2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.2 用二分法求方程的近似解優(yōu)化練習(xí) 新人教A版必修1.doc

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3.1.2 用二分法求方程的近似解 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．下列圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是(　　) 答案：B 2．用“二分法”可求近似解，對(duì)于精確度ε說法正確的是(　　) A．ε越大，零點(diǎn)的精確度越高 B．ε越大，零點(diǎn)的精確度越低 C．重復(fù)計(jì)算次數(shù)就是ε D．重復(fù)計(jì)算次數(shù)與ε無關(guān) 答案：B 3．用二分法求函數(shù)f(x)＝x3＋5的零點(diǎn)可以取的初始區(qū)間是(　　) A．[－2, 1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 解析：f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0 逐次驗(yàn)證得出初始區(qū)間為A. 答案：A 4．定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的曲線，已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有一個(gè)零點(diǎn)x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0時(shí)，當(dāng)f＝0時(shí)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是(　　) A．(a，b)外的點(diǎn) B．x＝ C．區(qū)間或內(nèi)的任意一個(gè)實(shí)數(shù) D．x＝a或x＝b 答案：B 5．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過程中，計(jì)算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間(　　) A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能確定 解析：∵f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則由f(1.25)f(1.5)<0可知方程根落在(1.25,1.5)上． 答案：B 6．用二分法研究函數(shù)f(x)＝x2＋6x－2的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算f (0)<0，f(0.5)>0可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，第二次應(yīng)計(jì)算________． 解析：由零點(diǎn)的存在性可知，x0∈(0,0.5)，取該區(qū)間的中點(diǎn)＝0.25，∴第二次應(yīng)計(jì)算f(0.25)． 答案：(0,0.5)　f(0.25) 7．求方程log3x＋x＝3的解所在區(qū)間是________． 解析：構(gòu)造函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3，找出函數(shù)零點(diǎn)所在的初始區(qū)間， ∵f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)． 答案：(2,3) 8．若方程x3－x＋1＝0在區(qū)間(a，b)(a，b是整數(shù)，且b－a＝1)上有一根， 則a＋b＝________. 解析：設(shè)f(x)＝x3－x＋1，則f(－2)＝－5＜0， f(－1)＝1＞0可得a＝－2，b＝－1，∴a＋b＝－3. 答案：－3 9．求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)近似解．(精確度0.1) 解析：設(shè)f(x)＝2x3＋3x－3，∵f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，∴函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程在(0,1)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，取(0,1)作為初始區(qū)間，利用二分法逐次計(jì)算，列表如下： 區(qū)間 中點(diǎn) 中點(diǎn)函數(shù)值 (0,1) 0.5 f(0. 5)<0 (0.5,1) 0.75 f(0.75)>0 (0.5,0.75) 0.62 5 f(0.62 5)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) 由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)近似解可取為0.75. 10．求的近似值．(精確到0.01) 解析：設(shè)x＝，則x3－2＝0，令f (x)＝x3－2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的近似值就是的近似值． 由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取區(qū)間[1,2]為計(jì)算的初始區(qū)間． 用二分法逐步計(jì)算，列表如下： 區(qū)間 中點(diǎn) 中點(diǎn)函數(shù)值 (1,2) 1.5 1.375 (1,1.5) 1.25 －0.046 9 (1.25,1.5) 1.375 0.599 6 (1.25,1.375) 1.312 5 0.261 0 (1.25,1.312 5) 1.281 25 0.103 3 (1.25,1.281 25) 1.265 63 0.027 3 (1.25,1.265 63) 1.257 82 －0.01 (1.257 82,1.265 63) 由于|1.265 63－1.257 82|＝0.007 81<0.01 ∴這個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)的近似值都可以作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值，即的近似值是1.26. [B組　能力提升] 1.