2018-2019學年高中物理 第2章 研究圓周運動 2.2 研究勻速圓周運動的規(guī)律學案 滬科版必修2.doc

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2.2　研究勻速圓周運動的規(guī)律 [學習目標] 1.知道向心加速度，掌握向心加速度的公式.2.通過實例認識向心力及其方向，理解向心力的作用.3.通過實驗探究向心力的大小與哪些因素有關，掌握向心力的公式，能運用向心力的公式進行計算.4.能運用牛頓第二定律分析勻速圓周運動的向心力和向心加速度． 一、向心加速度 1．定義：做勻速圓周運動的物體具有的沿半徑指向圓心的加速度． 2．大?。篴＝＝ω2R 3．方向：與速度方向垂直，沿半徑指向圓心． 4．作用 向心加速度的方向始終與速度方向垂直，只改變速度的方向，不改變速度的大?。? 二、向心力 1．定義：在勻速圓周運動中，產生向心加速度的力． 2．公式：F＝m或F＝mω2R. 3．向心力大小實驗驗證： 控制變量 探究內容 m、R相同，改變ω 探究向心力F與ω的關系 m、ω相同，改變R 探究向心力F與R的關系 ω、R相同，改變m 探究向心力F與m的關系 [即學即用] 1．判斷下列說法的正誤． (1)向心加速度的方向時刻指向圓心，方向不變．() (2)勻速圓周運動的線速度大小不變，加速度為零．() (3)勻速圓周運動的向心力是恒力．() (4)做勻速圓周運動的物體所受的合外力提供了向心力．(√) (5)根據(jù)F＝m知，向心力F與半徑R成反比．() 2．在長0.2 m的細繩的一端系一小球，質量為0.5 kg，繩的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6 m/s的速度在桌面上做勻速圓周運動，則小球運動的角速度為________，向心加速度為________，所需要的向心力為________． 答案　3 rad/s　1.8 m/s2　0.9 N 解析　角速度ω＝＝ rad/s＝3 rad/s 小球運動的向心加速度a＝＝ m/s2＝1.8 m/s2. 小球運動所需向心力F＝m＝0.9 N. 一、對向心加速度的理解 [導學探究]　如圖1甲，表示地球繞太陽做勻速圓周運動(近似的)；如圖乙，表示光滑桌面上一個小球由于細線的牽引，繞桌面上的圖釘做勻速圓周運動． 圖1 (1)在勻速圓周運動過程中，地球、小球的運動狀態(tài)發(fā)生變化嗎？若變化，變化的原因是什么？ (2)地球受到的力沿什么方向？小球受到幾個力的作用，合力沿什么方向？ (3)地球和小球的加速度方向變化嗎？勻速圓周運動是一種什么性質的運動呢？ 答案　(1)地球和小球的速度方向不斷發(fā)生變化，所以運動狀態(tài)發(fā)生變化．運動狀態(tài)發(fā)生變化的原因是受到力的作用． (2)地球受到太陽的引力作用，方向沿半徑指向圓心．小球受到重力、支持力、線的拉力作用，合力等于線的拉力，方向沿半徑指向圓心． (3)物體的加速度跟它所受合力方向一致，所以地球和小球的加速度都是時刻沿半徑指向圓心，即加速度方向是變化的．勻速圓周運動是一種變加速曲線運動． [知識深化] 1．向心加速度的方向：總指向圓心，方向時刻改變． 2．向心加速度的作用：向心加速度的方向總是與速度方向垂直，故向心加速度只改變速度的方向，對速度的大小無影響． 3．圓周運動的性質：不論向心加速度a的大小是否變化，其方向時刻改變，所以圓周運動的加速度時刻發(fā)生變化，圓周運動是變加速曲線運動． 4．向心加速度的大小 a＝＝＝ω2R＝＝4π2n2R＝ωv (1)當勻速圓周運動的半徑一定時，向心加速度的大小與角速度的平方成正比，也與線速度的平方成正比，隨轉速的增加或周期的減小而增大． (2)當角速度一定時，向心加速度與運動半徑成正比． (3)當線速度一定時，向心加速度與運動半徑成反比． 