A1，
“恰好取出2件一等品”為事件A2，
“恰好取出3件一等品”為事件A3，
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3而P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
B組——大題專攻補短練
1．(2019屆高三阜陽質(zhì)檢)從某市的高一學生中隨機抽取400名同學的體重進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)估計從該市高一學生中隨機抽取一人，體重超過60 kg的概率；
(2)假設(shè)該市高一學生的體重X服從正態(tài)分布N(57，σ2)．
①利用(1)的結(jié)論估計該高一某個學生體重介于54～57 kg之間的概率；
②從該市高一學生中隨機抽取3人，記體重介于54～57 kg之間的人數(shù)為Y，利用(1)的結(jié)論，求Y的分布列及E(Y)．
解：(1)這400名學生中，體重超過60 kg的頻率為(0.04＋0.01)5＝，
由此估計從該市高一學生中隨機抽取一人，體重超過60 kg的概率為.
(2)①∵X～N(57，σ2)，
由(1)知P(X>60)＝，
∴P(X<54)＝，
∴P(54>，
所以要使水電站日利潤的期望值最大，該水電站應(yīng)安裝三臺發(fā)電機．
（通用版）2019版高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題檢測（十六）計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布列 理（普通生含解析）.doc
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