2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 一 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修4-5.doc

一 數(shù)學(xué)歸納法課時作業(yè) A組基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)nN時，122225n1是31的倍數(shù)時，當(dāng)n1時原式為()A1B12C1234 D12222324解析：左邊122225n1，所以n1時，應(yīng)為12251112222324.答案：D2記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和f(k1)f(k)()A. BC2 D答案：B3已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對任意nN，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26C36 D6解析：f(1)36，f(2)108336，f(3)3601036，易知f(n)能被36整除，且36為m的最大值答案：C4某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明<n1(nN)”的過程如下：證明：(1)當(dāng)n1時，顯然命題是正確的；(2)假設(shè)nk時有<k1，那么當(dāng)nk1時，<(k1)1，所以當(dāng)nk1時命題是正確的由(1)、(2)可知對于nN，命題都是正確的以上證法是錯誤的，錯誤在于()A從k到k1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B歸納假設(shè)的寫法不正確C從k到k1的推理不嚴(yán)密D當(dāng)n1時，驗(yàn)證過程不具體解析：證明<(k1)1時進(jìn)行了一般意義的放大而沒有使用歸納假設(shè)<k1.答案：A5用數(shù)學(xué)歸納法證明：1(nN)，則從nk到nk1時，左邊所要添加的項是()A. BC D解析：當(dāng)nk時，左邊1，當(dāng)nk1時，左邊1，由nk到nk1左邊增加了.答案：D6用數(shù)學(xué)歸納法證明2232n21(nN，n>1)時，第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時，命題成立，當(dāng)nk1時左邊的式子為_解析：由于n>1，第一步應(yīng)驗(yàn)證n2時，命題成立，當(dāng)nk1時，左邊的式子應(yīng)為2232k2(k1)2.答案：22232k2(k1)27用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n2n能被3整除”的第二步中，當(dāng)nk1時，為了使用歸納假設(shè)應(yīng)將5k12k1變形為_解析：假設(shè)當(dāng)nk時，5k2k能被3整除，則nk1時，5k12k15(5k2k)32k由假設(shè)知5k2k能被3整除，32k能被3整除故5(5k2k)32k能被3整除答案：5(5k2k)32k8設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n2)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個數(shù)，則f(4)_；當(dāng)n>4時，f(n)_(用n表示)解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9，每增加一條直線，交點(diǎn)增加的個數(shù)等于原來直線的條數(shù)所以f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(5)f(4)4，f(n)f(n1)n1.累加，得f(n)f(2)234(n1)(n2)所以f(n)(n1)(n2)答案：5(n1)(n2)9用數(shù)學(xué)歸納法證明：147(3n2)n(3n1)(nN)證明：(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，當(dāng)n1時命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時命題成立，即147(3k2)k(3k1)當(dāng)nk1時，147(3k2)3(k1)2k(3k1)(3k1)(3k25k2)(k1)(3k2)(k1)3(k1)1即當(dāng)nk1時命題成立綜上(1)(2)知，對于任意nN原命題成立10證明對任意正整數(shù)n,34n252n1能被14整除證明：(1)當(dāng)n1時，34n252n136538541461能被14整除，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk時命題成立，即34k252k1能被14整除，那么當(dāng)nk1時，34(k1)252(k1)134k23452k15234k23452k13452k13452k15234(34k252k1)52k1(3452)34(34k252k1)5652k1，因34k252k1能被14整除，56也能被14整除，所以34(k1)252(k1)1能被14整除，故命題成立由(1)(2)知，命題對任意正整數(shù)n都成立B組能力提升1用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN*)”的過程中，第二步假設(shè)nk時等式成立，則當(dāng)nk1時應(yīng)得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12k12k11D12222k12k2k11解析：由條件知，左邊是從20,21一直到2n1都是連續(xù)的，因此當(dāng)nk1時，左邊應(yīng)為12222k12k，而右邊應(yīng)為2k11.答案：D2k棱柱有f(k)個對角面，則k1棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k1)為()Af(k)k1 Bf(k)kCf(k)k1 Df(k)k2解析：當(dāng)k棱柱變?yōu)閗1棱柱時，新增的一條棱與和它不相鄰的k1條棱確定k2個對角面，而原來的一個側(cè)面變?yōu)閷敲?，所以共增加k1個對角面答案：C3用數(shù)學(xué)歸納法證明1222(n1)2n2(n1)22212時，由nk的假設(shè)到證明nk1時，等式左邊應(yīng)添加的式子是_解析：nk時等式為1222(k1)2k2(k1)22212，nk1時等式為1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212.nk1時等式左邊比nk時等式左邊增加了k2(k1)2.答案：k2(k1)2(或2k22k1)4設(shè)數(shù)列an滿足a12，an12an2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an42n12的第二步中，設(shè)nk時結(jié)論成立，即ak42k12，那么當(dāng)nk1時，_.解析：當(dāng)nk1時，把a(bǔ)k代入，要將42k2變形為42(k1)12的形式即ak12ak22(42k12)242k242(k1)12答案：ak142(k1)125求證：凸n邊形對角線條數(shù)f(n)(nN，n3)證明： (1)當(dāng)n3時，f(3)0，三角形沒有對角線，命題成立(2)假設(shè)nk(kN，k3)時命題成立，即凸k邊形對角線條數(shù)f(k).將凸k邊形A1A2Ak在其外面增加一個新頂點(diǎn)A k1，得到凸k1邊形A1A2AkAk1，Ak1依次與A2，A3，Ak1相連得到對角線k2條，原凸k邊形的邊A1Ak變成了凸k1邊形的一條對角線，則凸k1邊形的對角線條數(shù)為：f(k)k21k1f(k1)即當(dāng)nk1時，結(jié)論正確根據(jù)(1)(2)可知，命題對任何nN，n3都成立6是否存在常數(shù)a、b、c使等式122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立？若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由解析：假設(shè)存在a、b、c使122232n2(n1)22212an(bn2c)對于一切nN*都成立當(dāng)n1時，a(bc)1；當(dāng)n2時，2a(4bc)6；當(dāng)n3時，3a(9bc)19.解方程組解得證明如下：當(dāng)n1時，由以上知等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時等式成立，即122232k2(k1)22212k(2k21)；當(dāng)nk1時，122232k2(k1)2k2(k1)22212k(2k21)(k1)2k2k(2k23k1)(k1)2k(2k1)(k1)(k1)2(k1)(2k24k3)(k1)2(k1)21即當(dāng)nk1時，等式成立因此存在a，b2，c1使等式對一切nN*都成立