高等數(shù)學(xué)：第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)

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1、第十一章第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)習(xí)題課習(xí)題課 一一習(xí)題課習(xí)題課 二二吳新民吳新民第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一一 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及基本性質(zhì)二二 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂法三三 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)吳新民吳新民一一 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及基本性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及基本性質(zhì)1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正依次作圓內(nèi)接正),2,1,0(23 nn邊形邊形, , 這個(gè)和逼近于圓

2、的面積這個(gè)和逼近于圓的面積 A .0a1a 2a na 設(shè)設(shè) a0 表示表示,時(shí)時(shí) n即即 naaaaA210內(nèi)接正三角形面積內(nèi)接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積增加時(shí)增加的面積, 則圓內(nèi)接正則圓內(nèi)接正邊形面積為邊形面積為n23 吳新民吳新民引例引例2.小球從小球從 1 米高處自由落下米高處自由落下, 少一半少一半,.由自由落體運(yùn)動(dòng)方程由自由落體運(yùn)動(dòng)方程2g21ts 知知g2st 則小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為則小球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為1tT 22t 32t g21 2122)2(1 設(shè)設(shè) tk 表示第表示第 k 次小球落地的時(shí)間次小球落地的時(shí)間, 第第 k 次小球跳起的次小球跳起的高度

3、為高度為112k 米，米， 因此因此12.2kktg 每次跳起的高度減每次跳起的高度減問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)問(wèn)小球是否會(huì)在某時(shí)刻停止運(yùn)動(dòng)? 說(shuō)明道理說(shuō)明道理.吳新民吳新民定義定義：給定一個(gè)數(shù)列給定一個(gè)數(shù)列,321nuuuu將各項(xiàng)依將各項(xiàng)依,1 nnu即即 1nnu nuuuu321稱上式為稱上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)， 其中第其中第 n 項(xiàng)項(xiàng)nu叫做級(jí)數(shù)的叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 nkknuS1稱為稱為級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和.nuuuu 321次相加次相加, ,lim存在存在若若SSnn 收斂收斂的的 ,則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)是則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)是并稱并稱 S 為級(jí)數(shù)的為級(jí)數(shù)

4、的和和, 記作記作簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為吳新民吳新民 1nnuS當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱差值稱差值 21nnnnuuSSr為級(jí)數(shù)的為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)余項(xiàng).,lim不存在不存在若若nnS 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)是則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)是發(fā)散發(fā)散 的的.顯然顯然0lim nnr吳新民吳新民例例1. 討論等比級(jí)數(shù)討論等比級(jí)數(shù) (又稱幾何級(jí)數(shù)又稱幾何級(jí)數(shù))0(20 aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解:| 1,q 12 nnqaqaqaaSqaqan 1時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 q, 0lim nnq由于由于從而從而qaSnn 1lim因此級(jí)數(shù)收斂因此級(jí)數(shù)收斂 ,;1qa ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q,lim

5、 nnq由于由于從而從而,lim nnS則部分和則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為其和為1) 若若吳新民吳新民2). 若若,1 q,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) qanSn 因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q aaaaan 1)1(因此因此 nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnS lim綜合綜合 1)、2)可知可知,1 q時(shí)時(shí), 1 q時(shí)時(shí), 則則, 級(jí)數(shù)成為級(jí)數(shù)成為,a,0不存在不存在 , 此時(shí)此時(shí)qaaqnn 10因此級(jí)數(shù)發(fā)散因此級(jí)數(shù)發(fā)散.等比級(jí)數(shù)收斂等比級(jí)數(shù)收斂 ;等比級(jí)數(shù)發(fā)散等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .吳新民吳新民如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 11nn n131211是發(fā)散的。是發(fā)散的。解解例例2

6、. 說(shuō)明調(diào)和級(jí)數(shù)說(shuō)明調(diào)和級(jí)數(shù): 11kk是收斂的，是收斂的，則則,limSSnn ,lim2SSnn , 0)(lim2 nnnSS但但nnSS 2nnnn 1211112 , 0)(lim2 nnnSS所以，所以， 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 11kk是發(fā)散的是發(fā)散的吳新民吳新民例例3. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn解解: (1) 12ln nS nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項(xiàng)相消拆項(xiàng)相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln 吳新民

7、吳新民(2) )1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) (2) 收斂收斂, 3121 4131 111nn .)1(1)2( 1 nnn其和為其和為 1 .吳新民吳新民 例例4. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 2211lnnn的斂散性的斂散性 .解解: 211lnn 221lnnn nnnln2)1ln()1ln( 2211lnkSnkn 2ln21ln3ln 3ln22ln4ln ln2)1ln()1ln(nnn 5ln4ln23ln 2ln nnln)1ln( 2ln)1ln(1 n, 2lnlim nnS故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂 , .2ln 其和為其和為吳新

8、民吳新民2 無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)11nnu收斂于收斂于 S ,1 nnuS則各項(xiàng)則各項(xiàng)乘以常數(shù)乘以常數(shù) c1nnuc也收斂也收斂 ,證證:,1 nkknuS則則 nkknuc1 ,nSc nn limSc 這說(shuō)明這說(shuō)明 1nnuc收斂收斂 , nnSc lim說(shuō)明說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即即其和為其和為 c S .即即 11nnnncuuc若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)所得級(jí)數(shù)所得級(jí)數(shù)令令其和為其和為 c S . 吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)2,1 nnuS 1nnv 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, . S證證:,1 nkk

9、nuS,1 nkknv 則則)(1knkknvu nnS )( nS 這說(shuō)明級(jí)數(shù)這說(shuō)明級(jí)數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, . S即即 111)(nnnnnnnvuvu設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)其和為其和為 令令其和為其和為吳新民吳新民說(shuō)明說(shuō)明:(2) 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則則)(1nnnvu 必發(fā)散必發(fā)散 . 但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而(1) 性質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減 .(用反證法可證用反證

10、法可證)吳新民吳新民例例5 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和判別下列級(jí)數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和 1)2)1(32()1(nnnn)232()2(1nnnn 解解(1) 因?yàn)橐驗(yàn)?112)1(,32nnnnn均收斂，均收斂， 所以所以 1)2)1(32(nnnn收斂，收斂， 且且 1)2)1(32(nnnn 11)31(32nn 11)21(21nn311132 211121 32 (2)因?yàn)橐驗(yàn)?132nnn收斂，收斂， 12nn發(fā)散，發(fā)散，)232(1nnnn 發(fā)散。發(fā)散。吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)3. 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng)在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散

11、性數(shù)的斂散性.證證:1nnu 的前的前 k 項(xiàng)去掉項(xiàng)去掉, 1nnku的部分和為的部分和為 nllknu1 knkSS nknS 與與 ,時(shí)時(shí)由于由于 n數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), .kSS 類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況類似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)所得新級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)將級(jí)數(shù)其和的關(guān)系為其和的關(guān)系為吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和數(shù)的和.證證:,1 nnuS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()(54321uuuuu則新級(jí)數(shù)的部

12、分和序列則新級(jí)數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1( mm 為原級(jí)數(shù)部分和為原級(jí)數(shù)部分和序列序列 ),2,1( nSn的一個(gè)子序列的一個(gè)子序列,nnmmS limlim S 推論推論:注意注意:,0)11()11( 但但 1111發(fā)散發(fā)散.因此必有因此必有例如，例如，用反證法可證用反證法可證例如例如設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂級(jí)數(shù)若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散則原級(jí)數(shù)必發(fā)散收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.吳新民吳新民例例6. 判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性: 141141131131121121解解: : )()()(1411411311

13、311211211111 nnan21n nna 2發(fā)散發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .nn121 考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)吳新民吳新民設(shè)收斂級(jí)數(shù)設(shè)收斂級(jí)數(shù),1 nnuS則必有則必有.0lim nnu證證: 1 nnnSSu1limlimlim nnnnnnSSu0 SS可見(jiàn)可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .性質(zhì)性質(zhì)5. 注意注意:0lim nnu并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù) nnn13121111雖然雖然，01limlim nunnn但此級(jí)數(shù)發(fā)散但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .收斂級(jí)數(shù)的必要條

14、件收斂級(jí)數(shù)的必要條件吳新民吳新民例例7. 說(shuō)明下列級(jí)數(shù)是發(fā)散的說(shuō)明下列級(jí)數(shù)是發(fā)散的 192)1(nnn 11)2(nnnn1( 1)(3)32nnnn ;!)4(1 nnnnne解解92 nnun(1),(21 n所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的(2)nnnnu 1),( n所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的所以原級(jí)數(shù)是發(fā)散的(3)2622 nnun,31561212 nnun,31 所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的所以級(jí)數(shù)是發(fā)散的吳新民吳新民(4) nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n11)1(! )1( nnnnennnne!,!nnnnneu 111)1()1( nnnne故故011 uuunn從而從而,0

15、lim nnu這說(shuō)明級(jí)數(shù)這說(shuō)明級(jí)數(shù)(4) 發(fā)散發(fā)散.吳新民吳新民二二 正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其判斂法若若,0 nu1nnu定理定理1 1nnu收斂的充要條件是收斂的充要條件是 部分和部分和nS),2,1( n有界有界 .若若 1nnu收斂收斂 , ,收斂收斂則則nS,0 nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列 nS nS有界有界, 故故 nS 1nnu從而從而又已知又已知故有界故有界.則稱則稱為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)序列序列吳新民吳新民, Zn,nnvku 都有都有定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè)設(shè),1 nnu

16、1nnv且存在且存在, ZN對(duì)一切對(duì)一切,Nn 有有(1) 1nnv則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnu(2) 1nnu則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 1nnv證證:不妨設(shè)對(duì)一切不妨設(shè)對(duì)一切和和令令nSn 則有則有收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .分別表示級(jí)數(shù)分別表示級(jí)數(shù)nnvku 是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù), (常數(shù)常數(shù) k 0 ),因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性因在級(jí)數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性, 故故部分和部分和, ,1 nnu 1nnv若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)則有則有吳新民吳新民(1) 1nnv則有則有nn lim因此對(duì)一切因此對(duì)一切, Zn有有nS由定理由定理 1 可知可知, 1nn

17、u則有則有(2) 1nnu,lim nnS因此因此,lim nn 這說(shuō)明級(jí)數(shù)這說(shuō)明級(jí)數(shù) 1nnv也發(fā)散也發(fā)散 . k nSnk 也收斂也收斂 .發(fā)散發(fā)散,收斂收斂,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)吳新民吳新民 ppppn14131211).0( p例例8. . 討論討論p- -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的收斂性的收斂性解解:1,p 因?yàn)閷?duì)一切因?yàn)閷?duì)一切, Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)而調(diào)和級(jí)數(shù) 11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 11npnn1 發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn11) 若若p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)吳新民吳新民 11111)1(113121211pppppnn,1 p因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)nxn 1,11ppxn 故故1pn nn

18、pxx1d1 111)1(111ppnnp考慮級(jí)數(shù)考慮級(jí)數(shù) 1121)1(1ppnnn的部分和的部分和n 111)1(11ppnkkk n故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)時(shí)時(shí),1)1(11 pn12)p 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 . 1121)1(1ppnnn收斂收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知若若11dnpnxn 吳新民吳新民 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,111ppnpnp重要參考級(jí)數(shù)重要參考級(jí)數(shù): 15tan)1(nn 1412)2(nnn1401(3)d1nnxxx 44101(4)1dnnxx 例例9. . 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 解解tan5n (1) 而而 11nn

19、發(fā)散發(fā)散, 所以所以原原級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù), p-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù), 調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù). 5n tan55nn吳新民吳新民124 nn3212n(2)124 nn442nnn 321n 3211nn 收斂，收斂， 所以所以 1412nnn收斂收斂.(3)140d1nxxx 10dnx x 322 13n 3211nn 收斂，收斂， 所以所以1401d1nnxxx 收斂收斂.(4)44011dnxx 01dnx x 22n 121nn 所以所以 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂收斂收斂吳新民吳新民例例10. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性 2ln1)1(nnn 22ln1)2(nnn解解 (

