2017-2018學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.1 合情推理優(yōu)化練習 新人教A版選修2-2.doc

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2.1.1 合情推理 [課時作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．下列推理是歸納推理的是(　　) A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達式 C．由圓x2＋y2＝r2的面積πr2，猜出橢圓＋＝1的面積S＝πab D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇 解析：由歸納推理的定義知B是歸納推理，故應選B. 答案：B 2．數(shù)列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　) A．28 B．32 C．33 D．27 解析：因為5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜測x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故應選B. 答案：B 3．某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排，那么第36個圓的顏色應是(　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：由題干圖知，圖形是三白二黑的圓周而復始相繼排列，是一個周期為5的三白二黑的圓列，因為365＝7余1，所以第36個圓應與第1個圓顏色相同，即白色． 答案：A 4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)， 記g(x)為f(x)的導函數(shù)，則g(－x)＝ (　　) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x) 解析：本題考查了推理證明及函數(shù)的奇偶性內(nèi)容，由例子可看出偶函數(shù)求導后都變成了奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，選D. 答案：D 5．n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下表： 01234567891011… 根據(jù)規(guī)律，從2 010到2 012箭頭的方向依次為(　　) A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 解析：觀察題圖的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由2,3,4可知從2 010到2 012為↑→，故應選C. 答案：C 6．半徑為r的圓的面積S(r)＝πr2，周長C(r)＝2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(πr2)′＝2πr①， ①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)． 對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量②， 請你寫出類似于①的式子：___________________________________________， ②式可以用語言敘述為：_______________________________________________. 解析：半徑為R的球的體積V(R)＝πR3，表面積S(R)＝4πR2，則(πR3)′＝4πR2. 答案：(πR3)′＝4πR2　球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù) 7．觀察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …… 照此規(guī)律，第n個等式可為________． 解析：觀察等號左邊的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，左邊的項數(shù)依次加1，故第n個等式左邊有n項，每項所含的底數(shù)的絕對值也增加1，依次為1,2,3，…，n，指數(shù)都是2，符號成正負交替出現(xiàn)，可以用(－1)n＋1表示，等式的右邊數(shù)的絕對值是左邊項的底數(shù)的絕對值的和，故等式的右邊可以表示為(－1)n＋1，∴第n個式子可為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(n∈N*)． 答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(n∈N*) 8．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)， 觀察：f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， …… 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8, 16，…可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝. 答案： 9．證明下列等式，并從中歸納出一個一般性的結(jié)論， 2cos＝， 2cos＝ ， 2cos＝ ， …… 證明：2cos＝2＝， 2cos＝2＝2＝ ， 2cos＝2＝2 ＝ … 觀察上述等式可以發(fā)現(xiàn)，第n個等式右端有n個根號，n個2，左端“角”的分母為22,23,24，…，故第n個等式的左端應為2cos，由此可歸納出一般性的結(jié)論為：2cos＝ 10．點P在圓C：x2＋y2＝1上，經(jīng)過點P的圓的切線方程為x＋y＝1，又點Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點R在圓C的內(nèi)部．直線x＋y＝1與圓相離．類比上述結(jié)論，你能給出關(guān)于一點P(a，b)與圓x2＋y2＝r2的位置關(guān)系與相應直線與圓的位置關(guān)系的結(jié)論嗎？ 解析：點P(a，b)在⊙C：x2＋y2＝r2上時，直線ax＋by＝r2與⊙C相切；點P在⊙C內(nèi)時，直線ax＋by＝r2與⊙C相離；點P在⊙C外部時，直線ax＋by＝r2與⊙C相交．容易證明此結(jié)論是正確的． [B組　能力提升] 1．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)的點可以排成一個正三角形(如下圖)， 試求第七個三角形數(shù)是(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 解析：觀察歸納可知第n個三角形數(shù)共有點數(shù)：1＋2＋3＋4＋…＋n＝個，∴第七個三角形數(shù)為＝28. 答案：B 2．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝；類比這個結(jié)論可知：四面體PABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為r，四面體PABC的體積為V，則r＝(　　) A. B. C. D. 解析：將△ABC的三條邊長a、b、c類比到四面體PABC的四個面面積S1、S2、S3、S4，將三角形面積公式中系數(shù)，類比到三棱錐體積公式中系數(shù)，從而可知選C. 證明如下：以四面體各面為底，內(nèi)切球心O為頂點的各三棱錐體積的和為V. ∴V＝S1r＋S2r＋S3r＋S4r， ∴r＝. 答案：C 3．(2014高考陜西卷)觀察分析下列中的數(shù)據(jù)： 多面體 面數(shù)(F) 頂點數(shù)(V) 棱數(shù)(E) 三棱柱 5 6 9 五棱錐 6 6 10 立方體 6 8 12 猜想一般凸多面體中，F(xiàn)，V，E所滿足的等式是________． 解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱錐中6＋6－10＝2；立方體中6＋8－12＝2，由此歸納可得F＋V－E＝2. 答案：F＋V－E＝2 4．已知經(jīng)過計算和驗證有下列正確的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，請寫出一個對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式________． 解析：觀察所給不等式可以發(fā)現(xiàn)：不等式左邊兩個根式的被開方數(shù)的和等于20，不等式的右邊都是2，因此對正實數(shù)m，n都成立的條件不等式是：若m，n∈R＋，則當m＋n＝20時，有＋＜2. 答案：若m，n∈R＋，則當m＋n＝20時，有＋＜2 5．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，在四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，在五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n邊形A1A2…An中，有怎樣的不等式成立？ 解析：根據(jù)已知特殊的數(shù)值：、、，…，總結(jié)歸納出一般性的規(guī)律：(n≥3)． ∴在n邊形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3)． 6.如圖，設(shè)有雙曲線－＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其兩個焦點，點M在雙曲線上． (1)若∠F1MF2＝90，求△F1MF2的面積． (2)若∠F1MF2＝60， △F1MF2的面積是多少？若∠F1MF2＝120，△F1MF2的面積又是多少？ (3)觀察以上計算結(jié)果，你能看出隨∠F1MF2的變化，△F1MF2的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結(jié)論． 解析：(1)由雙曲線方程知a＝2，b＝3，c＝， 設(shè)|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)． 由雙曲線定義，有r1－r2＝2a＝4，兩邊平方得r＋r－2r1r2＝16， 即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16， 也即52－16＝4S△F1MF2，求得S△F1MF2＝9. (2)若∠F1MF2＝60，在△MF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝r＋r－2r1r2cos 60， |F1F2|2＝(r1－r2)2＋r1r2，所以r1r2＝36. 求得S△F1MF2＝r1r2sin 60＝9. 同理可求得若∠F1MF2＝120， S△F1MF2＝3. (3)由以上結(jié)果猜想，隨著∠F1MF2的增大，△F1MF2的面積將減?。? 證明如下： 令∠F1MF2＝θ，則S△F1MF2＝r1r2sin θ. 由雙曲線定義及余弦定理，有 ②－①得r1r2＝， 所以S△F1MF2＝ ＝， 因為0<θ<π，0<<， 在(0，)內(nèi)，tan 是增函數(shù)． 因此當θ增大時，S△F1MF2＝將減小.