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第二章 隨機變量及其分布
滾動訓練四(2.1～2.4)
一、選擇題
1．10件產品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是( )
A．取到產品的件數(shù)
B．取到正品的概率
C．取到次品的件數(shù)
D．取到次品的概率
考點 隨機變量及離散型隨機變量的概念
題點 隨機變量的概念
答案 C
解析 A中取到產品的件數(shù)是一個常量而不是變量，B，D中的量也是一個定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機變量．
2．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(3,16)，若P(ξ>c＋2)＝P(ξ
c＋2)＝P(ξ0，∴a與b同號，
∴ξ的取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
P
∴E(ξ)＝0＋1＋2＝.
二、填空題
9．在一次三人象棋對抗賽中，甲勝乙的概率為0.4，乙勝丙的概率為0.5，丙勝甲的概率為0.6，比賽順序如下：第一局，甲對乙；第二局，第一局勝者對丙；第三局，第二局勝者對第一局敗者；第四局，第三局勝者對第二局敗者．則乙連勝四局的概率為________．
考點 相互獨立事件的性質及應用
題點 獨立事件與互斥事件的綜合應用
答案 0.09
解析 乙連勝四局，即乙先勝甲，然后勝丙，接著再勝甲，最后再勝丙，∴所求概率為P＝(1－0.4)0.5(1－0.4)0.5＝0.09.
10．一道數(shù)學難題，在半小時內，甲能解決的概率是，乙能解決的概率是，兩人試圖獨立地在半小時內解決它，則兩人都未解決的概率是________，問題得到解決的概率是________．
考點 相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算
題點 求兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率
答案
解析 設“甲解決這道難題”為事件A，“乙解決這道難題”為事件B，則A，B相互獨立．
所以兩人都未解決的概率為P( )＝＝.
問題得到解決的概率為P(A)＋P(B)＋P(AB)＝1－P( )＝1－＝.
11．某人參加駕照考試，共考6個科目，假設他通過各科考試的事件是相互獨立的，并且概率都是p.若此人未能通過的科目數(shù)ξ的均值是2，則p＝________.
考點 二項分布、兩點分布的均值
題點 二項分布的均值
答案
解析 因為通過各科考試的概率為p，所以不能通過考試的概率為1－p，易知ξ～B(6,1－p)，又E(ξ)＝6(1－p)＝2，解得p＝.
三、解答題
12．籃球運動員比賽投籃，命中得1分，不中得0分，已知甲運動員投籃命中的概率為p，且各次投籃互不影響．
(1)若投籃1次的得分記為X，求方差D(X)的最大值；
(2)當(1)中D(X)取最大值時，求甲運動員投籃5次得4分的概率．
考點 三種常用分布的方差
題點 二項分布的方差
解 (1)依題意，得X的分布列為
X
0
1
P
1－p
p
∴E(X)＝0(1－p)＋1p＝p，
D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝－2＋，
∴當p＝時，D(X)取得最大值，且最大值為.
(2)由(1)可知p＝.記投籃5次的得分為Y，則Y～B，那么P(Y＝4)＝C4＝，
則甲運動員投籃5次得4分的概率為.
13．某產品有4件正品和2件次品混在了一起，現(xiàn)要把這2件次品找出來，為此每次隨機抽取1件進行測試，測試后不放回，直至次品全部被找出為止．
(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率；
(2)設所要測試的次數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和均值．
考點 常見的幾種均值
題點 與排列、組合有關的隨機變量的均值
解 (1)設“第1次和第2次都抽到次品”為事件A，
則P(A)＝＝.
(2)X的所有可能取值為2,3,4,5.
P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＋＝，P(X＝5)＝＋＝.
X的分布列為
X
2
3
4
5
P
因此，E(X)＝2＋3＋4＋5＝.
四、探究與拓展
14．如圖所示，用A，B，C，D表示四類不同的元件連接成系統(tǒng)M.當元件A，B至少有一個正常工作且元件C，D至少有一個正常工作時，系統(tǒng)M正常工作．已知元件A，B，C，D正常工作的概率依次為0.5,0.6,0.7,0.8.則元件連接成的系統(tǒng)M正常工作的概率P(M)等于( )
A．0.752 B．0.988
C．0.168 D．0.832
考點 相互獨立事件的性質及應用
題點 相互獨立事件性質的應用
答案 A
解析 P(M)＝[1－P( )][1－P( )]＝0.752.
15．一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立．
(1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列；
(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？
(3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現(xiàn)，若干盤游戲后，與最初的分數(shù)相比．分數(shù)沒有增加反而減少了．請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析分數(shù)減少的原因．
考點 離散型隨機變量的均值的性質
題點 均值在實際中的應用
解 (1)X可能的取值為10,20,100，－200.
根據題意，有
P(X＝10)＝C12＝，
P(X＝20)＝C21＝，
P(X＝100)＝C30＝，
P(X＝－200)＝C03＝.
所以X的分布列為
X
10
20
100
－200
P
(2)設“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為
1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.
(3)X的均值為
E(X)＝10＋20＋100－200＝－.
這表明，獲得分數(shù)X的均值為負，
因此，多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大．
2018-2019版高中數(shù)學 第二章 隨機變量及其分布滾動訓練四 新人教A版選修2-3.doc
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