20、1)當(dāng)當(dāng))1, nnx時(shí)，時(shí)，xxnnln1ln1 nnln111dlnnnxnn 11dlnnnxxx nnlnln)1ln(ln 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 2)lnln)1ln(lnnnn n 2lnln3lnln nnlnln)1ln(ln 2lnln)1ln(ln n)( n發(fā)散，發(fā)散， 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 2ln1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.吳新民吳新民(2), 1(nnx 時(shí)，時(shí)，)2(ln1ln122 nxxnn nn2ln1211dlnnnxnn 211dlnnnxxx nnln1)1ln(1 對(duì)于級(jí)數(shù)對(duì)于級(jí)數(shù), ln1)1ln(13 nnn由于由于 n 3ln12ln1 4ln13ln1 nn

21、ln1)1ln(1 nln12ln1 )(2ln1 n則收斂，則收斂， 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 22ln1nnn收斂收斂.吳新民吳新民定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1 nnu 1nnvlimnnnulv 則有則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2),1收斂時(shí)收斂時(shí)且且 nnv;1也收斂也收斂 nnu(3),1發(fā)散時(shí)發(fā)散時(shí)且且 nnv.1也發(fā)散也發(fā)散 nnu證證:, 0 對(duì)對(duì), ZN存在存在 lvunn)( l設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足滿足(1),時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn 當(dāng)當(dāng) 0 l 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) l = 0當(dāng)當(dāng) l =( (包括包括據(jù)極限定義據(jù)極限定義, ,)

22、吳新民吳新民nnnvluvl)()( , l 取取由定理由定理 2 可知可知與與 1nnu 1nnv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn 利用利用(3), ZN存在存在,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)Nn ,1 nnvu即即nnvu 由定理由定理2可知可知, 1nnv發(fā)散發(fā)散 , ;1也收斂也收斂則則 nnu(1)(2)由定理由定理2 知知 1nnv收斂收斂 , 若若.1也發(fā)散也發(fā)散則則 nnu當(dāng)當(dāng)0 l 0, nna xnnnxxxa00 nxxM0 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 .冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.發(fā)發(fā) 散散設(shè)設(shè)使使00nnnnxa xx 吳新民吳新民當(dāng)當(dāng)

23、時(shí)時(shí), 0 xx 00nnxxM收斂收斂, 0nnnxa故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂故原冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 .也收斂也收斂,反之反之, 若當(dāng)若當(dāng)0 xx 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 ,用反證法證之用反證法證之.假設(shè)有一點(diǎn)假設(shè)有一點(diǎn)10 xx 滿足不等式滿足不等式0 xx 所以若當(dāng)所以若當(dāng)0 xx 滿足滿足且使級(jí)數(shù)收斂且使級(jí)數(shù)收斂 ,前面的證明可知前面的證明可知, 級(jí)數(shù)在點(diǎn)級(jí)數(shù)在點(diǎn)故假設(shè)不真故假設(shè)不真. 的的 x , 時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散 , 則對(duì)一切則對(duì)一切則由則由也應(yīng)收斂也應(yīng)收斂, 與所設(shè)矛盾與所設(shè)矛盾,證畢證畢1x0 x原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散原冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 .吳新民吳新民x R R幾何說(shuō)明幾何說(shuō)明收斂區(qū)域

24、收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論推論 0nnnxa0 xR如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù)不是僅在不是僅在一點(diǎn)一點(diǎn)存在存在, ,收斂收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂,定的正數(shù)定的正數(shù)則必有一個(gè)完全確則必有一個(gè)完全確它具有下列性質(zhì)它具有下列性質(zhì):當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?jī)缂?jí)數(shù)絕對(duì)收斂; ;當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)發(fā)散冪級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 當(dāng)當(dāng)RxRx 與與時(shí)時(shí), ,冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .o吳新民吳新民正數(shù)正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂半徑. 冪級(jí)數(shù)的收斂域稱冪級(jí)數(shù)的收斂域稱為冪級(jí)數(shù)的為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂區(qū)間.),RR

25、,(RR .,RR ),(RR 收斂區(qū)間為下列四種形式之一收斂區(qū)間為下列四種形式之一, 0 R規(guī)定規(guī)定, R(1) 冪級(jí)數(shù)只在冪級(jí)數(shù)只在0 x處收斂處收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間; 0 x收斂半徑收斂半徑(2) 冪級(jí)數(shù)對(duì)一切冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂都收斂, 收斂半徑收斂半徑收斂區(qū)間收斂區(qū)間).,(說(shuō)明說(shuō)明冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0nnnxa如果在如果在0 xx 處條件收斂，處條件收斂， 則則一定是該冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，一定是該冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，0 x即該冪級(jí)數(shù)的收斂即該冪級(jí)數(shù)的收斂半半徑徑. |0 xR 吳新民吳新民問(wèn)題問(wèn)題 如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?定理定理2. 0nnnxa為冪級(jí)數(shù)為

26、冪級(jí)數(shù),lim1 nnnaa;1 R; R.0 R1)2)3)其中其中如果如果lim |nnna 或或如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù) 0nnnxa如果在如果在0 xx 處收斂，處收斂，而在而在0 xx 處發(fā)散處發(fā)散, 則則一定是該冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，一定是該冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，0 x即該冪級(jí)數(shù)的收斂即該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑半徑. |0 xR (包括包括) na中中nx的系數(shù)的系數(shù). 則則當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) 0 時(shí)時(shí),當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),吳新民吳新民xaaxaxannnnnnnn 111limlim證證:1)則根據(jù)比值審斂法可知?jiǎng)t根據(jù)比值審斂法可知:當(dāng)當(dāng),1 x 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng),1 x 原級(jí)數(shù)發(fā)散原