說明：向心加速度的公式也適用于非勻速圓周運動，且無論是勻速圓周運動還是非勻速圓周運動，向心加速度的方向都指向圓心． 例1　關于向心加速度，以下說法中錯誤的是(　　) A．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直 B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小 C．物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心 D．物體做勻速圓周運動時的加速度方向始終指向圓心 答案　C 解析　向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向則沿圓周的切線方向，所以，向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，只改變線速度的方向；物體做勻速圓周運動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；一般情況下，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度的方向不一定始終指向圓心，故A、B、D正確，C錯誤． 【考點】對向心加速度的理解 【題點】向心加速度的方向 例2　如圖2所示，一球體繞軸O1O2以角速度ω勻速旋轉，A、B為球體上兩點，下列幾種說法中正確的是(　　) 圖2 A．A、B兩點具有相同的角速度 B．A、B兩點具有相同的線速度 C．A、B兩點的向心加速度的方向都指向球心 D．A、B兩點的向心加速度之比為2∶1 答案　A 解析　A、B為球體上兩點，因此，A、B兩點的角速度與球體繞軸O1O2旋轉的角速度相同，A對；如圖所示，A以P為圓心做圓周運動，B以Q為圓心做圓周運動，因此，A、B兩點的向心加速度方向分別指向P、Q，C錯；設球的半徑為R，則A運動的半徑rA＝Rsin 60，B運動的半徑rB＝Rsin 30，＝＝＝，B錯；＝＝，D錯． 【考點】向心加速度公式的有關計算 【題點】向心加速度有關的比值問題 例3　如圖3所示，O1為皮帶傳動的主動輪的軸心，主動輪半徑為r1，O2為從動輪的軸心，從動輪半徑為r2，r3為固定在從動輪上的小輪半徑．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1.A、B、C分別是三個輪邊緣上的點，則點A、B、C的向心加速度之比是(假設皮帶不打滑)(　　) 圖3 A．1∶2∶3 B．2∶4∶3　C．8∶4∶3 D．3∶6∶2 答案　C 解析　因為皮帶不打滑，A點與B點的線速度大小相等，都等于皮帶運動的速率．根據(jù)向心加速度公式a＝，可得aA∶aB＝r2∶r1＝2∶1.由于B、C是固定在一起的輪上的兩點，所以它們的角速度相同．根據(jù)向心加速度公式a＝rω2，可得aB∶aC＝r2∶r3＝2∶1.5.由此得aA∶aB∶aC＝8∶4∶3，故選C. 【考點】與向心加速度有關的傳動問題分析 【題點】與向心加速度有關的綜合傳動問題 向心加速度公式的應用技巧 向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變化關系，必須在某一物理量不變時分析另外兩個物理量之間的關系．在比較傳動物體上做圓周運動的各點的向心加速度的大小時，應按以下步驟進行： (1)先確定各點是線速度大小相等，還是角速度相同． (2)在線速度大小相等時，向心加速度與半徑成反比，在角速度相同時，向心加速度與半徑成正比． 二、向心力 [導學探究]　如圖4所示，小球在光滑水平桌面上做勻速圓周運動． 圖4 (1)小球受到幾個力的作用？什么力提供向心力？ (2)向心力的作用效果是什么？向心力是做圓周運動的物體受到的某個真實的力嗎？ 答案　(1)小球受重力、支持力、拉力三個力的作用，拉力提供向心力 (2)向心力的作用效果是改變小球的速度方向，它是由某個力或幾個力的合力或某個力的分力來充當，它是效果力，并不是物體真實受的力． [知識深化] 1．向心力大?。篎＝ma＝m＝mω2R＝mωv＝mR()2. 2．作用效果——改變線速度的方向．由于向心力始終指向圓心，其方向與物體運動方向始終垂直，故向心力不改變線速度的大小． 3．向心力的來源 向心力是根據(jù)力的作用效果命名的．它可以由重力、彈力、摩擦力等各種性質的力提供，也可以由它們的合力提供，還可以由某個力的分力提供． (1)當物體做勻速圓周運動時，由于物體沿切線方向的加速度為零，即切線方向的合力為零，物體受到的合外力一定指向圓心，以提供向心力產生向心加速度． (2)當物體做非勻速圓周運動時，其向心力為物體所受的合外力在半徑方向上的分力，而合外力在切線方向的分力則用于改變線速度的大?。? 例4　(多選)如圖5所示，用長為L的細線拴住一個質量為M的小球，使小球在水平面內做勻速圓周運動，細線與豎直方向的夾角為θ，關于小球的受力情況，下列說法中正確的是(　　) 圖5 A．小球受到重力、線的拉力和向心力三個力 B．向心力是線對小球的拉力和小球所受重力的合力 C．向心力的大小等于細線對小球拉力的水平分力 D．向心力的大小等于Mgtan θ 答案　BCD 【考點】向心力來源的分析 【題點】圓錐擺運動的向心力來源分析 例5　如圖6所示，水平轉盤上放有質量為m的物體(可視為質點)，連接物體和轉軸的繩子長為r，物體與轉盤間的最大靜摩擦力是其壓力的μ倍，轉盤的角速度由零逐漸增大，求： 圖6 (1)繩子對物體的拉力為零時的最大角速度ω0. (2)當角速度為時，繩子對物體拉力的大?。? 答案　(1)　(2)μmg 解析　(1)當恰由最大靜摩擦力提供向心力時，繩子拉力為零且轉速達到最大，則μmg＝mω02r，得ω0＝ (2)當ω＝時，ω>ω0，所以繩子的拉力T和最大靜摩擦力共同提供向心力，此時，T＋μmg＝mω2r 即T＋μmg＝mr，得T＝μmg. 勻速圓周運動解題策略 在解決勻速圓周運動問題的過程中，要注意以下幾個方面： (1)知道物體做圓周運動軌道所在的平面，明確圓心和半徑是解題的一個關鍵環(huán)節(jié)． (2)分析清楚向心力的來源，明確向心力是由什么力提供的． (3)根據(jù)線速度、角速度的特點，選擇合適的公式列式求解． 1．(向心加速度的理解)(多選)關于向心加速度，下列說法正確的是(　　) A．向心加速度是描述線速度變化快慢的物理量 B．向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小 C．向心加速度大小恒定，方向時刻改變 D．物體做變速圓周運動時，向心加速度的大小也可用a＝來計算 答案　BD 解析　加速度是描述速度變化快慢的物理量，向心加速度是描述線速度方向變化快慢的物理量，A錯誤，B正確．勻速圓周運動的向心加速度大小恒定，C錯誤．公式a＝也適用于變速圓周運動，D正確． 【考點】對向心加速度的理解 【題點】向心加速度的意義 2．(向心力的理解)(多選)下面關于向心力的敘述中，正確的是(　　) A．向心力的方向始終沿著半徑指向圓心，所以是一個變力 B．做勻速圓周運動的物體，除了受到別的物體對它的作用力外，還一定受到一個向心力的作用 C．向心力可以是重力、彈力、摩擦力中的某個力，也可以是這些力中某幾個力的合力，或者是某一個力的分力 D．向心力只改變物體速度的方向，不改變物體速度的大小 答案　ACD 解析　向心力是根據(jù)力的作用效果來命名的，它可以是物體受到的某個力，也可以是物體受到的力的合力，還可以是某一個力的分力，因此，在進行受力分析時，不能再分析向心力．