2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.5.2 二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用（一）學(xué)案 蘇教版選修2-3.doc

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1.5.2　二項式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解楊輝三角，會用楊輝三角求二項式乘方次數(shù)不大時的各項的二項式系數(shù).2.理解二項式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運用． 知識點　二項式系數(shù)的性質(zhì) (a＋b)n的展開式的二項式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式： 思考1　從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？ 　 　 　 思考2　計算每一行的系數(shù)和，你又能看出什么規(guī)律？ 　 　 思考3　二項式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？ 　 　 梳理　(1)二項式系數(shù)表的特點 ①在同一行中，每行兩端都是________，與這兩個1等距離的項的系數(shù)________． ②每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和． (2)二項式系數(shù)的性質(zhì) 一般地，(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)C，C，…，C有如下性質(zhì)： ①C＝________； ②C＋C＝________； ③當(dāng)r＜時，C＜________； 當(dāng)r＞時，________＜C； ④C＋C＋C＋…＋C＝________. 類型一　與二項式系數(shù)表有關(guān)的問題 例1　如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項和為Sn，求S16的值． 　 　 　 　 　 反思與感悟　對楊輝三角形的規(guī)律注意觀察，找出規(guī)律并用數(shù)學(xué)式正確表達出來，對數(shù)學(xué)式進行運算，得出正確結(jié)論． 跟蹤訓(xùn)練1　請觀察下圖，并根據(jù)數(shù)表中前五行的數(shù)字所反映的規(guī)律，推算出第九行正中間的數(shù)應(yīng)是________． 類型二　求展開式的系數(shù)和 例2　設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　二項展開式中系數(shù)和的求法 (1)對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)， 奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝， 偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝. 跟蹤訓(xùn)練2　在二項式(2x－3y)9的展開式中，求： (1)二項式系數(shù)之和； (2)各項系數(shù)之和； (3)所有奇數(shù)項系數(shù)之和． 　 　 1．在(2x＋)4的展開式中，各項的二項式系數(shù)的和為________． 2．若(x＋3y)n的展開式中所有項的系數(shù)之和等于(7a＋b)10的展開式的二項式系數(shù)之和，則n的值為________． 3．觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是________． 4．設(shè)(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為________． 5．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，則log2(a1＋a3＋…＋a11)＝________. 用賦值法求多項式系數(shù)和 求展開式中的系數(shù)或展開式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來確定． 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識點 思考1　在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和． 思考2　2,4,8,16,32,64，…，其系數(shù)和為2n. 思考3　當(dāng)n＝2,4,6時，中間一項最大，當(dāng)n＝3,5時中間兩項最大． 梳理　(1)①1　相等　(2)①C ②C?、跜　C　④2n 題型探究 例1　解　由題意及楊輝三角的特點可得 S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(2＋3＋…9) ＝C＋＝164. 跟蹤訓(xùn)練1　70 例2　解　(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100. (2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，① ∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1，可得 a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.② 與①聯(lián)立相減，得 a1＋a3＋…＋a99 ＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1. (5)∵Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr， ∴a2k－1<0(k∈N*)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 跟蹤訓(xùn)練2　解　設(shè)(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二項式系數(shù)之和為C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各項系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1， 所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)令x＝1，y＝－1，可得 a0－a1＋a2－…－a9＝59， 又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 將兩式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8 ＝， 即所有奇數(shù)項系數(shù)之和為. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．16　2.5　3.6　4.－15　5.7