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課堂達標(五十八) 直接證明與間接證明
[A基礎鞏固練]
1．(2018太原模擬)命題“如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列”是否成立( )
A．不成立 B．成立
C．不能斷定 D．與n取值有關
[解析] 因為Sn＝2n2－3n，所以n＝1時a1＝S1＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1時適合an，且an－an－1＝4，故{an}為等差數(shù)列，即命題成立．
[答案] B
2．(2018寧波模擬)分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證
0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
[解析] 0
?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.
[答案] C
3．(2018上饒月考)設x，y，z>0，則三個數(shù)＋，＋，＋( )
A．都大于2 B．至少有一個大于2
C．至少有一個不小于2 D．至少有一個不大于2
[解析] 因為＋＋
＝＋＋≥6，
當且僅當x＝y(tǒng)＝z時等號成立．
所以三個數(shù)中至少有一個不小于2，故選C.
[答案] C
4．(2018山西質量監(jiān)測)對累乘運算∏有如下定義：k＝a1a2…an，則下列命題中的真命題是( )
A.k不能被10100整除
B.＝22 015
C.(2k－1)不能被5100整除
D.(2k－1)k＝
[解析] 因為(2k－1)k＝(135…2 015)(246…2 014)＝123…2 0142 015＝，故選D.
[答案] D
5．(2016浙江卷)已知實數(shù)a，b，c( )
A．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
B．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
C．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，則a2＋b2＋c2<100
D．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，則a2＋b2＋c2<100
[解析] 舉反例排除法：
A．令a＝b＝10，c＝－110，排除此選項，
B．令a＝10，b＝－100，c＝0，排除此選項，
C．令a＝100，b＝－100，c＝0，排除此選項．故選D.
[答案] D
6．設a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；
⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是( )
A．②③ B．①②③
C．③ D．③④⑤
[解析] 若a＝，b＝，則a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；
對于③，即a＋b>2，
則a，b中至少有一個大于1，
反證法：假設a≤1且b≤1，
則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，
因此假設不成立，a，b中至少有一個大于1.
[答案] C
7．設a>b>0，m＝－，n＝，則m，n的大小關系是______．
[解析] 取a＝2，b＝1，得m0，顯然成立．
[答案] m0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝__________.
[解析] 通過等差數(shù)列的結論類比推理可得：若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝.
證明如下：設等比數(shù)列的首項為b1，公比為q≠0.
則bm＝c＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，
化為＝bq(n－m)(n＋m－1)，∴＝b1qn＋m－1＝bm＋n.
[答案]
10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求證：≤.
[證明] a⊥b?ab＝0，要證≤.
只需證|a|＋|b|≤|a＋b|，
只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2ab＋b2)，
只需證|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2，
只需證|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0，即(|a|－|b|)2≥0，
上式顯然成立，故原不等式得證．
[B能力提升練]
1．(2018福州模擬)設00，b>0，a，b為常數(shù)，＋的最小值是( )
A．4ab B．2(a2＋b2)
C．(a＋b)2 D．(a－b)2
[解析] (x＋1－x)
＝a2＋＋＋b2≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2.當且僅當x＝時，等號成立．
[答案] C
2．(2016北京卷)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三個空盒．每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球
D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
[解析] 取兩個球共有4種情況：
①紅＋紅，則乙盒中紅球數(shù)加1個；
②黑＋黑，則丙盒中黑球數(shù)加1個；
③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1個；
④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1個．
設一共有球2a個，則a個紅球，a個黑球，甲中球的總個數(shù)為a，其中紅球x個，黑球y個，x＋y＝a.
則乙中有x個球，其中k個紅球，j個黑球，k＋j＝x；
丙中有y個球，其中l(wèi)個紅球，i個黑球，i＋l＝y(tǒng)；
黑球總數(shù)a＝y(tǒng)＋i＋j，
又x＋y＝a，故x＝i＋j，由于x＝k＋j，所以可得i＝k，
即乙中的紅球等于丙中的黑球．故選B.
[答案] B
3．(2016全國Ⅱ卷)有三張卡片，分別寫有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是__________.
[解析] 設三張卡片分別為A(1,2)，B(1,3)，C(2,3)，由丙得數(shù)字和不是5，則丙的卡片可能為A或B.若丙為A(1,2)，則乙為C(2,3)，甲為B(1,3)合題，若丙為B(1,3)，則甲、乙為相同數(shù)字2，不合題．
[答案] 1和3
4．(2018廣東實驗中學段考)已知點A(x1，ax1)、B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象上任意不同兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結論＞a成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，sin x1)、B(x2，sin x2)是函數(shù)y＝sin x[x∈(0，π)]圖象上的不同兩點，則類似地有______成立．
[解析] 由題意知，點A、B是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖象上任意不同兩點，函數(shù)y＝ax(a＞1)圖象下凸，線段AB總是位于A、B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有結論0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，若f(c)＝0，且00.
(1)證明：是f(x)＝0的一個根；
(2)試比較與c的大??；
(3)證明：－20，由00，
知f>0與f＝0矛盾，∴≥c，又∵≠c，∴>c.
(3)證明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸方程為x＝－＝<＝x2＝，即－<.
又a>0，∴b>－2，∴－2
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