27、級(jí)數(shù)發(fā)散.x 即即 1 x時(shí)時(shí),即即時(shí)時(shí), 1 x2), 0 則根據(jù)比值審斂法可知?jiǎng)t根據(jù)比值審斂法可知,; R3), 則對(duì)除則對(duì)除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級(jí)發(fā)散原級(jí)發(fā)散 ,.0 R對(duì)任意對(duì)任意 x 原級(jí)原級(jí)因此因此因此級(jí)數(shù)的收斂半徑因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1 R若若 0, 若若數(shù)都收斂，數(shù)都收斂，若若因此因此吳新民吳新民 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說(shuō)明說(shuō)明:1lim nnnaaR端點(diǎn)端點(diǎn) x =1, 1lim nnnaaR nxxxxnn 132)1(32的收斂半徑及收斂區(qū)間的收斂半徑及收斂區(qū)間.解解:11 nn11 對(duì)端點(diǎn)對(duì)端點(diǎn) x = 1, 級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)為交錯(cuò)

28、級(jí)數(shù),1)1(11nnn 收斂收斂; 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為,11 nn發(fā)散發(fā)散 . . 1,1( 故收斂區(qū)間為故收斂區(qū)間為例例1. 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) lim n據(jù)此定理?yè)?jù)此定理對(duì)對(duì)吳新民吳新民例例2. 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域 :.!)2(;!1)1(00nnnnxnxn 解解: (1)1limnnnaRa !1n)1(lim nn 所以收斂域?yàn)樗允諗坑驗(yàn)? ),( (2)1limnnnaRa !n!)1( n11lim nn0 所以級(jí)數(shù)僅在所以級(jí)數(shù)僅在 x = 0 處收斂處收斂 .規(guī)定規(guī)定: 0 ! = 1! )1(1 n limn limn 吳新民吳新民例例3.nnxnn202)

29、 !(! )2( 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間的收斂半徑和收斂區(qū)間 .解解:由比值審斂法求收斂半徑由比值審斂法求收斂半徑.1( )lim( )nnnuxux 2!)1( ! )1(2 nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn 24x 142 x當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)故收斂半徑為故收斂半徑為 .21 R21 x即即142 x當(dāng)當(dāng)21 x即即)1(2 nxnx2故直接故直接級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng)級(jí)數(shù)缺少奇次冪項(xiàng),不能直接應(yīng)用定理不能直接應(yīng)用定理2, limn級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散吳新民吳新民當(dāng)當(dāng)12x 時(shí)，時(shí)，級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為220(2 )!,2 ( !)nnnn 而而22(2 )

30、!2 ( !)nnn1 2 3 4(2 )n 22224(2 )n1 3(21)n 2 4(2 )n 12n 由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是發(fā)散的，是發(fā)散的，220(2 )!2 ( !)nnnn 該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為1 1(, ).2 2 吳新民吳新民例例4. 12)1(nnnnx求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間的收斂區(qū)間.解解:,1 xt級(jí)數(shù)變?yōu)榧?jí)數(shù)變?yōu)閚nntn 1211limnnnaRa nn21)1(211 nnnnnnn2)1(2lim1 2 當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)時(shí), ,11 nn此級(jí)數(shù)發(fā)散此級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng) t = 2 時(shí)時(shí), ,)1(1

31、nnn此級(jí)數(shù)條件收斂此級(jí)數(shù)條件收斂;因此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為因此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為,22 t故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,212 x即即.31 xlimn 令令級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為吳新民吳新民例例5.1(3( 1) )nnnnx 求求的收斂半徑、收斂區(qū)間的收斂半徑、收斂區(qū)間.解解當(dāng)當(dāng)41| x時(shí)，時(shí)，|)1(3( |nnnx nnx |4 因?yàn)橐驗(yàn)? 1|4 x所以所以 1|4nnnx收斂，收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂41| x當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，由于由于nnnx222|)1(3( nlim01 所以原級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此級(jí)數(shù)的收斂半徑因此級(jí)數(shù)的收斂半徑,41 R收斂收斂區(qū)間區(qū)間

32、).41,41( 吳新民吳新民三三 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算定理定理3. 及及的收斂區(qū)間分別的收斂區(qū)間分別12,IInnnxa 0 )(0為常數(shù)為常數(shù) nnnxa 1xI nnnnnnxbxa 00,)(0nnnnxba 12xII,0nnnxc 則有則有 : nnnnnnxbxa 00其中其中knnkknbac 0以上結(jié)論可用部分和以上結(jié)論可用部分和的極限證明的極限證明 .nnnxa 0nnnxb 0設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)1. 代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):為為12xII吳新民吳新民2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì): 0nnnxa( ),S x的和函數(shù)為的和函數(shù)為為為)(xS),(RR (

33、,)xR R 在在內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),時(shí)可逐項(xiàng)時(shí)可逐項(xiàng)對(duì)對(duì)上的連續(xù)函數(shù)；上的連續(xù)函數(shù)；(1)(2)定理定理4 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間收斂區(qū)間, I收斂半徑為收斂半徑為,R則則( )S xI求導(dǎo)，求導(dǎo)， 即即( )S x 0)(nnnxa.11 nnnxna0()nnna x 且等式右端的冪級(jí)數(shù)收斂半徑仍為且等式右端的冪級(jí)數(shù)收斂半徑仍為R.吳新民吳新民)(xS),(RR (3)在收斂區(qū)間在收斂區(qū)間內(nèi)可積內(nèi)可積, 可逐項(xiàng)積分可逐項(xiàng)積分. 即即0( )dxs xx 00dxnnna xx .110 nnnxna00()dxnnna xx 對(duì)對(duì)(,)xR R 且等式右端的冪級(jí)數(shù)收斂半徑仍為且等式右端的冪級(jí)

34、數(shù)收斂半徑仍為R.吳新民吳新民例例6. 1nnxn求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù)解解:x1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā),)1,1(時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng) x 1)(nnxnxS 1)(nnxx xxx12)1(xx . )(xS 11nnxnx 1nnxx散散,易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為易求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 1 ,吳新民吳新民例例7 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù)11( 1)nnnxn 的和函數(shù)的和函數(shù).解解 該冪級(jí)數(shù)收斂半徑為該冪級(jí)數(shù)收斂半徑為1， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為( 1,1. 令令( )S x11( 1)nnnxn ( 11),x 當(dāng)當(dāng)( 1,1)x 時(shí)，時(shí)，( )S x 11( 1)()nnnxn 11( 1)()n

