2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.1 直接證明講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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2.2.1　直 接 證 明 [對應(yīng)學(xué)生用書P26]　 1．若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝3，證明：2a＋2b≥4. 證明：因?yàn)?a＋2b≥2＝2， 又a＋b＝3，所以2a＋2b≥2＝4. 故2a＋2b≥4成立． 問題1：本題利用什么公式？ 提示：基本不等式． 問題2：本題證明順序是什么？ 提示：從已知到結(jié)論． 2．求證：＋2<2＋. 證明：要證明＋2<2＋， 由于＋2>0,2＋>0， 只需證明(＋2)2<(2＋)2， 展開得11＋4<11＋4，只需證明6<7，顯然6<7成立． 所以＋2<2＋成立． 問題1：本題證明從哪里開始？ 提示：從結(jié)論開始． 問題2：證題思路是什么？ 提示：尋求上一步成立的充分條件． 1．直接證明 (1)直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種證明通常稱為直接證明． (2)直接證明的一般形式 ?…?本題結(jié)論． 2．綜合法和分析法 直接證明 定義 推證過程 綜合法 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止．這種證明方法稱為綜合法 ?…?…? 分析法 從問題的結(jié)論出發(fā)，追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件，逐步上溯，直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止，這種證明方法稱為分析法 ?…?…? 1．綜合法是從“已知”看“可知”逐步推向未知，由因?qū)Чㄟ^逐步推理尋找問題成立的必要條件．它的證明格式為：因?yàn)?，所以，所以……所以成立? 2．分析法證明問題時(shí)，是從“未知”看“需知”，執(zhí)果索因逐步靠攏“已知”，通過逐步探索，尋找問題成立的充分條件．它的證明格式：要證，只需證，只需證……因?yàn)槌闪?，所以成立? 綜合法的應(yīng)用 [例1]　已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求證：a2＋b2＋c2≥. [思路點(diǎn)撥]　從已知條件出發(fā)，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論． [精解詳析]　∵a2＋≥， b2＋≥，c2＋≥， ∴＋＋≥a＋b＋c ＝(a＋b＋c)＝. ∴a2＋b2＋c2≥. [一點(diǎn)通]　綜合法證明問題的步驟 第一步：分析條件，選擇方向．仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}思路． 第二步：轉(zhuǎn)化條件、組織過程，把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化．組織過程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路． 第三步：適當(dāng)調(diào)整，回顧反思．解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，有些語言可做適當(dāng)?shù)男揎棧此伎偨Y(jié)解題方法的選?。? 1．設(shè)a，b，c為不全相等的正數(shù)，且abc＝1， 求證：＋＋>＋＋. 證明：∵a>0，b>0，c>0，且abc＝1， ∴＋＋＝bc＋ca＋ab. 又bc＋ca≥2＝2＝2， 同理bc＋ab≥2，ca＋ab≥2. ∵a、b、c不全相等． ∴上述三個(gè)不等式中的“＝”不能同時(shí)成立． ∴2(bc＋ca＋ab)>2(＋＋)， 即bc＋ca＋ab>＋＋， 故＋＋>＋＋. 2.(1)如圖，證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”為真； (2)寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假(不需證明)． 解：(1)證明：法一：如圖，過直線b上任一點(diǎn)作平面π的垂線n，設(shè)直線a，b，c，n的方向向量分別是a，b，c，n，則b，c，n共面．根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù)λ，μ使得c＝λb＋μn，則ac＝a(λb＋μn)＝λ(ab)＋μ(an)， 因?yàn)閍⊥b，所以ab＝0， 又因?yàn)閍π，n⊥π，所以an＝0， 故ac＝0，從而a⊥c. 法二：如圖，記c∩b＝A，P為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PO⊥π，垂足為O， 則O∈c. ∵PO⊥π，aπ， ∴直線PO⊥a. 又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P， ∴a⊥平面PAO.又c平面PAO，∴a⊥c. (2)逆命題為：a 是平面π內(nèi)的一條直線，b是π外的一條直線(b不垂直于π)，c是直線b在π上的投影，若a⊥c，則a⊥b. 逆命題為真命題． 分析法的應(yīng)用 [例2]　已知a>b>0，求證：<－<. [思路點(diǎn)撥]　本題條件較為簡單，結(jié)論比較復(fù)雜，我們可以從要證的結(jié)論入手，一步步探求結(jié)論成立的充分條件，即用分析法． [精解詳析]　要證明<－<成立， 只需證2， 即<. ∵a>b>0，∴<成立． ∴<－<成立． [一點(diǎn)通]　在已知條件較為簡單，所要證的問題較為復(fù)雜，無從入手的情況下，我們可從結(jié)論入手逆推，執(zhí)果索因，找到結(jié)論成立的條件，注明必要的文字說明，再用綜合法寫出步驟． 3．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，求證：P＜Q. 證明：要證P＜Q，主要證P2＜Q2， 只要證2a＋7＋2＜2a＋7＋2， 即證a2＋7a＜a2＋7a＋12， 即證0＜12. 因?yàn)?＜12成立， 所以P＜Q成立． 4．已知a、b是正實(shí)數(shù)，求證：＋≥ ＋. 證明：要證＋≥ ＋， 只需證a＋b≥(＋)． 即證(a＋b－)(＋)≥(＋)， 即證a＋b－≥. 也就是要證a＋b≥2. 因?yàn)閍，b為正實(shí)數(shù)，所以a＋b≥2成立， 所以＋≥ ＋. 