2019屆高考數學二輪復習 專題三 立體幾何 課后綜合提升練 1.3.2 點、直線、平面之間的位置關系 文.doc

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第二講點、直線、平面之間的位置關系(40分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.給出下列命題:在空間中,垂直于同一個平面的兩個平面平行;設l,m是不同的直線,是一個平面,若l,lm,則m;過一點有且只有一條直線與已知平面垂直;a,b是兩條異面直線,P為空間中一點,過點P總可以作一個平面與a,b之一垂直,與另一個平行.其中正確命題的個數是()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.對于,借助正方體模型可知錯誤;對于,若l,lm,則m,顯然正確;對于,顯然過一點必存在一條直線與已知平面垂直,如果過一點能夠作兩條直線與已知平面垂直,則根據直線與平面垂直的性質定理可知,這兩條直線平行,但根據已知這兩條直線相交,所以正確;對于,當異面直線a,b垂直時才可以作出滿足要求的平面,所以錯誤.2.如圖,透明塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下面四個命題:沒有水的部分始終呈棱柱形;水面EFGH所在四邊形的面積為定值;棱A1D1始終與水面所在平面平行;當容器傾斜如圖所示時,BEBF是定值.其中正確命題的個數是()A.1 B.2C.3 D.4【解析】選C.由題圖,顯然是正確的,是錯誤的;對于,因為A1D1BC,BCFG,所以A1D1FG且A1D1平面EFGH,所以A1D1平面EFGH(水面).所以是正確的;對于,因為水是定量的(定體積V),所以SBEFBC=V,即12BEBFBC=V.所以BEBF=2VBC(定值),即是正確的,故選C.3.將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2),則在空間四面體ABCD中,AD與BC的位置關系是()A.相交且垂直B.相交但不垂直C.異面且垂直D.異面但不垂直【解析】選C.在題圖1中的等腰直角三角形ABC中,斜邊上的中線AD就是斜邊上的高,則ADBC,翻折后如題圖2,AD與BC變成異面直線,而原線段BC變成兩條線段BD,CD,這兩條線段與AD垂直,即ADBD,ADCD,且BDCD=D,故AD平面BCD,所以ADBC.4.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1D1,A1C1的中點,則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為()A.32 B.33010C.3010 D.12【解析】選C.如圖,設正方體的棱長為a,取線段AB的中點M,連接CM,MF,EF.則MFAE,所以CFM即為所求角或所求角的補角.在CFM中,MF=CM=52a,CF=62a,根據余弦定理可得cos CFM=3010,所以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為3010.5.如圖,已知一個八面體的各條棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,則下列命題中的假命題是()A.不平行的兩條棱所在的直線所成的角是60或90B.四邊形AECF是正方形C.點A到平面BCE的距離為64D.該八面體的頂點在同一個球面上【解析】選C.因為八面體的各條棱長均為1,四邊形ABCD為正方形,相鄰兩條棱所在的直線所成的角是60,而AE與CE所成的角為90,A正確;四邊形AECF各邊長均為1,AC=EF=2,所以四邊形AECF是正方形,B正確;DB=2,該八面體的頂點在同一個球面上,D正確;設A到平面BCE的距離為h,由VE-ABCD=2VA-BCE,得131122=21334h,解得h=63,C錯誤.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知a,b,c為三條不同的直線,且a平面,b平面,=c.給出下列命題:若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交;若a不垂直于c,則a與b一定不垂直;若ab,則必有ac;若ab,ac,則必有.正確的是_.(填序號)【解析】中若c與a,b都不相交,則ca,cb,故ab,這與a與b是異面直線矛盾,正確;中若,bc,則b,ba,這與a與c是否垂直無關,錯;中若ab,則a,又=c,所以ac,正確;中當bc時,與可能不垂直,錯.答案:7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是ABC為直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點F在線段AA1上,當AF=_時,CF平面B1DF.【解析】因為B1D平面A1ACC1,所以CFB1D,所以為了使CF平面B1DF,只要使CFDF(或CFB1F),設AF=x,則有CD2=DF2+FC2,所以x2-3ax+2a2=0,所以x=a或x=2a.答案:a或2a8.如圖所示,在直角梯形ABCD中,BCDC,AEDC,M,N分別是AD,BE的中點,將三角形ADE沿AE折起,下列說法正確的是_(填上所有正確的序號).