35、nnxn 111( 1)nnnx 1,1x 而而( )S x ( )(0)S xS0( )dxS tt 01d1xtt ln(1)x根據(jù)定理根據(jù)定理4( )S x在在1x 處左連續(xù)，處左連續(xù)， 而而ln(1)x 在在在在1x 處連續(xù)，處連續(xù)，所以所以( )ln(1)S xx( 11).x 吳新民吳新民四四 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題:2) 如果能展開(kāi)，如果能展開(kāi)，na3) 展開(kāi)式是否唯一展開(kāi)式是否唯一?1) 在什么條件下才能展開(kāi)成在什么條件下才能展開(kāi)成如何計(jì)算？如何計(jì)算？0 xx 的冪級(jí)數(shù)：的冪級(jí)數(shù)： 00)(nnnxxa4

36、) 在什么條件下在什么條件下 00)(nnnxxa收斂到收斂到( ).f x吳新民吳新民)(xf)(0 xU )(0 xU nnnxxaxf)()(00 如果函數(shù)如果函數(shù)在在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), , 且在且在 nnxxaxxaaxf)()()(0010有有)(0 xf,0a )(00 xfa 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf10)(axf )(01xfa )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnnnnanxf!)(0)( !)(0)(nxfann 吳新民吳新民定義定義)(xf在在0 x的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù), 則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)

37、000)()(!)(nnnxxnxf nnxxnxfxxxfxf)(!)()()(00)(000稱為稱為)(xf在在0 x處的處的泰勒泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，而系數(shù)而系數(shù) na!)(0)(nxfn稱為稱為泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)。特別當(dāng)特別當(dāng)00 x時(shí)，時(shí)，冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0)(!)0(nnnxnf nnxnfxff!)0()0()0()( 設(shè)設(shè)吳新民吳新民稱為稱為)(xf的麥克勞林的麥克勞林(Maclaucin)級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。綜上所述綜上所述)(xf可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)可以展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的必要條件是的必要條件是 10)(nnnxxa)(xf在在0 xx 的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有任意階的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)

38、，且此冪級(jí)數(shù)必是且此冪級(jí)數(shù)必是)(xf在在0 x處的泰勒級(jí)數(shù)，處的泰勒級(jí)數(shù)，即即的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的。的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的。)(xf2 )(xf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的充要條件的充要條件)(xf定理定理5 各階導(dǎo)數(shù)各階導(dǎo)數(shù), )(0 xU則則 f (x) 在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要在該鄰域內(nèi)能展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足的泰勒公式中的余項(xiàng)滿足:.0)(lim xRnn設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某一鄰域的某一鄰域 內(nèi)具有內(nèi)具有吳新民吳新民證明證明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf 令令)()()(1xRx

39、Sxfnn )(limxRnn )()(lim1xSxfnn ,0 )(0 xUx knkknxxkxfxS)(!)()(000)(1 )(0 xUx ( )f x在在0 x處的處的n次泰勒多項(xiàng)式，次泰勒多項(xiàng)式， 根據(jù)根據(jù)泰勒中值定理得泰勒中值定理得吳新民吳新民3 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(直接展開(kāi)法直接展開(kāi)法)步驟步驟1) 求求),(xf ),(,)(xfn2) 求求),(,),(),(0)(00 xfxfxfn 3) 寫(xiě)出寫(xiě)出x-x0冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)( )000()() ,!nnnfxxxn 并求其收斂并求其收斂半徑半徑R，4) 在收斂區(qū)間上考察當(dāng)在收斂區(qū)間上考察當(dāng) n時(shí)，時(shí)，)(xf

40、的泰勒公式的泰勒公式余項(xiàng)余項(xiàng))(xRn(1)10( )()(1)!nnfxxn 0(xx 介介于于 與與之之是否是否趨向于零，趨向于零， 若是則所求的冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上收斂于若是則所求的冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間上收斂于( ).f x間間)吳新民吳新民例例8將函數(shù)將函數(shù)xexf )(展開(kāi)成展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。解解xnexf )()(), 2 , 1( n1)0()( nf), 1 , 0( n)(xf的麥克勞林級(jí)數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù) 0)(!)0(nnnxnf ! 212nxxxn收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為),(1|( )| |(1)!nneRxxn | |1|(1)!xnexn 0()n 所以所以201

41、!2!nnxnxxxexnn (,)x 吳新民吳新民例例9 將將xxfsin)( 展開(kāi)成展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解: )()(xfn )0()(nf得級(jí)數(shù)得級(jí)數(shù):x)sin(2 nx其收斂半徑為其收斂半徑為 , R對(duì)任何有限數(shù)對(duì)任何有限數(shù) x , 其余項(xiàng)滿其余項(xiàng)滿足足 )( xRn)1(sin(2 n! )1( n1 nx! )1(1 nxn12 kn),2,1,0( k3! 31x 5! 51x 12)!12(1)1(nnxn n0kn2 ,)1(k ,0吳新民吳新民),( xxsin 123)!12()1(! 31nnxnxx 012)!12()1(nnnxn20( 1)cos(2

42、 )!nnnxxn 類似可推出類似可推出:),( x212111( 1)2 !(2 ) !nnxxn 吳新民吳新民例例10 將函數(shù)將函數(shù)mxxf)1()( 展開(kāi)成展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), 其中其中m為任意常數(shù)為任意常數(shù) . 解解: 易求出易求出 , 1)0( f,)0(mf , )1()0( mmf, )1()2)(1()0()( nmmmmfn于是得于是得 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) mx1 2!2)1(xmm由于由于1lim nnnaaRnmnn 1lim1 nxnnmmm!)1()1(級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間級(jí)數(shù)在開(kāi)區(qū)間 (1, 1) 內(nèi)收斂?jī)?nèi)收斂. 因此對(duì)任意常數(shù)因此對(duì)任意常數(shù) m, 吳新民吳新民11, )(