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 [例3]　已知00，b>0，c>0， ∴要證≥1， 只需證1＋ab＋bc＋ca≥a＋b＋c＋abc， 即證1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0. ∵1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc) ＝(1－a)＋b(a－1)＋c(a－1)＋bc(1－a) ＝(1－a)(1－b－c＋bc)＝(1－a)(1－b)(1－c)， 又a≤1，b≤1，c≤1， ∴(1－a)(1－b)(1－c)≥0， ∴1＋ab＋bc＋ca－(a＋b＋c＋abc)≥0成立， 即證明了≥1. [一點(diǎn)通]　(1)較為復(fù)雜問題的證明如單純利用分析法和綜合法證明較困難，這時(shí)可考慮分析法、綜合法輪流使用以達(dá)到證題目的． (2)綜合法和分析法的綜合應(yīng)用過程既可先用分析法再用綜合法，也可先用綜合法再用分析法，一般無具體要求，只要達(dá)到證題的目的即可． 5．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列．求證：＋＝. 證明：要證＋＝， 只需證＋＝3，即＋＝1， 只需證＝1， 即＝1. 下面證明：＝1. ∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180， ∴B＝60. ∴b2＝a2＋c2－ac. ∴＝＝1. 故原等式成立． 6．若a，b，c是不全相等的正數(shù)． 求證：lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c. 證明：要證lg＋lg＋lg>lg a＋lg b＋lg c成立，即證lg>lg(abc)成立， 只需證>abc成立， ∵≥>0，≥>0，≥>0， ∴≥abc>0，(*) 又∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴(*)式等號不成立， ∴原不等式成立． 1．綜合法是由因?qū)Ч襟E嚴(yán)謹(jǐn)，逐層遞進(jìn)、步步為營，書寫表達(dá)過程是條理清晰、形式簡潔，宜于表達(dá)推理的思維軌跡、缺點(diǎn)是探路艱難，不易達(dá)到所要證明的結(jié)論． 2．分析法是執(zhí)果索因，方向明確、利于思考，便于尋找解題思路．缺點(diǎn)是思路逆行、敘述繁瑣、表述易出錯(cuò)． 3．在解決一個(gè)問題時(shí)，我們常常把綜合法和分析法結(jié)合起來使用．根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論P(yáng)1；根據(jù)原結(jié)論的特點(diǎn)去尋求使結(jié)論成立的條件，尋找到條件P2；當(dāng)由P1可以推出P2時(shí)，結(jié)論得證． 一、填空題 1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：在△ABC中，由正弦定理得＝. 又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B 反之，若sin A>sin B，則a>b，∴A>B ∴A>B是sin A>sin B的充要條件． 答案：充要 2．設(shè)n∈N，則－________－(判斷大小)． 解析：要證－<－， 只需證＋<＋， 只需證(＋)2<(＋)2， 即2n＋5＋2<2n＋5＋2. 只需證<， 只需證(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)， 即n2＋5n＋4a＋b，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________． 解析：a＋b>a＋b ?a－a>b－b ?a(－)>b(－) ?(a－b)(－)>0 ?(＋)(－)2>0， 故只需a≠b且a，b都不小于零即可． 答案：a≥0，b≥0且a≠b 4．若三棱錐S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，則S在底面ABC上的射影為△ABC的________．(填重心、垂心、內(nèi)心、外心之一) 解析：如圖，設(shè)S在底面ABC上的射影為點(diǎn)O， ∴SO⊥平面ABC，連接AO，BO， ∵SA⊥BC，SO⊥BC， ∴BC⊥平面SAO， ∴BC⊥AO. 同理可證，AC⊥BO. ∴O為△ABC的垂心． 答案：垂心 5．已知函數(shù)f(x)＝10x，a＞0，b＞0，A＝f，B＝f，C＝f，則A，B，C的大小關(guān)系為________． 解析：由≥≥，又f(x)＝10x在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以f≥f≥f， 即A≥B≥C. 答案：A≥B≥C 二、解答題 6．已知函數(shù)f(x)＝log2(x＋2)，a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且a，b，c成等比數(shù)列，試判斷f(a)＋f(c)與2f(b)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解：f(a)＋f(c)＞2f(b)． 證明如下：因?yàn)閍，b，c是兩兩不相等的正數(shù)， 所以a＋c＞2. 因?yàn)閎2＝ac，所以ac＋2(a＋c)＞b2＋4b， 即ac＋2(a＋c)＋4＞b2＋4b＋4， 從而(a＋2)(c＋2)＞(b＋2)2. 因?yàn)閒(x)＝log2(x＋2)是增函數(shù)， 所以log2(a＋2)(c＋2)＞log2(b＋2)2， 即log2(a＋2)＋log2(c＋2)＞2log2(b＋2)． 故f(a)＋f(c)＞2f(b)． 7．已知a>0，用分析法證明： －>a＋－2. 證明：要證 －≥a＋－2， 只需證 ＋2≥a＋＋. 因?yàn)閍>0，故只需證2≥2， 即a2＋＋4 ＋4≥a2＋2＋＋2 ＋2， 從而只需證2≥ ， 只需證4≥2， 即a2＋≥2， 而上述不等式顯然成立，故原不等式成立． 8．(江蘇高考改編)設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項(xiàng)的和．記bn＝，n∈N*，其中 c為實(shí)數(shù)．若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)． 證明：由c＝0，得bn＝＝a＋d. 又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以b＝b1b4， 即2＝a， 化簡得d2－2ad＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝2a. 因此，對于所有的m∈N*，有Sm＝m2a. 從而對于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk.