2019年高考數(shù)學 考點分析與突破性講練 專題30 圓的方程 理.doc

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專題30 圓的方程 一、考綱要求： 1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程. 2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 二、概念掌握和解題上注意點： 1. 求圓的方程的兩種方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程. (2)待定系數(shù)法： ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值. ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值. 2.與圓有關的最值問題的三種幾何轉化法 (1)形如μ＝形式的最值問題可轉化為動直線斜率的最值問題. (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉化為動直線截距的最值問題. (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題. 3.求與圓有關的軌跡問題的四種方法 (1）)直接法：直接根據(jù)題設給定的條件列出方程求解. (2）)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解. (3）)幾何法：利用圓的幾何性質得出方程求解. (4）)代入法(相關點法)：找出要求的點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式求解. 三、高考考題題例分析 例1.（2018天津卷） 已知圓x2+y2﹣2x=0的圓心為C，直線，（t為參數(shù)）與該圓相交于A，B兩點，則△ABC的面積為　　． 【答案】 　例2.（2018江蘇卷）在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y=2x上在第一象限內的點，B（5，0），以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D．若=0，則點A的橫坐標為　?。? 【答案】3 【解析】：設A（a，2a），a＞0， ∵B（5，0），∴C（，a）， 則圓C的方程為（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0． 聯(lián)立，解得D（1，2）． ∴=． 解得：a=3或a=﹣1． 又a＞0，∴a=3． 即A的橫坐標為3． 故答案為：3． 例3.(2015高考山東卷)一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（ ） （A）或 （B） 或 （C）或 （D）或 【答案】D 【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點 ，設反射光線所在直線的斜率為 ，則反身光線所在直線方程為： ，即：. 又因為光線與圓相切， 所以， , 整理： ，解得： ，或 ,故選D． 6．直線x－3y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦長為 (　　) A． B． C．4 D．3 【答案】A　 【解析】圓心(1,3)到直線的距離為＝，從而得所求弦長為2＝，故選A． 7．過點(1，－2)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點分別為A，B，則AB所在直線的方程為 (　　) A．y＝－ B．y＝－ C．y＝－ D．y＝－ 【答案】B　 【解析】圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為(1,0)，半徑為1， 以＝2為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1， 將兩圓的方程相減得AB所在直線的方程為2y＋1＝0，即y＝－. 8．在平面直角坐標系中，直線y＝x與圓O：x2＋y2＝1交于A，B兩點，α，β的始邊是x軸的非負半軸，終邊分別在射線OA和OB上，則tan(α＋β)的值為 (　　) A．－2 B．－ C．0 D．2 【答案】A　 【解析】由題可知tan α＝tan β＝，那么tan(α＋β)＝＝－2，故選A． 9．已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圓心在直線ax－by＋1＝0上，則ab的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 【答案】B　 10．設P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　) A．6　　 B．4 C．3　　　　 D．2 【答案】B　 【解析】如圖所示，圓心M(3，－1)與直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6，又圓的半徑為2，故所求最短距離為6－2＝4. 11．設P(x，y)是圓(x－2)2＋y2＝1上的任意一點，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為 (　　) A．6 B．25 C．26 D．36 【答案】D　 【解析】(x－5)2＋(y＋4)2表示點P(x，y)到點(5，－4)的距離的平方．點(5，－4)到圓心(2,0)的距離d＝＝5. 則點P(x，y)到點(5，－4)的距離最大值為6，從而(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為36. 12．過動點M作圓：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切線MN，其中N為切點，若|MN|＝|MO|(O為坐標原點)，則|MN|的最小值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B　 二、填空題 13．已知點M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是________． 【答案】x＋y－1＝0　 【解析】圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)， 則kCM＝＝1. ∵過點M的最短弦與CM垂直，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0. 14．在平面直角坐標系xOy中，以點(1,0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標準方程為__________． 【答案】(x－1)2＋y2＝2　 【解析】因為直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(2，－1)，所以圓心(1,0)到直線mx－y－2m－1＝0的最大距離為d＝＝，所以半徑最大時的半徑r＝，所以半徑最大的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝2. 15．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦長為2，則a＝________. 【答案】1 【解析】兩圓的方程作差易知公共弦所在的直線方程為y＝，如圖，由已知得|AC|＝，|OA|＝2， ∴|OC|＝＝1，∴a＝1. 16．一個圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長為2，則該圓的方程為________． 【答案】x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0 法二：設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線y＝x的距離為，∴r2＝＋7，即2r2＝(a－b)2＋14.① 由于所求圓與y軸相切，∴r2＝a2，② 又∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，∴a－3b＝0，③ 聯(lián)立①②③，解得或 故所求圓的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝9或(x－3)2＋(y－1)2＝9. 法三：設所求的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標為，半徑r＝. 在圓的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0. 故所求圓的方程為x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0. 22．已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝4，點O是坐標原點，直線l：y＝kx與圓C交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)直線l能否將圓C分割成弧長的比為的兩段??？ 若能，求出直線l的方程；若不能，請說明理由. 【答案】(1) (－∞，－)∪(，＋∞)； (2)見解析 (2)假設直線l將圓C分割成弧長的比為的兩段弧， 則劣弧所對的圓心角∠MCN＝90， 由圓C：x2＋(y－4)2＝4知圓心C(0,4)，半徑r＝2. 在Rt△MCN中， 可求弦心距d＝rsin 45＝， 故圓心C(0,4)到直線kx－y＝0的距離＝， ∴1＋k2＝8，k＝，經驗證k＝滿足不等式(*)， 故l的方程為y＝x. 因此，存在滿足條件的直線l，其方程為y＝x.