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，其中零點(diǎn)的個(gè)數(shù)與可以用二分法求解的個(gè)數(shù)分別為(　　) A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3 解析：圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)，所以解的個(gè)數(shù)為4；左、右函數(shù)值異號(hào)的有3個(gè)零點(diǎn)，所以可以用二分法求解的個(gè)數(shù)為3. 答案：D 2．對(duì)于函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)用二分法的求解過程如下：f(2 009)<0，f(2 010)<0，f(2 011)>0，下列敘述正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)在(2 010,2 011)內(nèi)不存在零點(diǎn) B．函數(shù)f(x)在(2 009,2 010)內(nèi)不存在零點(diǎn) C．函數(shù)f(x)在(2 010,2 011)內(nèi)存在零點(diǎn)，并且僅有一個(gè) D．函數(shù)在(2 009,2 010)內(nèi)可能存在零點(diǎn) 解析：f(2 009)f(2 010)>0，只能說在(2 009，2 010)內(nèi)可能存在零點(diǎn)，也可能不存在零點(diǎn)．f(2 010)f(2 011)<0，說明在(2 010,2 011)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，不能說是唯一，故答案選D. 答案：D 3．已知函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下的對(duì)應(yīng)值表： x －2 －1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) －136 －21 6 19 13 －1 －8 －2 4 29 98 則下列判斷正確的是________． ①函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,0)內(nèi)有零點(diǎn)； ②函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點(diǎn)； ③函數(shù)f(x)在區(qū)間(5,6)內(nèi)有零點(diǎn)； ④函數(shù)f(x)在區(qū)間(－1,7)內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)． 解析：f(－1)f(0)<0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，又f(x)的圖象連續(xù)不斷，所以函數(shù)f(x)在(－1,0)，(2,3)，(5,6)三個(gè)區(qū)間上均有零點(diǎn)，但不能斷定有幾個(gè)零點(diǎn)，故①②③正確，④不正確． 答案：①②③ 4．用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下： f(1.600 0)＝0.20 0 f(1.587 5)＝0.133 f(1.575 0)＝0.067 f(1.562 5)＝0.003 f(1.556 2)＝－0.029 f(1.55 00)＝－0.060 據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個(gè)近似解(精確到0.01)為________． 解析：注意到f(1.556 2)＝－0.029和f(1.562 5)＝0.003，顯然f(1.556 2)f(1.562 5)＜0，故區(qū)間的端點(diǎn)四舍五入可得1.56. 答案：1.56 5．在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10 km長的線路，如何迅速查出故障所在位置？ 如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子.10 km長，大約有200多根電線桿子呢！ 想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？ 解析：如圖所示：可利用二分法的原理進(jìn)行查找． 設(shè)閘房和指揮部所在地分別為A，B，他首先從AB的中點(diǎn)C處查，用隨身帶的電話機(jī)向兩端測試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段；再到BC段中點(diǎn)D處來查，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段；再到CD中點(diǎn)E處來查，這樣每查一次，就可以把待查的線路長縮減一半，故經(jīng)過7次查找，就可以把故障可能發(fā)生的范圍縮小到50 m～100 m左右，即一兩根電線桿附近． 6．已知函數(shù)f(x)＝3x＋，方程f(x)＝0在(－1，＋∞)內(nèi)是否有根？若有根，有幾個(gè)？請(qǐng)你用二分法求出方程f(x)＝0根的近似值．(精確度0.01) 解析：方程f(x)＝0在(－1，＋∞)內(nèi)有根， f(x)＝3x＋＝3x＋1－， 當(dāng)x∈(－1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)， 所以若方程f(x)＝0有根，則最多有一個(gè)根． ∵f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以取(0,1)為初始區(qū)間，用二分法逐步計(jì)算，列出下表： 區(qū)間 中點(diǎn)的值 中點(diǎn)函數(shù)近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 －0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25,0.281 25) 0.265 625 －0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 －0.005 (0.273 437 5,0.281 25) 由于|0.273 437 5－0.281 25|<0.01. 所以x＝0.281 25. (實(shí)際上[0.273 437 5,0.281 25]內(nèi)的任意一個(gè)值均可以．)