（通用版）2019版高考數學二輪復習 第一部分 第二層級 重點增分 專題十三 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例講義 理（普通生含解析）.doc
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重點增分專題十三 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 [全國卷3年考情分析] 年份 全國卷Ⅰ 全國卷Ⅱ 全國卷Ⅲ 2018 統(tǒng)計圖的識別與分析T3 折線圖、線性回歸方程模型問題T18 莖葉圖的應用及獨立性檢驗T18 2017 頻率分布直方圖、獨立性檢驗T18 折線圖的識別與分析T3 2016 統(tǒng)計圖表的識別與分析T4 折線圖、相關性檢驗、線性回歸方程及其應用T18 (1)統(tǒng)計與統(tǒng)計案例在選擇題或填空題中的命題熱點主要集中在隨機抽樣、用樣本估計總體以及變量間的相關性判斷等，難度較低，常出現(xiàn)在3～4題的位置． (2)統(tǒng)計與統(tǒng)計案例在解答題中多出現(xiàn)在18或19題，多考查直方圖、莖葉圖及數字特征計算、統(tǒng)計案例的應用． 保分考點練后講評 1.福利彩票“雙色球”中紅球的號碼可以從01,02,03，…，32,33這33個兩位號碼中選取，小明利用如下所示的隨機數表選取紅色球的6個號碼，選取方法是從第1行第9列的數字開始，從左到右依次讀取數據，則第四個被選中的紅色球號碼為( ) 81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 85 06 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49 A．12 B．33 C．06 D．16 解析：選C 被選中的紅色球號碼依次為17,12,33,06,32,22.所以第四個被選中的紅色球號碼為06，故選C. 2.某電視臺在因特網上就觀眾對其某一節(jié)目的喜愛程度進行調查，參加調查的一共有20 000人，其中各種態(tài)度對應的人數如下表所示： 最喜愛 喜愛 一般 不喜歡 4 800 7 200 6 400 1 600 電視臺為了了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽選100人進行更為詳細的調查，為此要進行分層抽樣，那么在分層抽樣時，每類人中應抽選的人數分別為( ) A．25,25,25,25 B．48,72,64,16 C．20,40,30,10 D．24,36,32,8 解析：選D 因為抽樣比為＝， 所以每類人中應抽選的人數分別為4 800＝24，7 200＝36,6 400＝32, 1 600＝8.故選D. 3.某班共有學生56人，學號依次為1,2,3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為2,30,44的同學在樣本中，則樣本中還有一位同學的學號為________． 解析：由題意得，將56人按學號從小到大分成4組，則分段間隔為14，所以抽取的學號依次為2,16,30,44，故還有一位同學的學號為16. 答案：16 [解題方略] 系統(tǒng)抽樣和分層抽樣中的計算 (1)系統(tǒng)抽樣 ①總體容量為N，樣本容量為n，則要將總體均分成n組，每組個(有零頭時要先去掉)． ②若第一組抽到編號為k的個體，則以后各組中抽取的個體編號依次為k＋，…，k＋(n－1). (2)分層抽樣 按比例抽樣，計算的主要依據是：各層抽取的數量之比＝總體中各層的數量之比． 保分考點練后講評 [大穩(wěn)定] 1.某課外小組的同學們在社會實踐活動中調查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示： 用電量/度 120 140 160 180 200 戶數 2 3 5 8 2 則這20戶家庭該月用電量的眾數和中位數分別是( ) A．180,170 B．160,180 C．160,170 D．180,160 解析：選A 用電量為180度的家庭最多，有8戶，故這20戶家庭該月用電量的眾數是180；將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置的兩個數是160,180，故這20戶家庭該月用電量的中位數是170.故選A. 2.甲、乙兩名同學在7次數學測試中的成績如莖葉圖所示，其中甲同學成績的眾數是85，乙同學成績的中位數是83，則成績較穩(wěn)定的是________. 解析：根據眾數及中位數的概念易得x＝5，y＝3，故甲同學成績的平均數為＝85，乙同學成績的平均數為＝85，故甲同學成績的方差為(49＋36＋25＋49＋121)＝40，乙同學成績的方差為(169＋16＋16＋4＋36＋36＋121)＝>40，故成績較穩(wěn)定的是甲． 答案：甲 3.為了解一種植物果實的情況，隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量的數據(單位：克)，按照[27.5,32.5)，[32.5,37.5)，[37.5,42.5)，[42.5,47.5)，[47.5,52.5]分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)求圖中a的值； (2)估計這種植物果實重量的平均數和方差s2(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表)． 