向心力時刻指向圓心，與速度方向垂直，所以向心力只改變速度方向，不改變速度大小，A、C、D正確． 3．(傳動裝置中向心加速度的計算)自行車的小齒輪A、大齒輪B、后輪C是相互關聯(lián)的三個傳動部分，且半徑RB＝4RA、RC＝8RA，如圖7所示．當自行車正常騎行時A、B、C三輪邊緣上的點的向心加速度的大小之比aA∶aB∶aC等于(　　) 圖7 A．1∶1∶8 B．4∶1∶4 C．4∶1∶32 D．1∶2∶4 答案　C 解析　由于A輪和C輪共軸，故兩輪角速度相同，由a＝Rω2可得，aA∶aC＝1∶8；由于A輪和B輪是鏈條傳動，故A、B兩輪邊緣上點的線速度大小相等，由a＝，可得aA∶aB＝4∶1，所以aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，C正確． 【考點】與向心加速度有關的傳動問題分析 【題點】與向心加速度有關的綜合傳動問題 4．(圓周運動的向心力及有關計算)長為L的細線，拴一質量為m的小球，細線上端固定，讓小球在水平面內做勻速圓周運動，如圖8所示，求細線與豎直方向成θ角時：(重力加速度為g) 圖8 (1)細線中的拉力大?。? (2)小球運動的線速度的大?。? 答案　(1)　(2) 解析　(1)小球受重力及細線的拉力兩力作用，如圖所示，豎直方向Tcos θ＝mg，故拉力T＝. (2)小球做圓周運動的半徑r＝Lsin θ，向心力F＝Tsin θ＝mgtan θ， 而F＝m， 故小球的線速度v＝. 一、選擇題 考點一　向心加速度的理解 1．關于向心加速度，下列說法正確的是(　　) A．由a＝知，勻速圓周運動的向心加速度恒定 B．勻速圓周運動不屬于勻速運動 C．向心加速度越大，物體速率變化越快 D．做圓周運動的物體，加速度時刻指向圓心 答案　B 解析　向心加速度是矢量，且方向始終指向圓心，因此向心加速度不是恒定的，所以A錯；勻速運動是勻速直線運動的簡稱，勻速圓周運動其實是勻速率圓周運動，存在向心加速度，B對；向心加速度不改變速率，C錯；只有勻速圓周運動的加速度才時刻指向圓心，D錯． 【考點】對向心加速度的理解 【題點】向心加速度的意義 2．如圖1所示是A、B兩物體做勻速圓周運動的向心加速度隨半徑變化的圖像，其中A為雙曲線的一支，由圖可知(　　) 圖1 A．A物體運動的線速度大小不變 B．A物體運動的角速度大小不變 C．B物體運動的角速度大小是變化的 D．B物體運動的線速度大小不變 答案　A 解析　根據(jù)a＝知，當線速度v大小為定值時，a與r成反比，其圖像為雙曲線的一支；根據(jù)a＝rω2知，當角速度ω大小為定值時，a與r成正比，其圖像為過原點的傾斜直線，所以A正確． 【考點】對向心加速度的理解 【題點】對向心加速度的大小及向心加速度公式的理解 3.如圖2所示，質量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么木塊(　　) 圖2 A．加速度為零 B．加速度恒定 C．加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心 D．加速度大小不變，方向時刻指向圓心 答案　D 解析　由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤． 【考點】對向心加速度的理解 【題點】向心加速度的方向 考點二　向心力的理解 4．對做圓周運動的物體所受的向心力說法正確的是(　　) A．做勻速圓周運動的物體，因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個恒力 B．因向心力指向圓心，且與線速度方向垂直，所以它不能改變線速度的大小 C．向心力一定是物體所受的合外力 D．