不論D折至何位置(不在平面ABC內)都有MN平面DEC;不論D折至何位置都有MNAE;不論D折至何位置(不在平面ABC內)都有MNAB.【解析】取AE的中點F,連接MF,NF,則MFDE,NFABCE,從而平面MFN平面DEC,故MN平面DEC,正確;又AEMF,AENF,所以AE平面MFN,從而AEMN,正確;又MN與AB是異面直線,則錯誤.答案:三、解答題(每小題10分,共30分)9.如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,BAD=60,E是AD的中點,點Q在側棱PC上.(1)求證:AD平面PBE.(2)若Q是PC的中點,求證:PA平面BDQ.【解析】(1)由E是AD的中點,PA=PD可得ADPE.又底面ABCD是菱形,BAD=60,所以AB=BD,又E是AD的中點,所以ADBE,又PEBE=E,所以AD平面PBE.(2)連接AC,交BD于點O,連接OQ.因為O是AC的中點,Q是PC的中點,所以OQPA,又PA平面BDQ,OQ平面BDQ,所以PA平面BDQ.10.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PABD.(1)求證:PB=PD.(2)若E,F分別為PC,AB的中點,EF平面PCD,求三棱錐D-ACE的體積.【解析】(1)因為底面ABCD是正方形,所以ACBD且O為BD的中點.又PABD,PAAC=A,所以BD平面PAC,由于PO平面PAC,故BDPO.又BO=DO,所以PB=PD.(2)如圖,設PD的中點為Q,連接AQ,EQ,EO,因為EQ=12CD=AF,所以AFEQ為平行四邊形,所以EFAQ,因為EF平面PCD,所以AQ平面PCD,所以AQPD,又PD的中點為Q,所以AP=AD=2.由AQ平面PCD,可得AQCD,又ADCD,AQAD=A,所以CD平面PAD,所以CDPA,又BDPA,BDCD=D,所以PA平面ABCD.故VD-ACE=VE-ACD=1312PASACD=131221222=26,故三棱錐D-ACE的體積為26.11.如圖,四邊形ABCD為正方形,EA平面ABCD,EFAB,AB=4,AE=2,EF=1.(1)求證:BCAF.(2)若點M在線段AC上,且滿足CM=14CA,求證:EM平面FBC.【解析】(1)因為EFAB,所以EF與AB確定平面EABF,因為EA平面ABCD,所以EABC.由已知得ABBC且EAAB=A,所以BC平面EABF.又AF平面EABF,所以BCAF.(2)如圖,過點M作MNBC,垂足為點N,連接FN,則MNAB.因為CM=14AC,所以MN=14AB.又EFAB且EF=14AB,所以EFMN,所以四邊形EFNM為平行四邊形,所以EMFN.又FN平面FBC,EM平面FBC,所以EM平面FBC.(20分鐘20分)1.(10分)已知長方形ABCD中,AB=3,AD=4.現將長方形沿對角線BD折起,使AC=a,得到一個四面體A-BCD,如圖所示.(1)試問:在折疊的過程中,直線AB與CD能否垂直?若能,求出相應a的值;若不能,請說明理由.(2)求四面體A-BCD體積的最大值.【解析】(1)直線AB與CD能夠垂直.因為ABAD,若ABCD,ADCD=D,則有AB平面ACD,從而ABAC.此時,a=BC2-AB2=16-9=7,即當a=7時,有ABCD.(2)由于BCD面積為定值,所以當點A到平面BCD的距離最大,即當平面ABD平面BCD時,該四面體的體積最大,此時,過點A在平面ABD內作AHBD,垂足為H,則有AH平面BCD,AH就是該四面體的高.在ABD中,AH=ABADBD=125,SBCD=1234=6,此時VA-BCD=13SBCDAH=245,即為該四面體體積的最大值.2.(10分)如圖1,在高為2的梯形ABCD中,ABCD,AB=2,CD=5,過A,B分別作AECD,BFCD,垂足分別為E,F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE,BF同側折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2.(1)若AFBD,證明:BDE為直角三角形.(2)在(1)的條件下,若DECF,求三棱錐B-ACD的體積.【解析】(1)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長為2,如圖,取BE與AF的交點為O,則AFBE,由已知得AFBD,BEBD=B,所以AF平面BDE,又DE平面BDE,所以AFDE,又AEDE,AEAF=A,所以DE平面ABFE,又BE平面ABFE,所以DEBE,所以BDE為直角三角形.(2)如圖,取AC中點G,連接OG,DG,則OG12CF,由已知得DE12CF,所以OGDE,則四邊形DEOG為平行四邊形,所以OEGD,即BEGD,又BE平面ACD,GD平面ACD,所以BE平面ACD,故三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD,因為AEDE,AEEF,DEEF=E,所以AE平面CDEF,即AE平面CDE,所以AE為三棱錐A-CDE的高,所以VE-ACD=VA-CDE=13SCDEAE=13SDEFAE,由SDEF=12DEEF=1212=1,得VA-CDE=1312=23,所以三棱錐B-ACD的體積為23.