43、 xxF 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( 1! )1()1()1(111)(nxnnmmxmmxF xmxF1)()()1(xFx ),(xmF mxxF)1()( xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF 1)0( F則則設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為為避免研究余項(xiàng)為避免研究余項(xiàng),吳新民吳新民 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1( xmxm1)1()11( x稱為稱為二項(xiàng)展開(kāi)式二項(xiàng)展開(kāi)式 .說(shuō)明：說(shuō)明：(1) 在在 x1 處的收斂性與處的收斂性與 m 有關(guān)有關(guān) . (2) 當(dāng)當(dāng) m 為正整數(shù)時(shí)為正整數(shù)時(shí), 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 x

44、的的 m 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式, 上式上式就是代數(shù)學(xué)中的就是代數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理.由此得由此得 吳新民吳新民對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)1,2121 m的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為的二項(xiàng)展開(kāi)式分別為xx2111 2421x 364231x )11( x 48642531x111 x24231x 3642531x )11( x 486427531xx21 111 x2x3x)11(x nnx)1(x )11(11120 xxxxxxnnn吳新民吳新民4 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)(間接展開(kāi)法間接展開(kāi)法)211x 11x 利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用一些已知的函數(shù)展開(kāi)式及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì), 例例1

45、1 將函數(shù)將函數(shù)展開(kāi)成展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?1nxxx)11(x把把 x 換成換成2x 211x nnxxx242)1(1)11( x, 得得將所給函數(shù)展開(kāi)成將所給函數(shù)展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù). 吳新民吳新民例例12 將函數(shù)將函數(shù)21( )2f xxx 展開(kāi)成展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解21( )2f xxx 111321xx211122 1xx 0122nnnx | 1,2x | 2x 11x 0( 1)nnnx | 1,x| 1x 21( )2f xxx 102nnnx 10132nnnx 01( 1)3nnnx 1011( 1) 32nnnnx | 1x min1

46、,2 吳新民吳新民例例13 將函數(shù)將函數(shù))1ln()(xxf 展開(kāi)成展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解: xxf 11)()11()1(0 xxnnn從從 0 到到 x 積分積分, 得得ln(1)x,1)1(01 nnnxn定義且連續(xù)定義且連續(xù), 區(qū)間為區(qū)間為.11 x11x11x 上式右端的冪級(jí)數(shù)在上式右端的冪級(jí)數(shù)在 x 1 收斂收斂 ,有有在在而而1)1ln( xx所以展開(kāi)式對(duì)所以展開(kāi)式對(duì) x 1 也是成立的也是成立的,于是收斂于是收斂00( 1)dxnnnxx 01d1xxx 00( 1)dxnnnxx 吳新民吳新民特別取特別取x =1可得可得 11)1(41312112lnnn因此因此

47、 11)1()1ln(nnnxnx nnxnxx12)1(2111 x吳新民吳新民例例14 將函數(shù)將函數(shù)21( )(1)f xx 展開(kāi)成展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù).解解: 2001( )dd(1)xxf xxxx 111x 01( 1)nnnx 11x 21( )(1)f xx 0( )d )xf xx 0(1( 1)nnnx 1( 1) ()nnnx 11( 1)nnnnx 0( 1) (1)nnnnx 11x 吳新民吳新民例例15 將將3412 xx展成展成 x1 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù). 解解: )3)(1(13412 xxxx)3(21)1(21xx 12(2(1)x 0( 1)(1)nn

48、nx )21( x12(4(1)x 121141x 141181x 01( 1)(1)42nnnnx (14)x 01( 1)(1)84nnnnx 21(2n 231)2n )21( x吳新民吳新民五五 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的一些應(yīng)用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的一些應(yīng)用1 近似計(jì)算近似計(jì)算,21 naaaA,21naaaA 12.nnnraa誤差誤差兩類問(wèn)題兩類問(wèn)題: 1.給定項(xiàng)數(shù)給定項(xiàng)數(shù),求近似值并估計(jì)精度求近似值并估計(jì)精度;2.給出精度給出精度,確定項(xiàng)數(shù)確定項(xiàng)數(shù).關(guān)健關(guān)健:通過(guò)估計(jì)余項(xiàng)通過(guò)估計(jì)余項(xiàng),確定精度或項(xiàng)數(shù)確定精度或項(xiàng)數(shù).常用方法常用方法:1.若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)若余項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則可用余和的首項(xiàng)

49、來(lái)解決則可用余和的首項(xiàng)來(lái)解決; 2.若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)若不是交錯(cuò)級(jí)數(shù),則放大余和中的各項(xiàng)則放大余和中的各項(xiàng),使之成為等使之成為等 比級(jí)數(shù)或其它易求和的級(jí)數(shù)比級(jí)數(shù)或其它易求和的級(jí)數(shù),從而求出其和從而求出其和.吳新民吳新民例例165,10 .e 計(jì)算 的近似值 使其誤差不超過(guò)計(jì)算 的近似值 使其誤差不超過(guò)解解,!1! 2112 nxxnxxe1,x 令令1111,2!en 得得余項(xiàng)余項(xiàng): )!2(1)!1(1nnrn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn 510,nr 欲欲使使5110 ,!n n 只只要要5!10 ,n n 即即58 8!32256010 , 而而e7

50、1828. 2 所以所以111112!3!8! 吳新民吳新民例例1730sinsin9,3!.xxx利用計(jì)算的近似值 并估利用計(jì)算的近似值 并估計(jì)誤差計(jì)誤差解解20sin9sin0 ,)20(61203 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其誤差不超過(guò)其誤差不超過(guò) .510 35sin3!5!xxxx吳新民吳新民2 求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和利用一些常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，利用一些常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可以求一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和可以求一些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和.以及冪級(jí)數(shù)的以及冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)算

51、性質(zhì)，例例18121.2nnn 求的和求的和解解 令令( )S x 221(21),nnnx ( 1,1),x 則則211( )()nnS xx 211()nnx 211()nnxx 2()1xx 2221,(1)xx 1212nnn 22111(21)()22nnn 11()22S 3. 吳新民吳新民例例1921.!2nnnn 求的和求的和解解21( ),!nnns xxn 令令(,)x nnxnnnnxs 1!)1()(2(1)!nnn nxn 2(2)!nnxn 2xx e 122 !nnnn)21( s 1214e .43e 11(1)!nnxn 1(1)!nnxn 2x 01!nnx