向心力和向心加速度的方向都是不變的 答案　B 解析　做勻速圓周運動的物體向心力大小恒定，方向總是指向圓心，是一個變力，A錯；向心力只改變線速度方向，不改變線速度大小，B對；只有做勻速圓周運動的物體的向心力是由物體所受合外力提供，C錯；向心力與向心加速度的方向總是指向圓心，是時刻變化的，D錯． 【考點】對向心力的理解 【題點】對向心力的理解 5.洗衣機的脫水筒在轉動時有一衣物附著在筒壁上，如圖3所示，則此時(　　) 圖3 A．衣物受到重力、筒壁的彈力和摩擦力的作用 B．衣物隨筒壁做圓周運動的向心力是由摩擦力提供的 C．筒壁對衣物的摩擦力隨轉速增大而減小 D．筒壁對衣物的摩擦力隨轉速增大而增大 答案　A 解析　衣物受到重力、筒壁的彈力和摩擦力三個力的作用，其中筒壁的彈力提供其做圓周運動的向心力，A正確，B錯誤；由于重力與靜摩擦力保持平衡，所以摩擦力不隨轉速的變化而變化，C、D錯誤． 【考點】對向心力的理解 【題點】對向心力的理解 6．如圖4所示，水平圓盤上疊放著兩個物塊A和B，當圓盤和物塊繞豎直軸勻速轉動時，物塊與圓盤始終保持相對靜止，則(　　) 圖4 A．物塊A不受摩擦力作用 B．物塊B受5個力作用 C．當轉速增大時，A所受摩擦力增大，B所受摩擦力減小 D．A對B的摩擦力方向沿半徑指向轉軸 答案　B 解析　物塊A受到的摩擦力充當向心力，A錯誤；物塊B受到重力、支持力、A對物塊B的壓力、A對物塊B沿半徑向外的靜摩擦力和圓盤對物塊B沿半徑指向轉軸的靜摩擦力，共5個力的作用，B正確，D錯誤；當轉速增大時，A、B所受摩擦力都增大，C錯誤． 【考點】向心力來源的分析 【題點】水平面內勻速圓周運動的向心力來源分析 考點三　向心加速度的計算 7．(多選)如圖5所示，一個球繞中心軸線OO′以角速度ω做勻速圓周運動，θ＝30，則(　　) 圖5 A．a、b兩點的線速度相同 B．a、b兩點的角速度相同 C．a、b兩點的線速度之比va∶vb＝2∶ D．a、b兩點的向心加速度之比aa∶ab＝∶2 答案　BD 解析　球繞中心軸線轉動，球上各點應具有相同的周期和角速度，即ωa＝ωb，B對；因為a、b兩點做圓周運動的半徑不同，rb＞ra，根據(jù)v＝ωr知vb＞va，A錯；θ＝30，設球半徑為R，則rb＝R，ra＝Rcos 30＝R，故＝＝，C錯；又根據(jù)a＝ω2r知＝＝，D對． 【考點】與向心加速度有關的傳動問題分析 【題點】與向心加速度有關的同軸傳動問題 8．(多選)如圖6所示的靠輪傳動裝置中右輪半徑為2r，a為它邊緣上的一點，b為輪上的一點，b距軸的距離為r.左側為一輪軸，大輪的半徑為4r，d為它邊緣上的一點，小輪的半徑為r，c為它邊緣上的一點．若傳動中靠輪不打滑，則(　　) 圖6 A．b點與d點的線速度大小相等 B．a點與c點的線速度大小相等 C．c點與b點的角速度大小相等 D．a點與d點的向心加速度大小之比為1∶8 答案　BD 解析　c、d輪共軸轉動，角速度相等，根據(jù)v＝rω知，d點的線速度大于c點的線速度，而a、c的線速度大小相等，a、b兩點的角速度相等，則a點的線速度大于b點的線速度，所以d點的線速度大于b點的線速度，A錯誤，B正確．a、c兩點的線速度相等，半徑之比為2∶1，根據(jù)ω＝，知a、c兩點的角速度之比為1∶2，a、b兩點的角速度相等，所以b、c兩點的角速度大小不等，C錯誤．a、c兩點的線速度大小相等，半徑之比為2∶1，根據(jù)a＝知a、c兩點的向心加速度之比為1∶2，c、d輪共軸轉動，角速度相等，半徑之比為1∶4，根據(jù)a＝ω2r知c、d兩點的向心加速度之比為1∶4，所以a、d兩點的向心加速度之比為1∶8，D正確． 【考點】與向心加速度有關的傳動問題分析 【題點】與向心加速度有關的綜合傳動問題 9．