（通用版）2019版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題檢測(cè)（二十二）“圓錐曲線”壓軸大題的搶分策略 理（普通生含解析）.doc
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專(zhuān)題檢測(cè)（二十二） “圓錐曲線”壓軸大題的搶分策略 1.(2018濟(jì)南模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：x2＝4y，直線l與拋物線C1交于A，B兩點(diǎn)． (1)若直線OA，OB的斜率之積為－，證明：直線l過(guò)定點(diǎn)； (2)若線段AB的中點(diǎn)M在曲線C2：y＝4－x2(－2＜x＜2)上，求|AB|的最大值． 解：(1)證明：由題意可知直線l的斜率存在， 設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4kx－4m＝0， Δ＝16(k2＋m)＞0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m， 則kOAkOB＝＝＝＝－， 由已知kOAkOB＝－，得m＝1，滿足Δ＞0， ∴直線l的方程為y＝kx＋1，∴直線l過(guò)定點(diǎn)(0,1)． (2)設(shè)M(x0，y0)，由已知及(1)得x0＝＝2k， y0＝kx0＋m＝2k2＋m， 將M(x0，y0)代入y＝4－x2(－2＜x＜2)，得 2k2＋m＝4－(2k)2，∴m＝4－3k2. ∵－2＜x0＜2，∴－2＜2k＜2，∴－＜k＜， ∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)＞0，∴－＜k＜， 故k的取值范圍是(－，)． ∴|AB|＝ ＝ ＝4 ≤4＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)k2＋1＝2－k2，即k＝時(shí)取等號(hào)， ∴|AB|的最大值為6. 2．(2018石家莊質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)． (1)若以AF1為直徑的動(dòng)圓內(nèi)切于圓x2＋y2＝9，求橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)； (2)當(dāng)b＝1時(shí)，問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得為定值？并說(shuō)明理由． 解：(1)設(shè)AF1的中點(diǎn)為M，連接OM，AF2(O為坐標(biāo)原點(diǎn))， 在△AF1F2中，O為F1F2的中點(diǎn)， 所以|OM|＝|AF2|＝(2a－|AF1|)＝a－|AF1|. 由題意得|OM|＝3－|AF1|， 所以a＝3，故橢圓的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為6. (2)由b＝1，＝，a2＝b2＋c2，得c＝2，a＝3， 所以橢圓C的方程為＋y2＝1. 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋2)， 由得(9k2＋1)x2＋36k2x＋72k2－9＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝k2(x1＋2)(x2＋2)＝. 設(shè)T(x0,0)， 則＝(x1－x0，y1)，＝(x2－x0，y2)， ＝x1x2－(x1＋x2)x0＋x＋y1y2＝， 當(dāng)9x＋36x0＋71＝9(x－9)，即x0＝－時(shí)， 為定值，定值為x－9＝－. 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)A，B， 當(dāng)T時(shí)，＝＝－. 綜上，在x軸上存在定點(diǎn)T，使得為定值． 3．(2019屆高三西安八校聯(lián)考)已知直線l：x＝my＋1過(guò)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F，拋物線x2＝4y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn)，且l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線x＝4上的射影依次為D，K，E. (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ1， ＝λ2，當(dāng)m變化時(shí)，證明：λ1＋λ2為定值； (3)當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由． 解：(1)∵l：x＝my＋1過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F， ∴右焦點(diǎn)F(1,0)，c＝1，即c2＝1. ∵x2＝4y的焦點(diǎn)(0，)為橢圓C的上頂點(diǎn)， ∴b＝，即b2＝3，a2＝b2＋c2＝4， ∴橢圓C的方程為＋＝1. (2)證明：由題意知m≠0，聯(lián)立 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝－，y1y2＝－. ∵＝ λ1，＝λ2，M， ∴＝λ1(1－x1，－y1)， ＝λ2(1－x2，－y2)， ∴λ1＝－1－，λ2＝－1－， ∴λ1＋λ2＝－2－＝－2－＝－. 綜上所述，當(dāng)m變化時(shí)，λ1＋λ2為定值－. (3)當(dāng)m＝0時(shí)，直線l⊥x軸，則四邊形ABED為矩形， 易知AE與BD相交于點(diǎn)N， 猜想當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)N，證明如下： 則＝＝， 易知E(4，y2)，則＝. ∵y2－(－y1)＝(y1＋y2)－my1y2＝－m＝0， ∴∥，即A，N，E三點(diǎn)共線． 同理可得B，N，D三點(diǎn)共線． 則猜想成立， 故當(dāng)m變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)N. 4．(2018全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m>0)． (1)證明：k<－； (2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． 解：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋k＝0. 由題設(shè)知＝1，＝m，于是k＝－.① 由題設(shè)得0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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