解：(1)由5(0.020＋0.040＋0.075＋a＋0.015)＝1，得a＝0.050. (2)各組中點值和相應的頻率依次為 中點值 30 35 40 45 50 頻率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 ＝300.1＋350.2＋400.375＋450.25＋500.075＝40， s2＝(－10)20.1＋(－5)20.2＋020.375＋520.25＋1020.075＝28.75. [解題方略] 1．方差的計算與含義 (1)計算：計算方差首先要計算平均數，然后再按照方差的計算公式進行計算． (2)含義：方差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數，方差大說明波動大． 2．從頻率分布直方圖中得出有關數據的方法 頻率 頻率分布直方圖中橫軸表示組數，縱軸表示，頻率＝組距 頻率比 頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1，各小長方形高的比也就是頻率比 眾數 最高小長方形底邊中點的橫坐標 中位數 平分頻率分布直方圖的面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標 平均數 頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和 [小創(chuàng)新] 1.空氣質量指數AQI是檢測空氣質量的重要參數，其數值越大說明空氣污染狀況越嚴重，空氣質量越差．某地環(huán)保部門統(tǒng)計了該地區(qū)12月1日至12月24日連續(xù)24天的空氣質量指數AQI，根據得到的數據繪制出如圖所示的折線圖．則下列說法錯誤的是( ) A．該地區(qū)在12月2日空氣質量最好 B．該地區(qū)在12月24日空氣質量最差 C．該地區(qū)從12月7日到12月12日AQI持續(xù)增大 D．該地區(qū)的空氣質量指數AQI與這段日期成負相關 解析：選D 12月2日空氣質量指數最低，所以空氣質量最好，A正確；12月24日空氣質量指數最高，所以空氣質量最差，B正確；12月7日到12月12日AQI在持續(xù)增大，所以C正確；在該地區(qū)統(tǒng)計這段時間內，空氣質量指數AQI整體呈上升趨勢，所以空氣質量指數與這段日期成正相關，D錯誤． 2.為保障食品安全，某市質量監(jiān)督局對某超市進行食品安全檢查，如圖所示是某品牌食品中某元素含量數據的莖葉圖，已知該組數據的平均數為11.75，則＋的最小值為( ) A．9 B. C．3 D. 解析：選C 根據莖葉圖中的數據得，該組數據的平均數＝(a＋11＋13＋20＋b)＝11.75，∴a＋b＝3，∴＋＝(a＋b)＝≥5＋2＝(5＋4)＝3.當且僅當a＝2b，即a＝2，b＝1時取“＝”．∴＋的最小值為3.故選C. 3.《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢，欲以錢數多少衰出之，問：各幾何？”其意為：今有甲帶了560錢，乙?guī)Я?50錢，丙帶了180錢，三人一起出關，共需要交關稅100錢，依照錢的多少按比例出錢，則丙應出________錢(所得結果四舍五入，保留整數)． 解析：甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要按照各人帶錢多少的比例進行交稅，丙應出100＝16≈17(錢)． 答案：17 增分考點廣度拓展 [分點研究] 題型一 回歸分析在實際問題中的應用 [例1] 某商店為了更好地規(guī)劃某種商品的進貨量，從某一年的銷售數據中，隨機抽取了8組數據作為研究對象，如下表所示(x為該商品的進貨量，y為銷售天數)： x/噸 2 3 4 5 6 8 9 11 y/天 1 2 3 3 4 5 6 8 (1)根據上表數據在如圖所示的網格中繪制散點圖； (2)根據上表提供的數據，求出y關于x的線性回歸方程＝x＋； (3)根據(2)中的計算結果，若該商店準備一次性進貨該商品24噸，預測需要銷售的天數． 參考公式和數據：＝，＝－. ＝356，iyi＝241. [解] (1)散點圖如圖所示： (2)依題意，得＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6， ＝(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4， 又＝356，iyi＝241， 所以＝＝＝， ＝4－6＝－， 故線性回歸方程為＝x－. (3)由(2)知，當x＝24時，＝24－≈17， 故若該商店一次性進貨24噸，則預計需要銷售17天． [解題方略] 求回歸直線方程的方法 (1)若所求的回歸直線方程是在選擇題中，常利用回歸直線＝x＋必經過樣本點的中心(，)快速選擇． (2)若所求的回歸直線方程是在解答題中，則求回歸直線方程的一般步驟為： 題型二 獨立性檢驗在實際問題中的應用 [例2] (2018全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式．為比較兩種生產方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產方式，第二組工人用第二種生產方式．根據工人完成生產任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高？并說明理由． (2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數m，并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產方式 第二種生產方式 (3)根據(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異？ 