52、n x 01!nnxn xxe 1212e 吳新民吳新民例例2011.(21)3nnn 求求的的和和解解 令令( )S x 2111,21nnxn ( 1,1),x 則則( )S x 221nnx 2111()21nnxn 211()nnx 211x 0( )dxS tt 201d1xtt ( )(0)S xS( )S x 11ln21xx 11(21)3nnn 11()33S 331ln.631 吳新民吳新民一一 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間冪級(jí)數(shù)的收斂半徑收斂區(qū)間 1 阿貝爾引理阿貝爾引理習(xí)題課二習(xí)題課二如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù)00()nnnaxx 在在x1處收斂，處收斂， 則對(duì)一切則對(duì)一切x ，

53、只要只要010| |,xxxx該冪級(jí)數(shù)一定是絕對(duì)收斂的；該冪級(jí)數(shù)一定是絕對(duì)收斂的；如果該冪級(jí)數(shù)在如果該冪級(jí)數(shù)在x2處發(fā)散，處發(fā)散， 則對(duì)一切則對(duì)一切x ， 只要只要0|xx20|,xx 該冪級(jí)數(shù)一定是發(fā)散的該冪級(jí)數(shù)一定是發(fā)散的.根據(jù)阿貝爾引理，根據(jù)阿貝爾引理，如果冪級(jí)數(shù)如果冪級(jí)數(shù)00()nnnaxx 不是僅不是僅在在x0處收斂，處收斂， 也不是在整個(gè)數(shù)軸收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸收斂， 則一定存在正數(shù)則一定存在正數(shù)R使得使得(稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑),吳新民吳新民當(dāng)當(dāng)0|xxR時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的；冪級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的；當(dāng)當(dāng)0|xxR時(shí)時(shí),冪級(jí)數(shù)是發(fā)散的冪級(jí)數(shù)是發(fā)散的.由此可知

54、，由此可知， 條件收斂的點(diǎn)一定是冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端條件收斂的點(diǎn)一定是冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)點(diǎn). 如果在關(guān)于如果在關(guān)于x0的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)中的兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)中一個(gè)是收斂點(diǎn)，一個(gè)是收斂點(diǎn)， 另一個(gè)另一個(gè)是發(fā)散點(diǎn)，是發(fā)散點(diǎn)， 則它們一定是此冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)則它們一定是此冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn).2 收斂半徑、收斂區(qū)間的求法收斂半徑、收斂區(qū)間的求法 0nnnxa |lim1nnnaa nnna |lim 1 R其他形式其他形式 原始的比值法、根值法，收斂半徑定義原始的比值法、根值法，收斂半徑定義求收斂區(qū)間要討論端點(diǎn)的斂散性求收斂區(qū)間要討論端點(diǎn)的斂散性則則吳新民吳新民例例1 且級(jí)數(shù)且級(jí)數(shù) 02)1(nnnna條件

55、收斂，條件收斂，設(shè)設(shè)0 na則冪則冪級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 0)1(nnnxa收斂半徑收斂半徑 R，收斂區(qū)間，收斂區(qū)間為為2)3 , 1 。分析分析由于由于, 0 na 02)1(nnnna條件收斂，條件收斂， 所以所以 0|2)1( |nnnna 02nnna發(fā)散，發(fā)散，0(1)nnnax 即即在在1x 處收斂，處收斂， 在在3x 處發(fā)散，處發(fā)散，收斂半徑收斂半徑, 2 R 1,3). 收斂區(qū)間收斂區(qū)間吳新民吳新民例例2設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù) 0)1(nnnxa在在4 x收斂，收斂， 則則冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù) 0)1(2nnnnxa在在3 x處處，在，在1 x處處。一定收斂；一定收斂；AB 一定發(fā)散；一定發(fā)散； C 斂

56、散性不定斂散性不定CA分析分析 0)1(nnnxa在在4 x收斂，收斂，即冪級(jí)數(shù)即冪級(jí)數(shù) 0)1(2nnnnxa27 x在在處收斂，處收斂，由于由于25|127| |13| 4 25|127| |11| 2吳新民吳新民例例3求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間 131)1nnnxn解解nnna31 |1nnaa13)1(1 nnnn31 )1(3 nn nlim nlim nlim31 3 R當(dāng)當(dāng)3 x時(shí)，時(shí)， 11nn發(fā)散發(fā)散當(dāng)當(dāng)3 x時(shí)，時(shí)， 1)1(nnn收斂，收斂， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為)3 , 3 吳新民吳新民111212)1nnnx 解解 |1nnaa

57、11111nnn111 111111 nnn nlim nlim nlim1 )1211(limnn1 R當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)，,1111 nn發(fā)散，發(fā)散，級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為nn1111 1111nn所以所以當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)，,1)1(11 nnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為n111 ,1111 n011lim1 nn是收斂的是收斂的收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為).1 , 1 吳新民吳新民1( 1)3)lnnnnxnn 解解 |1nnaa )1ln(11nnnn ln1 )1ln(1ln nnnn nlim nlim nlim1 1 R當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)， 1ln)1(nnnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 )1ln()1(lnnnnn)11ln

58、(1n 0 )1ln(11ln1 nnnn0ln1lim nnn是收斂的是收斂的當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)， 1ln1nnn級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為是發(fā)散的是發(fā)散的收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為.1 , 1( 吳新民吳新民032( 1)4)3nnnnx 解解nnna3)1(23 nna | nnn3)1(233)1(23nn nlim nlim nlim31 , 3 R當(dāng)當(dāng)3 x時(shí)，時(shí)， 級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 0)1)()1(23(nnnnnn)1)()1(23(lim 不存在，不存在， 0)1)()1(23(nnn發(fā)散，發(fā)散， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為)3 , 3( 吳新民吳新民例例4求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間求下列冪級(jí)數(shù)的收斂