(多選)如圖7所示，皮帶傳動裝置中，右邊兩輪連在一起共軸轉動，圖中三輪半徑分別為r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三點為三個輪邊緣上的點，向心加速度分別為a1、a2、a3，皮帶不打滑，則下列比例關系正確的是(　　) 圖7 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 答案　BD 解析　由于皮帶不打滑，v1＝v2，a＝，故＝＝，A錯，B對．由于右邊兩輪共軸轉動，ω2＝ω3，a＝rω2，＝＝，C錯，D對． 【考點】與向心加速度有關的傳動問題分析 【題點】與向心加速度有關的綜合傳動問題 考點四　向心力的有關計算 10．(多選)如圖8所示，將一質量為m的擺球用長為L的細繩吊起，上端固定，使擺球在水平面內做勻速圓周運動，細繩就會沿圓錐面旋轉，這樣就構成了一個圓錐擺，下列說法正確的是(　　) 圖8 A．擺球受重力、拉力和向心力的作用 B．擺球受重力和拉力的作用 C．擺球運動的周期為2π D．擺球運動的轉速為sin θ 答案　BC 解析　擺球受重力和繩子拉力兩個力的作用，設擺球做勻速圓周運動的周期為T，則mgtan θ＝mr， r＝Lsin θ，T＝2π，轉速n＝＝，B、C正確，A、D錯誤． 【考點】圓錐擺類模型 【題點】類圓錐擺的動力學問題分析 11．(多選)如圖9所示，A、B兩球穿過光滑水平桿，兩球間用一細繩連接，當該裝置繞豎直軸OO′勻速轉動時，兩球在桿上恰好不發(fā)生滑動．若兩球質量之比mA∶mB＝2∶1，那么關于A、B兩球的下列說法中正確的是(　　) 圖9 A．A、B兩球受到的向心力之比為2∶1 B．A、B兩球的角速度之比為1∶1 C．A、B兩球的運動半徑之比為1∶2 D．A、B兩球的向心加速度之比為1∶2 答案　BCD 解析　兩球的向心力都由細繩的拉力提供，大小相等，兩球都隨桿一起轉動，角速度相等，A錯誤，B正確．設兩球的運動半徑分別為rA、rB，轉動角速度為ω，則mArAω2＝mBrBω2，所以運動半徑之比為rA∶rB＝1∶2，C正確．由牛頓第二定律F＝ma可知aA∶aB＝1∶2，D正確． 【考點】向心力公式的簡單應用 【題點】水平面內圓周運動的動力學問題 二、非選擇題 12．(向心力的有關計算)如圖10所示，有一質量為m1的小球A與質量為m2的物塊B通過輕繩相連，輕繩穿過光滑水平板中央的小孔O.當小球A在水平板上繞O點做半徑為r的勻速圓周運動時，物塊B剛好保持靜止．求：(重力加速度為g) 圖10 (1)輕繩的拉力大?。? (2)小球A運動的線速度大小． 答案　(1)m2g　(2) 解析　(1)物塊B受力平衡，故輕繩拉力T＝m2g (2)小球A做勻速圓周運動的向心力等于輕繩拉力T，根據(jù)牛頓第二定律m2g＝m1 解得v＝. 13．(向心力的有關計算)如圖11所示，用一根長為l＝1 m的細線，一端系一質量為m＝1 kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為T.求：(g取10 m/s2，結果可用根式表示) 圖11 (1)若要小球離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大． (2)若細線與豎直方向的夾角為60，則小球的角速度ω′為多大． 答案　(1) rad/s　(2)2 rad/s 解析　(1)若要小球剛好離開錐面，則小球只受到重力和細線的拉力，如圖所示．小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面內，故向心力水平，運用牛頓第二定律及向心力公式得： mgtan θ＝mω02lsin θ 解得：ω02＝ 即ω0＝＝ rad/s. (2)當細線與豎直方向成60角時，由牛頓第二定律及向心力公式得：mgtan α＝mω′2lsin α 解得：ω′2＝， 即ω′＝＝2 rad/s.