附：K2＝， [解] (1)第二種生產方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至少80 min，用第二種生產方式的工人中，有75%的工人完成生產任務所需時間至多79 min.因此第二種生產方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為85.5 min，用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數為73.5 min.因此第二種生產方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需平均時間高于80 min；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需平均時間低于80 min.因此第二種生產方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少．因此第二種生產方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產方式 15 5 第二種生產方式 5 15 (3)因為K2＝＝10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異． [解題方略] 獨立性檢驗的一般步驟 (1)根據樣本數據制成22列聯(lián)表； (2)根據公式K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)計算出K2的觀測值； (3)比較K2的觀測值與臨界值的大小，作出統(tǒng)計推斷． [多練強化] 1．(2018全國卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位：億元)的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據2000年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根據2010年至2016年的數據(時間變量t的值依次為1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 解：(1)利用模型①，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝－30.4＋13.519＝226.1(億元)． 利用模型②，可得該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為＝99＋17.59＝256.5(億元)． (2)利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： (ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直線y＝－30.4＋13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數據建立的線性模型＝99＋17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． (ⅱ)從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． (以上給出了2種理由，答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) 2．(2019屆高三湖北五校聯(lián)考)通過隨機詢問100名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下22列聯(lián)表： 男 女 總計 愛好 40 不愛好 25 總計 45 100 (1)將題中的22列聯(lián)表補充完整； (2)能否有99%的把握認為是否愛好該項運動與性別有關？請說明理由． 附： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 K2＝. 解：(1)題中的22列聯(lián)表補充如下： 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 15 25 40 總計 55 45 100 (2)由(1)表中數據得K2＝≈8.25>6.635，所以有99%的把握認為是否愛好該項運動與性別有關. 概率與統(tǒng)計的綜合問題 增分考點講練沖關 [典例] (2018福州質量檢測)從某技術公司開發(fā)的某種產品中隨機抽取200件，測量這些產品的一項質量指標值(記為Z)，由測量結果得如下頻率分布直方圖： (1)公司規(guī)定：當Z≥95時，產品為正品；當Z<95時，產品為次品．公司每生產一件這種產品，若是正品，則盈利90元；若是次品，則虧損30元，記ξ為生產一件這種產品的利潤，求隨機變量ξ的分布列和數學期望； (2)由頻率分布直方圖可以認為，Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數，σ2近似為樣本方差s2(同一組中的數據用該區(qū)間的中點值作代表)． ①利用該正態(tài)分布，求P(87.8
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