59、半徑、收斂區(qū)間 12)3(21)1nnnxn解解 | )(| )(|1xuxunn|3|2)1(22 xnn2|3| x nlim nlim當(dāng)當(dāng)12|3| x時(shí)，時(shí)， 即即2|3| x或或51 x時(shí)，時(shí)，原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，絕對(duì)收斂，當(dāng)當(dāng)12|3| x時(shí)，時(shí)， 即即2|3| x時(shí)，時(shí)，原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)發(fā)散，發(fā)散， 因此收斂半徑為因此收斂半徑為, 2 R當(dāng)當(dāng)1 x或或5 x時(shí)，時(shí)， 原原級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為 12)1(nnn是收斂的，是收斂的，因此收斂區(qū)間為因此收斂區(qū)間為.5 , 1吳新民吳新民21221(1)2)nnnnxn 解解 nnxu| )(|122(1)nnnxn nlim nlim2ex 因此

60、當(dāng)因此當(dāng)12 ex時(shí)，時(shí)， 即當(dāng)即當(dāng)1| ex時(shí)，時(shí)， 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)當(dāng)12 ex時(shí)，時(shí)， 即當(dāng)即當(dāng)1| ex原級(jí)數(shù)發(fā)散。原級(jí)數(shù)發(fā)散。 所以所以1 eR當(dāng)當(dāng)1 ex時(shí)，時(shí)，原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為121(1) ,n nnnnn e 由于由于122(1) 1,n nnnn en 原級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)收斂， 收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為,11 ee吳新民吳新民 1sin)3nnnx解解當(dāng)當(dāng)1| x時(shí)，時(shí)， 由于由于|sin|nxn,|nx 而而 1|nnx收斂，收斂，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，,sin)1(1 nnn又由于當(dāng)又由于當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)， 原原級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為而而nnsinli

61、m 不存在。不存在。 所以原級(jí)數(shù)所以原級(jí)數(shù)發(fā)散，發(fā)散，因此收斂半徑因此收斂半徑, 1 R收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為).1 , 1( 吳新民吳新民二二 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和五個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。和五個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)： 設(shè)冪級(jí)數(shù)設(shè)冪級(jí)數(shù)00()nnnaxx 的和函數(shù)的和函數(shù)為為( ),S x收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為I， 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)00()nnnbxx 的和函數(shù)為的和函數(shù)為1( ),Sx收斂區(qū)間為收斂區(qū)間為I2， 則則在在1II 上，上，00()nnnaxx 00()nnnbxx 00()()nnnnabxx 在

62、在I上，上，( )S x00()nnnaxx 連續(xù)連續(xù).吳新民吳新民在在I 內(nèi)內(nèi) (除端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上除端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上),( )S x 00() )nnnaxx 101()nnna n xx 0( )dxxS tt 000() dxnnxnatxt 100()1nnnaxxn 五個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：五個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式：x 11 0nnx 11nnx11 xxe 0!1nnxn xxsin210( 1)(21)!nnnxn 20( 1)(2 )!nnnxn xcos)1ln(x 11)1(nnnxn11 x吳新民吳新民例例5將下列函數(shù)展開(kāi)成將下列函數(shù)展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)1）)2ln(

63、)(2xxxf 解解 )(xf)1ln()2ln(xx )21ln(2lnx )1ln(x 112)1(2lnnnnnxn22 xnnxn 1111 x 01)12)1(12lnnnnnxn吳新民吳新民2）xxfarctan)( 211)(xxf 解解 02)1(nnnx11 x)0()(fxf xdxxf0)( xarctan1200( 1)dxnnnxx 200( 1)dxnnnxx 01212)1(nnnxn11 x因?yàn)橐驗(yàn)? x時(shí)，時(shí)， 此級(jí)數(shù)是收斂的，此級(jí)數(shù)是收斂的，xarctan在在連續(xù)，連續(xù)，1 x所以所以xarctan 01212)1(nnnxn11 x吳新民吳新民3)22)1

64、()(xxxf 解解220d(1)xxxx )111(212x 02)1(2121nnnx11 x22)1(xx )111(212 x 02)1(1(21nnnx 02)()1(21nnnx 1122)1(21nnnnx 1121)1(nnnnx11 x吳新民吳新民例例6 將將xxfsin)( 展開(kāi)成展開(kāi)成4 x的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。解解)44sin(sin xx)4cos(22)4sin(22 xx 012)4()!12()1(22nnnxn 02)4()!2()1(22nnnxn x 0)4(!)1(222)1(nnxnnn 吳新民吳新民例例7 將將2)1(1)(xxf 展開(kāi)成展開(kāi)成1 x的

65、冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。解解211d(1)xxx x 1121)1(2121 x21112121 x 0)1(2)1(2121nnnnx13x 2)1(1x )1121( x)1(2)1(2121(0 nnnnx 1)1(2)1(21nnnnx 11)1(2)1(21nnnnxn 02)1(2)1()1(nnnnnxn吳新民吳新民三三 冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用1） 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)2） 求求),(0)(xfn即即 000)()(!)()(nnnxxnxfxf 00)(nnnxxa因此因此)(0)(xfnnan! 吳新民吳新民例例8 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 1)1(1nnxnn的和函數(shù)。的和

66、函數(shù)。解解此冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間此冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間,1 , 1 令令,)1(1)(1 nnxnnxs111( )(1)nnxs xxn n ) )( xxs 11nnx11 xx 11) )( xxs01d1xxx )1ln(x )(xxs0ln(1)dxxx xxx )1ln()1(吳新民吳新民)(xxsxxx )1ln()1(11 x)(xs 1)1ln(1 xxx11 x0 x11 x0 x1)1ln(1lim0 xxxx1 x1)1ln(1lim1 xxxx01吳新民吳新民例例9 求級(jí)數(shù)求級(jí)數(shù) 022)1(nnn的和。的和。解解 02)1()(nnxnxs 01)(1(nnxn 01)1(nnxn 0)1(nnxnx 01)(nnxx 01)(nnxx)1( xxx)1(2 xx3)1(1xx 022)1(nnn213)1(1 xxx)21( s 12 吳新民吳新民例例10 將函數(shù)將函數(shù)211)(xxxf 展開(kāi)成展開(kāi)成 x 的冪級(jí)數(shù)，的冪級(jí)數(shù)，并求并求).0(),0(),0()22()21()20(fff解解311)(xxxf 03)1(nnxx 03nnx 013nnx11 x0